1.1.2余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握余弦定理及其推論(重點(diǎn)).2.掌握正、余弦定理的綜合應(yīng)用(重點(diǎn)).3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀(易錯點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C變形cos A；cos B；cos C.思考：在ABC中，若a2<b2c2，則ABC是銳角三角形嗎？提示不一定因?yàn)锳BC中a不一定是最大邊，所以ABC不一定是銳角三角形2余弦定理及其變形的應(yīng)用(1)利用余弦定理的變形判定角在ABC中，c2a2b2C為直角；c2>a2b2C為鈍角；c2<a2b2C為銳角(2)應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題已知三邊，求三角已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角思考：已知三角形的兩邊及其夾角，三角形的其他元素是否唯一確定？提示由余弦定理可知：不妨設(shè)a，b邊和其夾角C已知，則c2a2b22abcos C，c唯一，cos B，因?yàn)?<B<，所以B唯一，從而A也唯一所以三角形其他元素唯一確定基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形()(2)在ABC中，若a2>b2c2，則ABC一定為鈍角三角形()(3)在ABC中，已知兩邊和其夾角時，ABC不唯一()答案(1)(2)(3)提示：由余弦定理可知，已知ABC的兩邊和其夾角時，第三邊是唯一確定的，所以ABC是唯一的，(3)錯誤2在ABC中，已知a4，b6，C120，則邊c_. 【導(dǎo)學(xué)號：91432030】2根據(jù)余弦定理c2a2b22abcos C1636246cos 12076，c2.3在ABC中，a1，b，c2，則B_.60cos B，B60.4在ABC中，若a2b2bcc2，則A_. 【導(dǎo)學(xué)號：91432031】120a2b2bcc2，b2c2a2bc，cos A，又A為ABC的內(nèi)角，A120.5以下說法正確的是_(填序號)在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形；利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問題；在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個特例錯誤由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解正確余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形正確結(jié)合余弦定理公式及三角函數(shù)知識可知正確正確余弦定理可以看作勾股定理的推廣合 作 探 究攻 重 難已知兩邊與一角解三角形在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A，角C和邊a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.當(dāng)a3時，A30，C120.當(dāng)a6時，由正弦定理sin A1.A90，C60.法二：由b<c，B30，b>csin 303知本題有兩解由正弦定理sin C，C60或120，當(dāng)C60時，A90，由勾股定理a6，當(dāng)C120時，A30，ABC為等腰三角形，a3.規(guī)律方法已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對角)求解.若用正弦定理求解，需對角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問題(在(0，)上，余弦值所對角的值是唯一的)，故用余弦定理求解較好.跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，a2，c，B45，解這個三角形. 【導(dǎo)學(xué)號：91432032】解根據(jù)余弦定理得，b2a2c22accos B(2)2()222()cos 458，b2.又cos A，A60，C180(AB)75.已知三邊解三角形已知ABC中，abc2(1)，求ABC的各角的大小思路探究：已知三角形三邊的比，可設(shè)出三邊的長，從而問題轉(zhuǎn)化為已知三邊求三角，可利用余弦定理求解解設(shè)a2k，bk，c(1)k(k>0)，利用余弦定理，有cosA，A45.同理可得cos B，B60.C180AB75.規(guī)律方法(1)已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sin C. 【導(dǎo)學(xué)號：91432033】解a>c>b，A為最大角，由余弦定理的推論，得：cos A，A120，sin Asin 120.由正弦定理，得：sin C，最大角A為120，sin C.正、余弦定理的綜合應(yīng)用探究問題1在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2b2c2，則sin2Asin2Bsin2C成立嗎？反之說法正確嗎？為什么？提示：設(shè)ABC的外接圓半徑為R.由正弦定理的變形，將a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入a2b2c2可得sin2Asin2Bsin2C.反之將sin A，sin B，sin C代入sin2Asin2Bsin2C可得a2b2c2.因此，這兩種說法均正確2在ABC中，若c2a2b2，則C成立嗎？反之若C，則c2a2b2成立嗎？為什么？提示：因?yàn)閏2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的變形cos C0，即cos C0，所以C，反之若C，則cos C0，即0，所以a2b2c20，即c2a2b2.在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判斷ABC的形狀. 【導(dǎo)學(xué)號：91432034】思路探究：解法一：(角化邊)(accos B)sin B(bccos A)sin A，由正、余弦定理可得：ba，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC為直角三角形或等腰三角形法二：(邊化角)根據(jù)正弦定理，原等式可化為：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，即sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A.sin C0，sin Bcos Bsin Acos A.sin 2Bsin 2A.2B2A或2B2A，即AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形母題探究：1.(變條件)將例題中的條件“(accos B)sin B(bccos A)sin A”換為“acos Abcos Bccos C”其它條件不變，試判斷三角形的形狀解由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知條件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展開整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根據(jù)勾股定理知ABC是直角三角形2(變條件)將例題中的條件“(accos B)sin B(bccos A)sin A”換為“l(fā)g alg clgsin Blg 且B為銳角”判斷ABC的形狀解由lgsin Blg lg ，可得sin B，又B為銳角，B45.由lg alg clg ，得，ca.又b2a2c22accos B，b2a22a22a2a2，ab，即AB.又B45，ABC為等腰直角三角形規(guī)律方法判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知a，b，c是ABC的三邊長，若滿足等式(abc)(abc)ab，則角C的大小為()A60B90C120 D150C由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22abcos C，cos C，C120.2在ABC中，a7，b4，c，則ABC的最小角為() 【導(dǎo)學(xué)號：91432035】A. B.C. D.B由三角形邊角關(guān)系可知，角C為ABC的最小角，則cosC，所以C，故選B.3在ABC中，若a2bcosC，則ABC的形狀為_等腰三角形法一：a2bcos C2b，a2a2b2c2，即b2c2，bc，ABC為等腰三角形法二：a2bcos C，sin A2sin Bcos C，而sinAsin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Bsin Csin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C0，sin(BC)0.又180<BC<180，BC0，即BC.ABC為等腰三角形4在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知BC,2ba，則cos A_. 【導(dǎo)學(xué)號：91432036】由BC,2ba，可得bca，所以cos A.5在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三邊c的長解5x27x60可化為(5x3)(x2)0，x1，x22(舍去)，cos C.根據(jù)余弦定理，c2a2b22abcos C523225316，c4，即第三邊長為4.