第八節(jié)曲線與方程【考綱下載】了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系1曲線與方程一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下的關系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線曲線可以看作是符合某條件的點的集合，也可看作是適合某種條件的點的軌跡，因此，此類問題也叫軌跡問題2求曲線方程的基本步驟1若曲線與方程的對應關系中只滿足(2)會怎樣？提示：若只滿足“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”，則以這個方程的解為坐標的點的集合形成的曲線可能是已知曲線的一部分，也可能是整條曲線2動點的軌跡方程和動點的軌跡有什么區(qū)別？提示：“求動點的軌跡方程”和“求動點的軌跡”是不同的，前者只需求出軌跡的方程，標出變量x，y的范圍；后者除求出方程外，還應指出方程表示的曲線的圖形，并說明圖形的形狀、位置、大小等有關數(shù)據(jù)1已知命題“曲線C上的點的坐標是方程f(x，y)0的解”是正確的，則下列命題中正確的是()A滿足方程f(x，y)0的點都在曲線C上B方程f(x，y)0是曲線C的方程C方程f(x，y)0所表示的曲線不一定是曲線CD以上說法都正確解析：選C因為曲線C可能只是方程f(x，y)0所表示的曲線上的某一小段，因此只有C正確2已知曲線C的方程為x2xyy50，則下列各點中，在曲線C上的點是()A(1,2) B(1，2)C(2，3) D(3,6)解析：選A將四個點的坐標一一代入曲線C的方程，只有A選項成立，因此(1,2)在曲線C上3函數(shù)y的圖象是()A拋物線 B圓的一部分C拋物線的一部分 D以上都不是解析：選C函數(shù)y的定義域是x0，值域是y0，則y，即y24x(x0)，所以函數(shù)y的圖象是頂點在原點，開口向右的拋物線位于x軸上方的部分4已知M(2,0)，N(2,0)，|PM|PN|4，則動點P的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線左支C一條射線 D雙曲線右支解析：選C根據(jù)雙曲線的定義知動點P的軌跡類似雙曲線，但不滿足2c>2a>0的條件，故動點P的軌跡是一條射線5設定點F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，動點P滿足條件|PF1|PF2|a(a>0)，則點P的軌跡是()A橢圓 B線段 C不存在 D橢圓或線段解析：選D當a3時，點P的軌跡是線段，當a3時，點P的軌跡是橢圓 方法博覽(七)利用參數(shù)法求軌跡方程在求點的軌跡方程時，有時求動點應滿足的幾何條件不易求得，也無明顯的相關點，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經過分析可發(fā)現(xiàn))這個動點的運動常常受到另一個或兩個變量(如斜率、比值、截距或坐標等)的制約，即動點坐標(x，y)中的x，y分別隨另外變量的變化而變化，我們稱這些變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法典例(20xx·福建高考)如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為(10,0)，點C的坐標為(0,10)分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1，A2，A9和B1，B2，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(iN*,1i9)(1)求證：點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若OCM與OCN的面積比為41，求直線l的方程解題指導(1)設Ai的坐標為(i,0)，則Bi的坐標為(10，i)，可用i表示點P的坐標，得出P的參數(shù)方程(2)設直線l的斜率為k，將直線l的方程與拋物線的方程聯(lián)立，尋找M，N兩點坐標之間的關系，再由面積之比即可求出k的值解(1)法一：依題意，過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為xi，Bi的坐標為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.設Pi的坐標為(x，y)，由得yx2，即x210y.所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.法二：點Pi(iN*,1i9)都在拋物線E：x210y上證明如下：過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為xi， Bi的坐標為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.由解得Pi的坐標為.因為點Pi的坐標都滿足方程x210y，所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.(2)依題意知，直線l的斜率存在，設直線l的方程為ykx10.由得x210kx1000，此時100k2400>0，直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M，N.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則因為SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x2<0，所以x14x2，分別代入和，得解得k±.所以直線l的方程為y±x10，即3x2y200或3x2y200.點評參數(shù)法求軌跡方程的步驟：(1)選取參數(shù)k，用k表示動點M的坐標；(2)得出動點M的參數(shù)方程為(3)消去參數(shù)k，得M的軌跡方程；(4)由k的范圍確定x、y的范圍.