2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【選題明細(xì)表】 知識點、方法題號眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的理解與計算2,3,7,8應(yīng)用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)5,12方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的理解與計算1,3,4,6,10綜合應(yīng)用9,111.(2017全國卷)為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別為x1,x2,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(B)(A)x1,x2,xn的平均數(shù)(B)x1,x2,xn的標(biāo)準(zhǔn)差(C)x1,x2,xn的最大值(D)x1,x2,xn的中位數(shù)解析:標(biāo)準(zhǔn)差衡量樣本的穩(wěn)定程度,故選B.2.(2017湖北荊州中學(xué)月考)如圖,莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位:分).已知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17,乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17,則x,y的值分別為(D)(A) 2,6(B) 2,7(C) 3,6(D) 3,7解析:由題可知9+12+24+27+10+x5=17,所以x=3,由乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17可得y=7,選D.3.(2017四川三臺中學(xué)月考)為了了解某同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,對他的6次數(shù)學(xué)測試成績進(jìn)行統(tǒng)計,作出的莖葉圖如圖所示,則下列關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績的說法正確的是(C)(A)中位數(shù)為83(B)眾數(shù)為85(C)平均數(shù)為85(D)方差為19解析:由莖葉圖可知,該同學(xué)的6次數(shù)學(xué)測試成績分別是78,83,83,85,91,90,由這些數(shù)據(jù)可求得該同學(xué)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)為83,中位數(shù)為84,平均數(shù)為x=78+83+83+85+91+906=85,方差為s2=16(78-85)2+(83-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(91-85)2+(90-85)219.7,故選C.4.從某項綜合能力測試中抽取100人的成績,統(tǒng)計如表,則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為(B)分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010(A)3(B)2105 (C)3(D)85解析:因為x=100+40+90+60+10100=3.所以s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2=1100(2022+1012+3012+1022)=160100=85,所以s=2105.故選B.5.(2018山東臨沂期中)某市要對兩千多名出租車司機的年齡進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)從中隨機抽出100名司機,已知抽到的司機年齡都在20,45)歲之間,根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示,利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數(shù)是(C)(A)31.6歲(B)32.6歲(C)33.6歲(D)36.6歲解析:根據(jù)所給的信息可知,在區(qū)間25,30)上的數(shù)據(jù)的頻率為1-(0.01+0.07+0.06+0.02)5=0.2.故中位數(shù)在第3組,且中位數(shù)的估計為30+(35-30)57=33.6(歲).6.樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的兩根,則這個樣本的方差是.解析:x2-5x+4=0的兩根是1,4.當(dāng)a=1時,a,3,5,7的平均數(shù)是4;當(dāng)a=4時,a,3,5,7的平均數(shù)不是1.所以a=1,b=4.則方差s2=14(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2=5.答案:57.(2018河南商丘二模)世界那么大,我想去看看,每年高考結(jié)束后,處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動機強烈,旅游可支配收入日益增多,可見高中畢業(yè)生旅游是一個巨大的市場.為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費支出(單位:百元)的情況,相關(guān)部門隨機抽取了某市的1 000名畢業(yè)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表:組別0,20)20,40)40,60)60,80)80,100頻數(shù)22504502908則所得樣本的中位數(shù)是(精確到百元).解析:設(shè)樣本的中位數(shù)為x,則21 000+2501 000+4501 000(x-40)20=0.5,解得x51,所得樣本中位數(shù)為51(百元).答案:518.(2017山東卷)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位:件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x和y的值分別為(A)(A)3,5(B) 5,5(C) 3,7 (D) 5,7解析:甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65,由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得y=5,又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等,所以15(56+65+62+74+70+x)=15(59+61+67+65+78),所以x=3.故選A.9.為了解某校高三學(xué)生的視力情況,隨機地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況,得到頻率分布直方圖如圖所示.由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)最大頻率為a,視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b,則a,b的值分別為(A)(A)0.27,78(B)0.27,83(C)2.7,78(D)2.7,83解析:由題意,4.5到4.6之間的頻率為0.09,4.6到4.7之間的頻率為0.27,后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則60.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,所以d=-0.05.所以b=(0.274+6d)100=78,a=0.27.故選A.10.(2017廣東珠海月考)在一次區(qū)域統(tǒng)考中,為了了解各學(xué)科的成績情況,從所有考生成績中隨機抽出20位考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析,其中數(shù)學(xué)學(xué)科的頻率分布直方圖如圖所示,據(jù)此估計,在本次考試中數(shù)學(xué)成績的方差為.解析:根據(jù)頻率分布直方圖,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是x=550.01010+650.02010+750.03510+850.03010+950.00510=75;方差是s2=(55-75)20.1+(65-75)20.2+(75-75)20.35+(85-75)2 0.3+(95-75)20.05=110.答案:11011.(2018貴州貴陽高一檢測)農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況,從甲、乙兩種麥苗的試驗田中各抽取6株麥苗測量麥苗的株高,數(shù)據(jù)如下(單位:cm):甲:9,10,11,12,10,20乙:8,14,13,10,12,21(1)繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖;(2)分別計算所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的平均數(shù)與方差,并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長勢情況.解:(1)莖葉圖如圖所示.(2)x甲=9+10+11+12+10+206=12,x乙=8+14+13+10+12+216=13,s甲2=16(9-12)2+(10-12)2+(11-12)2+(12-12)2+(10-12)2+(20-12)213.67,s乙2=16(8-13)2+(14-13)2+(13-13)2+(10-13)2+(12-13)2+(21-13)216.67.因為x甲<x乙,所以乙種麥苗平均株高較高,又因為s甲2<s乙2,所以甲種麥苗長的較為整齊.12.(2018四川內(nèi)江期中)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組75,85)85,95)95,105)105,115)115,125頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定?解:(1)頻率分布直方圖如圖所示.(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(80-100)20.06+(90-100)20.26+(100-100)20.38+(110-100)20.22+(120-100)20.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.