課時分層作業(yè)(十六)數(shù)學歸納法(建議用時：40分鐘)基礎達標練一、選擇題1用數(shù)學歸納法證明3nn3(n3，nN*)，第一步驗證()An1Bn2Cn3 Dn4C由題知，n的最小值為3，所以第一步驗證n3是否成立2設Sk，則Sk1為()ASk BSkCSk DSkC因式子右邊各分數(shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.3利用數(shù)學歸納法證明不等式1n(n2，nN*)的過程中，由nk變到nk1時，左邊增加了() 【導學號：31062168】A1項 Bk項C2k1項 D2k項D當nk時，不等式左邊的最后一項為，而當nk1時，最后一項為，并且不等式左邊和分母的變化規(guī)律是每一項比前一項加1，故增加了2k項4對于不等式n1(nN)，某學生的證明過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設nk(kN*)時，不等式成立，即<k1，則nk1時，<(k1)1，當nk1時，不等式成立，上述證法()A過程全都正確Bn1驗證不正確C歸納假設不正確D從nk到nk1的推理不正確Dn1的驗證及歸納假設都正確，但從nk到nk1的推理中沒有使用歸納假設，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學歸納法的證題要求故應選D.5一個與正整數(shù)n有關的命題，當n2時命題成立，且由nk時命題成立可以推得nk2時命題也成立，則() 【導學號：31062169】A該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立B該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時成立與k取值無關D以上答案都不對B由nk時命題成立可以推出nk2時命題也成立且n2，故對所有的正偶數(shù)都成立二、填空題6用數(shù)學歸納法證明“2n1n2n2(nN*)”時，第一步的驗證為_解析當n1時，左右，不等式成立，nN*，第一步的驗證為n1的情形答案當n1時，左邊4，右邊4，左右，不等式成立7用數(shù)學歸納法證明(11)(22)(33)(nn)2n1(n2n)時，從nk到nk1左邊需要添加的因式是_. 【導學號：31062170】解析當nk時，左端為：(11)(22)(kk)，當nk1時，左端為：(11)(22)(kk)(k1k1)，由k到k1需添加的因式為：(2k2)答案2k28數(shù)列an中，已知a12，an1(nN*)，依次計算出a2，a3，a4后，歸納、猜測得出an的表達式為_解析a12，a2，a3，a4，猜測an.答案an三、解答題9(1)用數(shù)學歸納法證明：12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)(2)求證：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)解(1)當n1時，左邊121，右邊(1)01，左邊右邊，等式成立假設nk(kN*)時，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k1.則當nk1時，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.當nk1時，等式也成立，根據(jù)、可知，對于任何nN*等式成立(2)n1時，左邊12223，右邊3，等式成立假設nk時，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.當nk1時，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時，等式也成立由得，等式對任何nN*都成立10已知fn(x)滿足f1(x)(x>0)，fn1(x)f1(fn(x). (1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明對fn(x)的猜想. 【導學號：31062171】解(1)f2(x)f1f1(x)，f3(x)f1f2(x)猜想：fn(x)，(nN*)(2)下面用數(shù)學歸納法證明 ，fn(x)(nN*)當n1時，f1(x)，顯然成立；假設當nk(kN*)時，猜想成立，即fk(x)，則當nk1時，fk1f1fk(x)，即對nk1時，猜想也成立；結合可知，猜想fn(x)對一切nN*都成立能力提升練1利用數(shù)學歸納法證明<1(nN*，且n2)時，第二步由k到k1時不等式左端的變化是()A增加了這一項B增加了和兩項C增加了和兩項，同時減少了這一項D以上都不對C不等式左端共有n1項，且分母是首項為n，公差為1，末項為2n的等差數(shù)列，當nk時，左端為；當nk1時，左端為，對比兩式，可得結論2某命題與自然數(shù)有關，如果當nk(kN*)時該命題成立，則可推得nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知當n5時該命題不成立，則可推得() 【導學號：31062172】A當n6時，該命題不成立B當n6時，該命題成立C當n4時，該命題不成立D當n4時，該命題成立C若n4時，該命題成立，由條件可推得n5命題成立它的逆否命題為：若n5不成立，則n4時該命題也不成立3記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解析由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時，增加了一個三角形圖形，故f(k1)f(k).答案4對任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a_. 【導學號：31062173】解析當n1時，36a3能被14整除的數(shù)為a3或5；當a3且n2時，31035不能被14整除，故a5.答案55是否存在a，b，c使等式2222對一切nN*都成立，若不存在，說明理由；若存在，用數(shù)學歸納法證明你的結論解取n1,2,3可得，解得：a，b，c.下面用數(shù)學歸納法證明2222.即證1222n2n(n1)(2n1)，n1時，左邊1，右邊1，等式成立；假設nk時等式成立，即1222k2k(k1)(2k1)成立，則當nk1時，等式左邊1222k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)2k(k1)(2k1)6(k1)2(k1)(2k27k6)(k1)(k2)(2k3)，當nk1時等式成立；由數(shù)學歸納法，綜合當nN*等式成立，故存在a，b，c使已知等式成立