第2講參數(shù)方程考綱解讀了解參數(shù)方程及參數(shù)的意義，掌握直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，并能利用參數(shù)方程解決問(wèn)題(重點(diǎn)、難點(diǎn))考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)必考點(diǎn). 預(yù)測(cè)2020年將會(huì)考查：參數(shù)方程與普通方程的互化及直線與橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用.1曲線的參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)2常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程和普通方程提醒：直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離1概念辨析(1)直線(t為參數(shù))的傾斜角為30.()(2)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量()(3)方程表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓()(4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為.()答案(1)(2)(3)(4) 2小題熱身(1)若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的斜率為_(kāi)答案解析因?yàn)樗?x2y7，此直線的斜率為.(2)橢圓(為參數(shù))的離心率為_(kāi)答案解析將消去參數(shù)，得橢圓1.所以a225，b29，c2a2b216，所以a5，b3，c4，所以離心率e.(3)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則曲線C的普通方程為_(kāi)答案y22x2(1x1)解析由(為參數(shù))消去參數(shù)，得y22x2(1x1)題型 參數(shù)方程與普通方程的互化1求直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)解將消去參數(shù)t得直線xy10；將消去參數(shù)，得圓x2y29.又圓心(0,0)到直線xy10的距離d<3.因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)2如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù)，求圓x2y2x0的參數(shù)方程解如圖，圓的半徑為，記圓心為C，連接CP，則PCx2，故xPcos2cos2，yPsin2sincos(為參數(shù))所以圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))條件探究把舉例說(shuō)明1中“曲線(為參數(shù))”改為“”其他條件不變，求兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)解由(sincos)21sin22(1sin2)，得y22x.又因?yàn)閤1sin20,2，所以所求普通方程為y22x，x0,2解方程組得或又因?yàn)閤0,2，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.1參數(shù)方程化為普通方程基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有：代入消元法；加減消元法；恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法；平方后再加減消元法等其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程組的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2cos21等2普通方程化為參數(shù)方程(1)選擇參數(shù)的一般原則曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單；當(dāng)參數(shù)取某一值時(shí)，可以唯一確定x，y的值(2)解題的一般步驟第一步，引入?yún)?shù)，但要選定合適的參數(shù)t；第二步，確定參數(shù)t與變量x或y的一個(gè)關(guān)系式xf(t)(或y(t)；第三步，把確定的參數(shù)與一個(gè)變量的關(guān)系式代入普通方程F(x，y)0，求得另一關(guān)系yg(t)(或x(t)，問(wèn)題得解 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：(t為參數(shù))，與曲線C：(k為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)解將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得4x3y4，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，得y24x，聯(lián)立方程解得或所以A(4,4)，B或A，B(4,4)所以AB.題型 參數(shù)方程的應(yīng)用角度1利用參數(shù)方程解最值問(wèn)題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(0,2)，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求曲線C1，C2的普通方程；(2)求曲線C1上一點(diǎn)P到曲線C2的距離的最大值解(1)由題意知，曲線C1的普通方程為x21，曲線C2的普通方程為xy20.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos，3sin)，則點(diǎn)P到直線C2的距離d，所以當(dāng)sin1，即時(shí)，dmax2，即點(diǎn)P到曲線C2的距離的最大值為2.角度2參數(shù)幾何意義的應(yīng)用2(2018全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為ytanx2tan，當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直線l的斜率ktan2.1設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線的參數(shù)方程在交點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用(1)若M1，M2是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|t1t2|，|t2t1|.(2)若線段M1M2的中點(diǎn)為M3，點(diǎn)M1，M2，M3對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t3，則t3.(3)若直線l上的線段M1M2的中點(diǎn)為M0(x0，y0)，則t1t20，t1t2<0.2圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用有關(guān)圓或圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問(wèn)題，通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解提醒：對(duì)于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2b21時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題 1已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2，在以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，極軸為x軸的正半軸建立的平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)寫(xiě)出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線W：(為參數(shù))，若M為曲線W上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線l的最小距離解(1)由(t為參數(shù))消去參數(shù)t，得yx3.即直線l的普通方程為xy30.因?yàn)?x2y2，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y24.(2)由已知可設(shè)M(cos，2sin)(為參數(shù))，則點(diǎn)M到直線l的距離d(其中tan2)，所以點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為.2(2018河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過(guò)點(diǎn)P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，aR)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8，求實(shí)數(shù)a的值解(1)曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，aR)，曲線C1的普通方程為xya10.曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos0，2cos24cos20，x24xx2y20，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y24x.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由得t22t28a0.(2)24(28a)>0，即a>0，根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知|AB|t1t2|8，a2.題型 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用(2019貴州聯(lián)考)已知在一個(gè)極坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為.(1)求出以C為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫(xiě)出解題過(guò)程)；(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，Q(5，)，M是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的普通方程解(1)如圖，設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(，)，則AOC或.由余弦定理得，424cos4，所以圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(2)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，)，可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P(12cos，2sin)，又令M(x，y)，由Q(5，)，M是線段PQ的中點(diǎn)，得點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，即(為參數(shù))，點(diǎn)M的軌跡的普通方程為(x3)2y21.極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問(wèn)題的解題策略(1)求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長(zhǎng)可先求出直角坐標(biāo)方程，然后求解(2)判斷位置關(guān)系先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程，然后再作出判斷(3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合的問(wèn)題一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程來(lái)研究問(wèn)題 (2017全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.(1)寫(xiě)出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cossin)0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑解(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y(x2)設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2sin2)4(02，)，聯(lián)立得cossin2(cossin)故tan，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交點(diǎn)M的極徑為.