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專題09 平面向量的線性表示 【自主熱身，歸納總結】 1、設a,b不共線,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點共線,則實數(shù)p=　　　　. 【答案】-1 【解析】因為=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因為A,B,D三點共線,所以=λ,即2a+pb=λ(2a-b)=2λa-λb,所以解得所以實數(shù)p的值是-1. 2、設與是兩個不共線向量，，，，若A，B，D三點共線，則 ． 【答案】： 【解析】，設．則且，解得． 3、在中，若點，，依次是邊上的四等分點，設，，用，表示，則 ． 【解析】 在中，，，所以 ． 4．設點，，是直線上不同的三點，點是直線外一點，若，則的值為 ． 【答案】：1 【解析】 因為點，，三點共線，所以，又因為 ，所以． 5、如圖，在中，，分別為邊，的中點. 為邊上的點，且，若，，則的值為 . 【答案】： 【解析】：因為為的中點，所以，故，。 6、已知為的外心，若，則= ． 【答案】： 誤點警示：若為銳角，則與分別是同弧所對的圓心角與圓周角，此時 =2；若為鈍角，由與的關系是，因此，必須對進行分類討論.本題從條件判斷知，必為鈍角. 7、已知點C，D，E是線段的四等分點，為直線外的任意一點，若，則實數(shù) 的值為 ． 【答案】： 【解析】 因為，所以． 8．如圖，平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則_______，___________． 【答案】：，． 【解析】 設與，同方向的單位向量分別為，， 依題意有，又，， 則，所以，． 9、如圖，一直線與平行四邊形的兩邊分別 交于兩點，且交其對角線于，其中，，，，則的值為 ． 【答案】：． 【解析】 因為點F，K，E共線，故可設 又，所以，解得． 【問題探究，變式訓練】 例1、在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點O，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的值為________. 課本探源 本題的難點是＝關系的建立，借助于正弦定理，可以證明＝.實際上，必修5P54例5已經(jīng)證明了此結論，若能夠想到這一點，理順本題的解題思路就容易多了：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，用正弦定理證明：＝. 【變式1】、如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________. 　　　 【答案】 【解析】：　因為O，E分別是AC，AO的中點，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又＝λ＋μ＝λ＋μ(＋)＝(λ＋μ)＋μ，故λ＋μ＝. . 【變式2】、在中，，若，則的值為 ． 【答案】： 因為，而,所以，所以，則的值為. 【關聯(lián)1】、如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，，設∥，若，則的值為 ． 【答案】 【解析】思路一：， ，因為∥，所以λ－1＝，λ＝． 思路二：不妨設，則有 【關聯(lián)2】、如圖,在同一個平面內(nèi)，向量、，的模分別為1,1，，與的夾角為，且，與的夾角為，若, 則的值為____________． 【答案】：． A C B O 【解析】 由可得，，根據(jù)向量分解易得： ，即，解得 所以． 例2、在△ABC中，∠C＝45，O是△ABC的外心，若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是________． 【答案】 [－，1)　 思路分析 本題中三點在圓O上是一個關鍵條件，可以建立坐標系求出m，n的關系式，再利用三角換元求解，也可以對向量等式兩邊平方后得到m，n的關系式，再利用線性規(guī)劃求解． 因為C＝，O是△ABC外心，所以∠AOB＝90，＝m＋n，所以C在優(yōu)弧上． 建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨設半徑為1，則A(0,1)，B(1,0)． 設C(cosθ，sinθ)， 代入＝m＋n，可得n＝cosθ，m＝sinθ，即m＋n＝cosθ＋sinθ＝sin. 又θ＋∈，所以m＋n∈[－，1)． 解后反思 本題易錯在沒有注意點C在優(yōu)弧上，錯誤的認為點C在整個圓上．本題是典型的二元函數(shù)的值域問題，解題方法比較多，可以用基本不等式、線性規(guī)劃、三角換元，但由于點C在圓弧上，最好的方法建立坐標系，利用三角函數(shù)求解，定義域的尋找也較為簡單． 【變式1】、 如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90，AD＝AB＝4，CD＝1，動點P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實數(shù))，則＋的最小值為________． 【答案】：. 　解法1 建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4)．又kBC＝－，故BC：y＝－(x－4)．又＝m＋n，＝(4,0)，＝(0,4)，所以＝(4m,4n)，故P(4m,4n)，又點P在直線BC上，即3n＋4m＝4，即4（＋）＝(3n＋4m)（＋）＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，所以（＋）min＝，當且僅當即m＝，n＝時取等號． 解法2 因為＝m＋n，所以＝m＋n(＋)＝m＋n－＝＋n.又C，P，B三點共線，故m－＋n＝1，即m＋＝1，以下同解法1. 解后反思 向量的基本運算分為線性運算和坐標運算，本題建立坐標系轉化為坐標的運算也可以轉化為基底運算，其中三點共線可以轉化為點在直線上也可以用共線向量基本定理來轉化．基底法運算量小于坐標法、坐標法的思維難度低于基底法． 【變式2】、 如圖，經(jīng)過的重心G的直線與OA，OB交于點P，Q，設，，，則的值為 ． 【答案】：3 【解析】 連接并延長，交于點，因為是的重心，即是的中線，所以， ① 因為，所以②，同理可得③， 將②③代入①可得， 即， 設， 則有， 根據(jù)平面向量基本定理，有， 故的值為3． 【關聯(lián)1】、如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝1，A＝120，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且＝m，＝n，其中m，n∈.若EF，BC的中點分別為M，N，且m＋4n＝1，則的最小值為________． 【答案】　 思路分析：本題易求＝－，所以可以利用點M，N是EF，BC的中點將轉化用和表示，再求||的最小值；另外也可以通過建立平面直角坐標系將點M，N的坐標表示出來再求解． 【解析】1 由于M，N是EF，BC的中點，＝m，＝n，m＋4n＝1，所以＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以＝－＝2n＋.而＝11cos120＝－，所以||＝＝，顯然當n＝時，||min＝. 【解析】2 如圖，以點N為坐標原點，直線BC為x軸，直線NA為y軸建立平面直角坐標系，由AB＝AC＝1，A＝120得N(0,0)，A0，，B－，0，C，0，所以＝n＝n，－n，＝m＝＝2n－，2n－(由于m＋4n＝1)，從而點E，點Fn，－n＋，線段EF的中點Mn－，n＋，所以||＝＝，顯然當n＝時，||min＝. 【關聯(lián)2】、 已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點P是以A為圓心的單位圓上一動點，點Q滿足＝＋，則||的最小值是________. 【答案】： －　 思路分析 求||的最小值，就是求線段BQ長的最小值，因為點B為定點，而點Q是隨著點P的運動而運動的，那么就要關注點Q是如何運動的，即要先求出點Q的軌跡方程，通過建系運用相關點法即可求得點Q的軌跡方程，通過點Q的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個圓，接下來問題就轉化為定點與圓上的動點的距離的最小值問題，那就簡單了．一般與動點有關的最值問題，往往運用軌跡思想，首先探求動點的軌跡，在了解其軌跡的基礎上一般可將問題轉化為點與圓的關系或直線與圓的關系或兩圓之間的關系． 解法1 以A為原點，AB為x軸建立平面直角坐標系，則＝(3,0)，＝，設Q(x，y)，P(x′，y′)，由＝＋，得＝， 即所以兩式平方相加得2＋2＝(x′2＋y′2)，因為點P(x′，y′)在以A為圓心的單位圓上，所以x′2＋y′2＝1，從而有2＋2＝，所以點Q是以M為圓心，R＝的圓上的動點，因此BQmin＝BM－R＝－＝－. 解法2 ＝－＝＋－＝. 令＝－，則＝(－)，那么||＝|－|，求||的最小值，就轉化為求|－|的最小值，根據(jù)不等式的知識有： |－|≥＝，而||2＝2＝2＝2－＋2＝32－33＋32＝，即||＝，所以|－|≥＝－1，從而||＝|－|≥－，當且僅當與同向時，取等號． 【關聯(lián)3】、在中，為邊上一點，且，為上一點，且滿足 ，求的最小值． 【解析】 因為，所以， 又因為為上一點，不妨設， 所以, ，因為不共線， 所以，則． 所以， A B C E P 當且僅當，即時等號成立．