43.1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性讀教材填要點(diǎn)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)函數(shù)在(a，b)上的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞增f(x)<0單調(diào)遞減f(x)0常數(shù)函數(shù)小問題大思維1在區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f(x)>0，則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立嗎？提示：不一定成立比如yx3在R上為增函數(shù)，但其在0處的導(dǎo)數(shù)等于零也就是說f(x)>0是yf(x)在某個(gè)區(qū)間上遞增的充分不必要條件2右圖為導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，則函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間是什么？提示：單調(diào)遞增區(qū)間：(，3，2,1，3，)；單調(diào)遞減區(qū)間：3，2，1,3判斷(或證明)函數(shù)的單調(diào)性 已知函數(shù)f(x)ax33x21，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性自主解答 由題設(shè)知a0.f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2.當(dāng)a>0時(shí)，若x(，0)，則f(x)>0.f(x)在區(qū)間(，0)上為增函數(shù)若x，則f(x)<0，f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)若x，則f(x)>0，f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)a<0時(shí)，若x，則f(x)<0.f(x)在上是減函數(shù)若x，則f(x)>0.f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)若x(0，)，則f(x)<0.f(x)在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的思路1求證：函數(shù)f(x)exx1在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，在(，0)內(nèi)是減函數(shù)證明：由f(x)exx1，得f(x)ex1.當(dāng)x(0，)時(shí)，ex1>0，即f(x)>0.f(x)在(0，)內(nèi)為增函數(shù)當(dāng)x(，0)時(shí)，ex1<0，即f(x)<0.f(x)在(，0)內(nèi)是減函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)3x2ln x；(2)f(x)ax3x21(a0)自主解答(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)6x，令f(x)>0，即>0，x>0，6x21>0，x>.令f(x)<0，即<0，x>0，6x21<0，0<x<.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x21，其單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)ax22x，f(x)>0(ax2)x>0x>0x>0或x<；f(x)<0<x<0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的“兩個(gè)”方法方法一：(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)yf(x)；(3)解不等式f(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間方法二：(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；(4)確定f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)符號判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性2已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與x軸平行(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)由題意得f(x)，又 f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).設(shè)h(x)ln x1(x>0)，則h(x)<0，即h(x)在(0，)上是減函數(shù)由h(1)0知，當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)>0，從而f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，h(x)<0，從而f(x)<0.綜上可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍自主解答(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因?yàn)閔(x)在(0，)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，ax2<0有解，即a>有解設(shè)G(x)，所以只要a>G(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a>1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)(2)因?yàn)閔(x)在1,4上單調(diào)遞減，所以x1,4時(shí)，h(x)ax20恒成立即a恒成立所以aG(x)max.而G(x)21.因?yàn)閤1,4，所以.所以G(x)max(此時(shí)x4)所以a.當(dāng)a時(shí)，h(x)x2.x1,4，h(x)0.即h(x)在1,4上為減函數(shù)故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.若將本例(2)中“單調(diào)遞減”改為“單調(diào)遞增”，如何求a的取值范圍？解：h(x)在1,4上單調(diào)遞增，x1,4時(shí)，h(x)ax20恒成立即a 恒成立設(shè)G(x)，只需aG(x)min.又G(x)21，x1,4，.G(x)min1，a1.經(jīng)驗(yàn)證：a1時(shí)，h(x)在1,4上單調(diào)遞增，綜上所述，a的取值范圍為(，1已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，求f(x)中參數(shù)的取值范圍的方法為分離參數(shù)法：通常將f(x)0(或f(x)0)的參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求最值問題，從而求出參數(shù)的取值范圍特別地，若f(x)為二次函數(shù)，可以由f(x)0(或f(x)0)恒成立求出參數(shù)的取值范圍3已知a0，函數(shù)f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是()A. B.C. D.解析：f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由題意當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a，則有即解得a.答案：C證明：方程xsin x0有唯一解巧思方程f(x)0的解即曲線yf(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此可以通過構(gòu)造函數(shù)來解決妙解設(shè)f(x)xsin x，當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，所以x0是方程xsin x0的一個(gè)解因?yàn)閒(x)1cos x，且xR時(shí)，f(x)>0總成立，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增所以曲線f(x)xsin x與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)所以方程xsin x0有唯一解1函數(shù)f(x)x33x21的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(2，)B(，2)C(，0) D(0,2)解析：f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)<0，得0<x<2.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)答案：D2函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：函數(shù)yx2ln x的定義域?yàn)?0，)，yx，令y0，可得0x1.答案：B3函數(shù)f(x)x3ax2在區(qū)間(1，)內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，) B3，)C(3，) D(，3)解析：f(x)3x2a，令3x2a0，a3x2，x(1，)，a3.答案：B4函數(shù)f(x)cos xx的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析：因?yàn)閒(x)sin x0，所以f(x)在R上為增函數(shù)答案：(，) 5已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)2，對任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為_解析：設(shè)g(x)f(x)2x4，則g(x)f(x)2.對任意xR，f(x)2，g(x)0. g(x)在R上為增函數(shù)又g(1)f(1)240，x1時(shí)，g(x)0.由f(x)2x4，得x1.答案：(1，)6求函數(shù)f(x)x33x29x1在區(qū)間4,4上的單調(diào)性解：f(x)x33x29x1，f(x)3x26x9.令f(x)>0，結(jié)合4x4，得4x<1或3<x4.令f(x)<0，結(jié)合4x4，得1<x<3.函數(shù)f(x)在4，1)和(3,4上為增函數(shù)，在(1,3)上為減函數(shù)一、選擇題1函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(0,1)B(0，)C(1，) D(，0)(1，)解析：函數(shù)的定義域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)答案：A2已知函數(shù)f(x)ln x，則有()Af(2)<f(e)<f(3) Bf(e)<f(2)<f(3)Cf(3)<f(e)<f(2) Df(e)<f(3)<f(2)解析：在(0，)上，f(x)>0，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以有f(2)<f(e)<f(3)答案：A3如圖為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，那么函數(shù)yf(x)的圖象可能為()解析：由導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，可知當(dāng)1<x<3時(shí)，f(x)<0，所以yf(x)在(1,3)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>3或x<1時(shí)，f(x)>0，所以yf(x)在(，1)和(3，)上單調(diào)遞增綜上，函數(shù)yf(x)的圖象的大致形狀如A中圖所示，所以選A.答案：A4f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)g(x)f(x)g(x)<0，且f(1)0，則f(x)g(x)<0的解集為()A(1,0)(1，) B(1,0)(0,1)C(，1)(1，) D(，1)(0,1)解析：令F(x)f(x)g(x)，則F(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)<0，即F(x)在(，0)上為減函數(shù)又f(1)0，即F(1)0.F(x)f(x)g(x)<0的解集為(1,0)(1，)答案：A二、填空題5若函數(shù)yx22bx6在(2,8)內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析：y2x2b0在(2,8)內(nèi)恒成立，即bx在(2,8)內(nèi)恒成立，b2.答案：(，26已知函數(shù)yf(x)在定義域4,6內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖，記yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，則不等式f(x)0的解集為_解析：f(x)0的解集，即為函數(shù)yf(x)的單調(diào)減區(qū)間，f(x)0的解集為.答案：7設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)x2，則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是_，減區(qū)間是_解析：f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0.故f(x) 在(，1)，(0，)上單調(diào)遞增，在(1,0)上單調(diào)遞減答案：(，1)和(0，)(1,0)8已知函數(shù)f(x)2x2ln x(a0)若函數(shù)f(x)在1,2上為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：f(x)4x，若函數(shù)f(x)在1,2上為單調(diào)函數(shù)，即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立，即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x，則h(x)在1,2上單調(diào)遞增，所以h(2)或h(1)，即或3，又a0，所以0a或a1.答案：1，)三、解答題9已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)對f(x)求導(dǎo)得f(x)，由f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，則f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因x1不在f(x)的定義域(0，)內(nèi)，故舍去當(dāng)x(0,5)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x(5，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(5，)內(nèi)為增函數(shù)10已知函數(shù)f(x)aln xax3(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時(shí)，證明：當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)2>0.解：(1)根據(jù)題意知，f(x)(x>0)，當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)；同理，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)3，不是單調(diào)函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間(2)證明：當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>f(1)即f(x)>2，所以f(x)2>0.