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課時(shí)分層作業(yè)(七)　橢圓的幾何性質(zhì) (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1．若橢圓＋＝1(0＜a＜36)的焦距為4，則a＝________. [解析]　∵0＜a＜36，∴36－a＝22，∴a＝32. [答案]　32 2．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392069】 [解析]　方程可化為＋＝1，易知a＝5，b＝3，c＝4， 所以長軸長為10，短軸長為6，離心率為. [答案]　10,6， 3．已知橢圓＋＝1與橢圓＋＝1有相同的長軸，橢圓＋＝1的短軸長與橢圓＋＝1的短軸長相等，則a2＝________，b2＝________. [解析]　因?yàn)闄E圓＋＝1的長軸長為10，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓＋＝1的短軸長為6，所以a2＝25，b2＝9. [答案]　25　9 4．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為________． [解析]　由題意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3. 故橢圓方程為＋＝1. [答案]?。? 5．橢圓＋＝1的離心率為，則實(shí)數(shù)m的值為________． [解析]　當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝m，b2＝4，且m＞4，則e2＝＝1－＝1－＝，∴m＝； 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝4，b2＝m，且0＜m＜4， 則e2＝＝1－＝1－＝，∴m＝3. [答案]　3或 6．橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F到過頂點(diǎn)A(－a，0)，B(0，b)的直線的距離等于，則橢圓的離心率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392070】 [解析]　由題意知直線AB的方程為＋＝1，即bx－ay＋ab＝0. 左焦點(diǎn)為F(－c,0)，則＝. ∴(a－c)＝， ∴7(a－c)2＝a2＋b2＝a2＋a2－c2＝2a2－c2，即5a2－14ac＋8c2＝0， ∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝或e＝. 又∵0b>0)， 得y2＝b2＝，∴y＝. 設(shè)P，橢圓的右頂點(diǎn)A(a,0)，上頂點(diǎn)B(0，b)． ∵OP∥AB，∴kOP＝kAB，∴－＝－， ∴b＝c.而a2＝b2＋c2＝2c2，∴a＝c，∴e＝＝. 又∵a－c＝－，解得a＝，c＝，∴b＝， ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 10．設(shè)直線y＝x＋b與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)． (1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍； (2)當(dāng)b＝1時(shí)，求|AB|. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392071】 [解]　(1)將y＝x＋b代入＋y2＝1， 消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0. ① 因?yàn)橹本€y＝x＋b與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)， 所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0， 解得－＜b＜. 所以b的取值范圍為(－，)． (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 當(dāng)b＝1時(shí)，方程①為3x2＋4x＝0. 解得x1＝0，x2＝－. 所以y1＝1，y2＝－. 所以|AB|＝＝. [能力提升練] 1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4，則C的方程為______． [解析]　根據(jù)題意，因?yàn)椤鰽F1B的周長為4，所以AF1＋AB＋BF1＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4，所以a＝.又因?yàn)闄E圓的離心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1. [答案]?。? 2．若A為橢圓x2＋4y2＝4的右頂點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，則該三角形的面積為________． [解析]　由題意得，該三角形的兩直角邊關(guān)于x軸對(duì)稱，且其中一邊在過點(diǎn)A(2,0)，斜率為1的直線上，且此直線的方程為y＝x－2，代入x2＋4y2＝4，得5x2－16x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝.把x＝代入橢圓方程，得y＝，所以三角形的面積S＝＝. [答案]　 3．過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F，若

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