課時分層作業(yè)(七)橢圓的幾何性質(建議用時：40分鐘)基礎達標練一、填空題1若橢圓1(0a36)的焦距為4，則a_.解析0a36，36a22，a32.答案322橢圓25x29y2225的長軸長、短軸長、離心率依次是_. 【導學號：71392069】解析方程可化為1，易知a5，b3，c4，所以長軸長為10，短軸長為6，離心率為.答案10,6，3已知橢圓1與橢圓1有相同的長軸，橢圓1的短軸長與橢圓1的短軸長相等，則a2_，b2_.解析因為橢圓1的長軸長為10，焦點在x軸上，橢圓1的短軸長為6，所以a225，b29.答案2594已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為_解析由題意得2a12，所以a6，c3，b3.故橢圓方程為1.答案15橢圓1的離心率為，則實數(shù)m的值為_解析當橢圓的焦點在x軸上時，a2m，b24，且m4，則e211，m；當橢圓的焦點在y軸上時，a24，b2m，且0m4，則e211，m3.答案3或6橢圓1(a>b>0)的左焦點F到過頂點A(a，0)，B(0，b)的直線的距離等于，則橢圓的離心率為_. 【導學號：71392070】解析由題意知直線AB的方程為1，即bxayab0.左焦點為F(c,0)，則.(ac)，7(ac)2a2b2a2a2c22a2c2，即5a214ac8c20，8e214e50，解得e或e.又0<e<1，e.答案7某航天飛行控制中心對某衛(wèi)星成功實施了第二次近月制動，衛(wèi)星順利進入周期為3.5 h的環(huán)月小橢圓軌道(以月球球心為焦點)衛(wèi)星遠月點(距離月球表面最遠的點)高度降至1 700 km，近月點(距離月球表面最近的點)高度是200 km，月球的半徑約是1 800 km，且近月點、遠月點及月球的球心在同一直線上，此時小橢圓軌道的離心率是_圖224解析可設小橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，由已知得2a1 70021 800200，a2 750.又ac1 7001 800，c750.e.答案8過橢圓x22y24的左焦點作傾斜角為30的直線，交橢圓于A，B兩點，則弦長AB_.解析橢圓左焦點為(，0)，直線方程為y(x)，由得5x24x80，x1x2，x1x2，弦長AB.答案二、解答題9若橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，點P是橢圓上的一點，P在x軸上的射影恰為橢圓的左焦點，P與中心O的連線平行于右頂點與上頂點的連線，且左焦點與左頂點的距離等于，試求橢圓的離心率及其方程解令xc，代入1(a>b>0)，得y2b2，y.設P，橢圓的右頂點A(a,0)，上頂點B(0，b)OPAB，kOPkAB，bc.而a2b2c22c2，ac，e.又ac，解得a，c，b，所求橢圓的標準方程為1.10設直線yxb與橢圓y21相交于A，B兩個不同的點(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)當b1時，求|AB|. 【導學號：71392071】解(1)將yxb代入y21，消去y，整理得3x24bx2b220. 因為直線yxb與橢圓y21相交于A，B兩個不同的點，所以16b212(2b22)248b20，解得b.所以b的取值范圍為(，)(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)當b1時，方程為3x24x0.解得x10，x2.所以y11，y2.所以|AB|.能力提升練1已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點若AF1B的周長為4，則C的方程為_解析根據題意，因為AF1B的周長為4，所以AF1ABBF1AF1AF2BF1BF24a4，所以a.又因為橢圓的離心率e，所以c1，b2a2c2312，所以橢圓C的方程為1. 答案12若A為橢圓x24y24的右頂點，以A為直角頂點作一個內接于橢圓的等腰直角三角形，則該三角形的面積為_解析由題意得，該三角形的兩直角邊關于x軸對稱，且其中一邊在過點A(2,0)，斜率為1的直線上，且此直線的方程為yx2，代入x24y24，得5x216x120，解得x12，x2.把x代入橢圓方程，得y，所以三角形的面積S.答案3過橢圓C：1(a>b>0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若<k<，則橢圓離心率的取值范圍是_. 【導學號：71392072】解析因為<k<，所以點B在第一象限由題意可知點B的坐標為.因為點A的坐標為(a，0)，所以k，所以<<.又因為b2a2c2，所以1e，所以<1e<，解得<e<，故橢圓離心率的取值范圍是.答案4.如圖225，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(3,1)在橢圓上，PF1F2的面積為2.圖225(1)求橢圓C的標準方程；(2)若點Q在橢圓C上，且F1QF2，求QF1QF2的值；(3)設直線yxk與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點，求實數(shù)k的值解(1)橢圓過點P(3,1)，1.又S2c12，解得c2.又a2b2c2解得a212，b24，橢圓的標準方程為1.(2)當F1QF2時，有QF1QF2.(3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x26kx3k2120，故x1x2，x1x2，y1y2.以AB為直徑的圓經過坐標原點，x1x2y1y2k260，解得k，此時1200，滿足條件，因此k.