專題04 導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用【自主熱身，歸納提煉】1、曲線yxcosx在點(diǎn)處的切線方程為_【答案】2xy0【解析】：因?yàn)閥1sinx，所以k切2，所以所求切線方程為y2，即2xy0.2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線ylnx在xe(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線與直線axy30垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_【答案】e【解析】：因?yàn)閥，所以曲線ylnx在xe處的切線的斜率kyxe.又該切線與直線axy30垂直，所以a1，所以ae.3、若曲線C1：yax36x212x與曲線C2：yex在x1處的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_【答案】 【解析】：因?yàn)閥3ax212x12，yex，所以兩條曲線在x1處的切線斜率分別為k13a，k2e，即k1k21，即3ae1，所以a.4、 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記曲線y2x(xR，m2)在x1處的切線為直線l.若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，則實(shí)數(shù)m的值為_【答案】3或4【解析】：y2，yx12m，所以直線l的方程為y(2m)(2m)(x1)，即y(2m)x2m.令x0，得y2m；令y0，x.由題意得2m12，解得m3或m4.5、設(shè)f(x)4x3mx2(m3)xn(m，nR)是R上的單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_【答案】6【解析】:因?yàn)閒(x)12x22mx(m3)，又函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，所以12x22mx(m3)0在R上恒成立，所以(2m)2412(m3)0，整理得m212m360，即(m6)20.又因?yàn)?m6)20，所以(m6)20，所以m6.6、已知函數(shù)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 【答案】（-5，0）【解析】由，所以，所以，在上單調(diào)遞增，即至多有一個(gè)交點(diǎn)，要使函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即，從而可得(5,0)7、已知點(diǎn)A(1,1)和B(1，3)在曲線C：yax3bx2d(a，b，d均為常數(shù))上若曲線C在點(diǎn)A，B處的切線互相平行，則a3b2d_.【答案】：7【解析】由題意得y3ax22bx，因?yàn)閗1k2，所以3a2b3a2b，即b0.又ad1，da3，所以d1，a2，即a3b2d7.8、已知函數(shù)f(x)lnx(mR)在區(qū)間1，e上取得最小值4，則m_.【答案】：3e9、 曲線f(x)exf(0)xx2在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為_【答案】：yex【解析】：因?yàn)閒(x)exf(0)x，故有即原函數(shù)表達(dá)式可化為f(x)exxx2，從而f(1)e，所以所求切線方程為ye(x1)，即yex.應(yīng)注意“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)處的切線”的區(qū)別，前者表示此點(diǎn)即為切點(diǎn)，后者表示此點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，過此點(diǎn)可能存在兩條或多條切線10、已知函數(shù)在時(shí)取得極值，則a的值等于 【答案】：3【解析】 ，根據(jù)題意，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以a的值等于311已知三次函數(shù)在是增函數(shù)，則m的取值范圍是 【答案】：【解析】 ，由題意得恒成立，12、 若函數(shù)在開區(qū)間既有最大值又有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】：【解析】 ：函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，又因?yàn)楹瘮?shù)在開區(qū)間內(nèi)既有最大值又有最小值，所以即a的取值范圍是 【問題探究，開拓思維】例1、若直線為曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)的值是 【答案】：1 【解析】： 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由曲線，得，所以依題意切線的斜率為，得，所以切點(diǎn)為，又因?yàn)榍芯€過切點(diǎn)，故有，解得. (3) 當(dāng)a1時(shí)，記h(x)f(x)g(x)，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式2h(x)有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由(參考數(shù)據(jù)：ln20.693 1，ln31.098 6) 思路分析 第(2)問，由于問題中含有參變量a，因此，函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間就隨著a的變化而變化，因此，就需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，要討論時(shí)，注意討論的標(biāo)準(zhǔn)的確定方式：一是導(dǎo)函數(shù)是何種函數(shù)；二是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)；三是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的大小關(guān)系如何第(3)問，注意到2h(x)有解等價(jià)于h(x)min2，因此，問題歸結(jié)為求函數(shù)h(x)的最小值，在研究h(x)的最小值時(shí)，要注意它的極值點(diǎn)是無法求解的，因此，通過利用極值點(diǎn)所滿足的條件來進(jìn)行消去lnx來解決問題另一方面，我們還可以通過觀察，來猜測(cè)的最小值為0，下面來證明當(dāng)1時(shí)2h(x)不成立，即h(x)2則可【解析】：(1) 當(dāng)a2時(shí)，方程g(ex)0即為2ex30，去分母，得2(ex)23ex10，解得ex1或ex，(2分)故所求方程的根為x0或xln2.(4分)綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)0a1時(shí)，(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a1時(shí)，(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .(10分)(3) 解法1 當(dāng)a1時(shí)，g(x)x3，h(x)(x3)lnx，所以h(x)lnx1單調(diào)遞增，hln120，h(2)ln210，所以存在唯一x0，使得h(x0)0，即lnx010，(12分)當(dāng)x(0，x0)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)0，所以h(x)minh(x0)(x03)lnx0(x03)6.記函數(shù)r(x)6，則r(x)在上單調(diào)遞增，(14分)所以rh(x0)r(2)，即h(x0)，由2，且為整數(shù)，得0，所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.(16分) 解法2 當(dāng)a1時(shí)，g(x)x3，所以h(x)(x3)lnx，由h(1)0，得當(dāng)0時(shí)，不等式2h(x)有解，(12分)下證：當(dāng)1時(shí)，h(x)2恒成立，即證(x3)lnx2恒成立顯然當(dāng)x(0,13，)時(shí)，不等式恒成立，只需證明當(dāng)x(1,3)時(shí)，(x3)lnx2恒成立即證明lnx0.令m(x)lnx，所以m(x)，由m(x)0，得x4，(14分)當(dāng)x(1,4)時(shí)，m(x)0；當(dāng)x(4，3)時(shí)，m(x)0.所以m(x)maxm(4)ln(4)ln(42)ln210.所以當(dāng)1時(shí)，h(x)2恒成立綜上所述，存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.(16分)解后反思 研究恒成立問題、存在性問題，其本質(zhì)就是研究相關(guān)函數(shù)的最值問題，這樣就可以讓問題的研究目標(biāo)具體化同時(shí)，在研究此類問題時(shí)，經(jīng)?？梢圆捎脧奶厥獾揭话愕姆绞絹韼椭覀冞M(jìn)行思考