第3課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算1.掌握三角形的面積公式的應(yīng)用.(重點(diǎn))2.掌握正、余弦定理與三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用.(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理三角形面積公式閱讀教材P10探索與研究P11，完成下列問題.1.三角形的面積公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)；(2)Sabsin Cbcsin_Acasin_B；(3)S(abc)r(r為內(nèi)切圓半徑).2.三角形中常用的結(jié)論(1)ABC，；(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然；(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；(4)三角形的誘導(dǎo)公式sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，sin cos ，cos sin .1.下列說法中正確的是_(填序號(hào)).(1)已知三角形的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積S(abc)r；(2)在ABC中，若cb2，SABC，則A60；(3)在ABC中，若a6，b4，C30，則SABC的面積是6；(4)在ABC中，若sin 2Asin 2B，則AB.【解析】(1)錯(cuò)誤.因?yàn)橐粋€(gè)三角形可以分割成三個(gè)分別以a，b，c為底，以內(nèi)切圓的半徑為高的三角形，所以三角形的面積為Sarbrcr(abc)r.(2)錯(cuò)誤.由三角形面積公式Sbcsin A得，22sin A，所以sin A，則A60或A120.(3)正確.因?yàn)槿切蔚拿娣eSabsin C64sin 306.(4)錯(cuò)誤.因?yàn)樵贏BC中，若sin 2Asin 2B，則2A2B或2A2B，即AB或AB.【答案】(3)2.在ABC中，a6，B30，C120，則ABC的面積為_【解析】由題知A1801203030.，b6，S66sin 1209.【答案】93.在ABC中，ab60，SABC15，ABC的外接圓半徑為，則邊c的長為_.【解析】SABCabsin C15，sin C.由正弦定理2R，c2Rsin C3.【答案】34.若ABC的面積為，BC2，C60，則邊AB的長度等于_.【解析】在ABC中，由面積公式得SBCACsin C2ACsin 60AC，AC2.BC2，C60，ABC為等邊三角形.AB2.【答案】2小組合作型三角形面積的計(jì)算(1)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為()A.22B.1C.22D.1(2)在ABC中，SABC(a2b2c2)，則C_.(3)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面積SABC，則邊BC的長為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082012】【精彩點(diǎn)撥】(1)利用正弦定理求邊c，然后利用三角形面積公式求解.(2)由三角形面積Sabsin C與余弦定理cos C相結(jié)合求解.(3)由已知可先利用三角形面積公式Sbcsin A求出AC，然后利用余弦定理求BC.【自主解答】(1)由正弦定理及已知條件得c2，又sin Asin(BC).從而SABCbcsin A221.(2)由SABC(a2b2c2)得absin C(a2b2c2)，即sin C.sin Ccos C，即tan C1，C.(3)由SABC，得ABACsin A，即2AC，AC1.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A22122213.BC.【答案】(1)B(2)(3) 1.由于三角形的面積公式有三種形式，實(shí)際使用時(shí)要結(jié)合題目的條件靈活運(yùn)用.2.如果已知兩邊及其夾角可以直接求面積，否則先用正、余弦定理求出需要的邊或角，再套用公式計(jì)算.再練一題1.已知在ABC中，cos A，cos B，BC5，求ABC的面積.【解】由cos A，得sin A.由cos B，得sin B.所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理得AC.所以ABC的面積為SBCACsin C5.三角形的證明問題在ABC中，A、B、C的對邊分別為a，b，c.證明：.【精彩點(diǎn)撥】由左往右證，可由邊化角展開；由右往左證，可由角化邊展開.【自主解答】法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，a2b2b2a22bccos A2accos B，整理得：.依正弦定理有，.法二：.1.三角恒等式證明的三個(gè)基本原則(1)統(tǒng)一邊角關(guān)系.(2)由繁推簡.(3)目標(biāo)明確，等價(jià)轉(zhuǎn)化.2.三角恒等式證明的基本途徑(1)把角的關(guān)系通過正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，然后進(jìn)行化簡、變形.(2)把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過正弦定理，然后利用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.再練一題2.在ABC中，求證：.【證明】由正弦定理得右邊左邊.原等式成立.探究共研型三角形中的綜合問題探究1如圖1228所示，圖中共有幾個(gè)三角形？線段AD分別是哪些三角形的邊，B是哪些三角形的內(nèi)角？圖1228【提示】在圖形中共有三個(gè)三角形，分別為ABC，ABD，ADC；線段AD是ADC與ABD的公共邊，B既是ABC的內(nèi)角，又是ABD的內(nèi)角.探究2在探究1中，若sin Bsin ADB，則ABD是什么形狀的三角形？在此條件下若已知ABm，DCn，如何求出AC?【提示】若sin Bsin ADB，則ABD為等腰三角形，在此條件下，可在ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在ADC中求出AC，也可以在ABD中先求出BD，然后在ABC中，利用余弦定理求出AC.探究3在探究1的圖形中若已知B與C的大小如何表示(或求)A，如何用B與C的正、余弦值表示A的正弦值？【提示】A(BC)，sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A，bsincsina.(1)求證：BC；(2)若a，求ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082013】【精彩點(diǎn)撥】(1)先由正弦定理化邊為角，再化簡已知三角形即證.(2)結(jié)合第(1)問可直接求出B，C，再利用面積公式求值；也可以作輔助線導(dǎo)出b，c的大小關(guān)系，再由余弦定理求值，最后用面積公式求解.【自主解答】(1)由bsincsina，應(yīng)用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，所以sin Bsin Csin Bcos B，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，因?yàn)?<B<，0<C<，從而BC.(2)因BCA，所以B，C.由a，A得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面積Sbcsin Asin sin cos sin .1.解三角形綜合問題，除靈活運(yùn)用正、余弦定理及三角形的有關(guān)知識(shí)外，一般還要用到三角函數(shù)，三角恒等變換，平面向量等知識(shí)，因此掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2.三角形問題中，涉及變量取值范圍或最值問題要注意函數(shù)思想的應(yīng)用.再練一題3.如圖1229，在四邊形ABCD中，ACCDAB1，1，sinBCD.圖1229(1)求BC邊的長；(2)求四邊形ABCD的面積.【解】(1)ACCDAB1，|cosBAC2cosBAC1，cosBAC，BAC60.在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC22122213，BC.(2)由(1)知，在ABC中，有AB2BC2AC2，ABC為直角三角形，且ACB90，SABCBCAC1.又BCDACBACD90ACD，sinBCD，cosACD，從而sinACD，SACDACCDsinACD11.S四邊形ABCDSABCSACD.1.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a5，b4，cos C，則ABC的面積是()A.8 B.6 C.4 D.2【解析】cos C，C(0，)，sin C，SABCabsin C546.故選B.【答案】B2.已知ABC的面積為，且b2，c，則()A.A30B.A60C.A30或150D.A60或120【解析】Sbcsin A，2sin A，sin A，A60或120.故選D.【答案】D3.在ABC中，已知AB3，A120，且ABC的面積為，則BC邊的長為_.【解析】SABC3bsin 120，b5，由余弦定理得a23252235cos 12049，a7，即BC7.【答案】74.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知BC，a，b1，則SABC等于_.【解析】因?yàn)锽C，所以A，由，得，則sin B，因?yàn)閍>b，所以A>B，則B，所以C，SABCabsin C11.【答案】5.在ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別為a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin B2sin A，求ABC的面積.【解】(1)由余弦定理，得a2b2ab4.因?yàn)锳BC的面積等于，所以absin C，得ab4.聯(lián)立方程解得(2)由正弦定理，已知條件可化為b2a.聯(lián)立方程解得所以ABC的面積Sabsin C.