圓的方程一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與y軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓的標準方程為( )A. x2+(y-1)2=8 B. x2+(y+1)2=8C. (x-1)2+(y+1)2=8 D. (x+1)2+(y-1)2=8（正確答案）A解：對于直線x-y+1=0，令x=0，解得y=1圓心C(0,1)，設(shè)圓的半徑為r，圓C與直線x+y+3=0相切，r=|1+3|2=22，圓的標準方程為x2+(y-1)2=8故選：A對于直線x-y+1=0，令x=0，解得y.可得圓心C.設(shè)圓的半徑為r，利用點到直線的距離公式及其圓C與直線x+y+3=0相切的充要條件可得r本題考查了點到直線的距離公式及其圓與直線相切的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題2. 若過原點O的動直線l將圓E:(x-1)2+(y-2)2=10分成兩部分的面積之差最大時，直線l與圓的交點記為A，B;直線l將圓E分成兩部分的面積相等時，直線l與圓的交點記為C，D;則四邊形ACBD的面積為 ( )A. 5 B. 10 C. 102 D. 210（正確答案）C當直線lOE時，弦AB將圓E分成兩部分的面積之差最大，當直線l過圓心E(即與OE重合)時，直徑CD將圓E分成兩部分的面積相等.圓心E(1,2)到原點O的距離為，半徑為，所以|AB|=2，因為S四邊形ACBD= |CD|AB|，所以S四邊形ACBD= 2 2 =103. 已知圓的方程為x2+y2-2x-6y+1=0，那么圓心坐標為( )A. (-1,-3) B. (1,-3) C. (1,3) D. (-1,3)（正確答案）C解：將圓x2+y2-2x-6y+1=0化成標準方程，得(x-1)2+(y-3)2=9，圓表示以C(1,3)為圓心，半徑r=3的圓故選：C將已知圓化成標準方程并對照圓標準方程的基本概念，即可得到所求圓心坐標本題給出圓的一般方程，求圓心的坐標.著重考查了圓的標準方程與一般方程的知識，屬于基礎(chǔ)題4. 圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是( )A. x2+y2+10y=0 B. x2+y2-10y=0 C. x2+y2+10x=0 D. x2+y2-10x=0（正確答案）B解：圓心在y軸上且過點(3,1)的圓與x軸相切，設(shè)圓的圓心(0,r)，半徑為r則：(3-0)2+(1-r)2=r解得r=5所求圓的方程為：x2+(y-5)2=25.即x2+y2-10y=0故選：B設(shè)出圓的圓心與半徑，利用已知條件，求出圓的圓心與半徑，即可寫出圓的方程本題考查圓的方程的求法，求出圓的圓心與半徑是解題的關(guān)鍵5. 某學(xué)校有2500名學(xué)生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線ax+by+8=0與以A(1,-1)為圓心的圓交于B，C兩點，且BAC=120，則圓C的方程為( )A. (x-1)2+(y+1)2=1 B. (x-1)2+(y+1)2=2C. (x-1)2+(y+1)2=1817 D. (x-1)2+(y+1)2=1215（正確答案）C解：由題意，1002500=a1000=b600，a=40，b=24，直線ax+by+8=0，即5x+3y+1=0，A(1,-1)到直線的距離為|5-3+1|25+9=334，直線ax+by+8=0與以A(1,-1)為圓心的圓交于B，C兩點，且BAC=120，r=634，圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=1817，故選C根據(jù)分層抽樣的定義進行求解a，b，利用點到直線的距離公式，求出A(1,-1)到直線的距離，可得半徑，即可得出結(jié)論本題考查分層抽樣，考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題6. 已知平面上點P(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=16，其中x02+y02=4，當x0，y0變化時，則滿足條件的點P在平面上所組成圖形的面積是( )A. 4 B. 16 C. 32 D. 36（正確答案）C解：由題意可得，點P在圓)|(x-x0)2+(y-y0)2=16上，而且圓心(x0,y0)在以原點為圓心，以2為半徑的圓上滿足條件的點P在平面內(nèi)所組成的圖形的面積是以6為半徑的圓的面積減去以2為半徑的圓的面積，即36-4=32，故選：C先根據(jù)圓的標準方程求出圓心和半徑，然后研究圓心的軌跡，根據(jù)點P在平面內(nèi)所組成的圖形是一個環(huán)面進行求解即可本題主要考查了圓的參數(shù)方程，題目比較新穎，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題7. 已知三點A(1,0)，B(0,3)，C(2,3)則ABC外接圓的圓心到原點的距離為( )A. 53 B. 213 C. 253 D. 43（正確答案）B解：因為ABC外接圓的圓心在直線BC垂直平分線上，即直線x=1上，可設(shè)圓心P(1,p)，由PA=PB得|p|=1+(p-3)2，得p=233圓心坐標為P(1,233)，所以圓心到原點的距離|OP|=1+(233)2=1+129=213，故選：B利用外接圓的性質(zhì)，求出圓心坐標，再根據(jù)圓心到原點的距離公式即可求出結(jié)論本題主要考查圓性質(zhì)及ABC外接圓的性質(zhì)，了解性質(zhì)并靈運用是解決本題的關(guān)鍵8. 在平面直角坐標系xOy中，已知點A(4,3)，點B是圓(x+1)2+y2=4上的動點，則線段AB的中點M的軌跡方程是( )A. (x-32)2+(y-32)2=1 B. (x-32)2+(y-32)2=4C. (x-3)2+(y-3)2=1 D. (x-3)2+(y-3)2=2（正確答案）A解：設(shè)M(x,y)，B(x1,y1)，又A(4,3)，且M為AB的中點，y1+3=2yx1+4=2x，則y1=2y-3x1=2x-4，點B在圓(x+1)2+y2=4上，(x1+1)2+y12=4，即(2x-3)2+(2y-3)2=4線段AB的中點M的軌跡方程是(x-32)2+(y-32)2=1故選：A設(shè)出M(x,y)，B(x1,y1)的坐標，利用中點坐標公式把B的坐標用M的坐標表示，代入已知圓的方程得答案本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用代入法求動點的軌跡，是中檔題9. 阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0且k1)的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比為2，當P，A，B不共線時，PAB面積的最大值是( )A. 22 B. 2 C. 223 D. 23（正確答案）A解：設(shè)A(1,0)，B(-1,0)，P(x,y) 則(x-1)2+y2(x+1)2+y2=2，化簡得(x+3)2+y2=8 如圖， 當點P到AB(x軸)距離最大時，PAB面積的最大值，PAB面積的最大值是12222=22故選：A設(shè)A(1,0)，B(-1,0)，P(x,y)，則(x-1)2+y2(x+1)2+y2=2，化簡得(x+3)2+y2=8，當點P到AB(x軸)距離最大時，PAB面積的最大值，本題考查軌跡方程求解、直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題10. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，點P、Q分別在直線A1C1和BD上運動，且PQ=8，則PQ的中點M的軌跡是( )A. 平行四邊形 B. 圓 C. 橢圓 D. 非以上圖形（正確答案）A解：如圖所示，點P在A1點時，Q點從點G運動到點H，則EF是中點M的軌跡；同理，點P在C1點、點Q在B點、點Q在C點時，中點M的軌跡對應(yīng)四條線段，且兩組對邊平行且相等所以，PQ的中點M的軌跡是平行四邊形故選：A如圖所示，點P在A1點時，Q點從點G運動到點H，則EF是中點M的軌跡；同理，點P在C1點、點Q在B點、點Q在C點時，中點M的軌跡對應(yīng)四條線段，且兩組對邊平行且相等，即可得出結(jié)論本題考查軌跡方程，考查立體幾何與解析幾何的綜合，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題11. 在平面直角坐標系xOy中，以(-2,0)為圓心且與直線(3m+1)x+(1-2m)y-5=0(mR)相切的所有圓中，面積最大的圓的標準方程是( )A. (x+2)2+y2=16 B. (x+2)2+y2=20 C. (x+2)2+y2=25 D. (x+2)2+y2=36（正確答案）C解：根據(jù)題意，設(shè)圓心為P，則點P的坐標為(-2,0) 對于直線(3m+1)x+(1-2m)y-5=0，變形可得m(3x-2y)m+(x+y-5)=0 即直線過定點M(2,3)，在以點(-2,0)為圓心且與直線(3m+1)x+(1-2m)y-5=0，面積最大的圓的半徑r長為MP，則r2=MP2=25，則其標準方程為(x+2)2+y2=25；故選B根據(jù)題意，將直線的方程變形可得m(3x-2y)m+(x+y-5)=0，分析可得其定點M(2,3)，進而分析可得滿足題意的圓是以P為圓心，半徑為MP的圓，求出MP的長，將其代入圓的標準方程計算可得答案本題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是分析出直線(3m+1)x+(1-2m)y-5=0過的定點坐標12. 已知圓C過坐標原點，面積為2，且與直線l：x-y+2=0相切，則圓C的方程是( )A. (x+1)2+(y+1)2=2B. (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2C. (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2D. (x-1)2+(y-1)2=2（正確答案）C解：設(shè)圓心坐標為(a,b)，面積為2，半徑r=2，圓C過坐標原點，且與直線l：x-y+2=0相切，a2+b2=|a-b+2|2=2，a=b=1，圓心為(1,1)或(-1,-1)，圓C的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2，故選：C設(shè)圓心坐標為(a,b)，利用圓C過坐標原點，面積為2，且與直線l：x-y+2=0相切，求出a，b，即可求出圓C的方程本題考查的是圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，利用條件建立方程，求出圓心與半徑是解題的關(guān)鍵所在二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 已知A(-1,4)，B(3,-2)，以AB為直徑的圓的標準方程為_ （正確答案）(x-1)2+(y-1)2=13解：設(shè)圓心為C，A(-1,4)，B(3,-2)，圓心C的坐標為(1,1)；|AC|=(1+1)2+(1-4)2=13，即圓的半徑r=13，則以線段AB為直徑的圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=13故答案為：(x-1)2+(y-1)2=13因為線段AB為所求圓的直徑，所以利用中點坐標公式求出線段AB的中點即為所求圓的圓心坐標，再利用兩點間的距離公式求出圓心C與點A之間的距離即為所求圓的半徑，根據(jù)求出的圓心坐標與半徑寫出圓的標準方程即可此題考查了中點坐標公式，兩點間的距離公式以及圓的標準方程，解答本題的關(guān)鍵是靈活運用已知條件確定圓心坐標及圓的半徑.同時要求學(xué)生會根據(jù)圓心與半徑寫出圓的標準方程14. 圓心在直線2x-y=0上的圓C與x軸的正半軸相切，圓C截y軸所得的弦的長為23，則圓C的標準方程為_（正確答案）(x-1)2+(y-2)2=4解：設(shè)圓心(t,2t)(t>0)，則由圓與x軸相切，可得半徑r=2|t|圓心到y(tǒng)軸的距離d=t，由圓C截y軸所得的弦的長為23，4t2=t2+3 解得t=1故圓心為(1,2)，半徑等于2故圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=4故答案為(x-1)2+(y-2)2=4設(shè)圓心(t,2t)，由題意可得半徑r=2|t|，求出圓心到直線的距離d，再由4t2=t2+3，解得t的值，從而得到圓心坐標和半徑，由此求出圓的方程本題主要考查求圓的標準方程的方法，求出圓心坐標和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題15. 已知圓C的圓心在x軸正半軸上，點(0,5)圓C上，且圓心到直線2x-y=0的距離為455，則圓C的方程為_ （正確答案）(x-2)2+y2=9解：由題意設(shè)圓的方程為(x-a)2+y2=r2(a>0)，由點M(0,5)在圓上，且圓心到直線2x-y=0的距離為455，得a2+5=r2|2a|5=455，解得a=2，r=3圓C的方程為：(x-2)2+y2=9故答案為：(x-2)2+y2=9由題意設(shè)出圓的方程，把點M的坐標代入圓的方程，結(jié)合圓心到直線的距離列式求解本題考查圓的標準方程，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題16. 已知圓C的圓心與點M關(guān)于直線x-y+1=0對稱，并且圓C與雙曲線 -y2=1的漸近線相切，則圓C的方程為 （正確答案）x2+(y-2)2=3因為圓C的圓心與點M(1,1)關(guān)于直線x-y+1=0對稱，所以圓C的圓心為(0,2)，雙曲線 -y2=1的漸近線方程為 y=0，與圓相切，所以圓的半徑為所以圓C的方程為x2+(y-2)2=3三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點()若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR/FQ；()若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程（正確答案）()證明：連接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP/BQ，得AFP+BFQ=90，PFQ=90，R是PQ的中點，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180-QBF=PAF=2PAR，F(xiàn)QB=PAR，PRA=PQF，AR/FQ()設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)， F(12,0)，準線為x=-12， SPQF=12|PQ|=12|y1-y2|，設(shè)直線AB與x軸交點為N，SABF=12|FN|y1-y2|，PQF的面積是ABF的面積的兩倍，2|FN|=1，xN=1，即N(1,0)設(shè)AB中點為M(x,y)，由y22=2x2y12=2x1得y12-y22=2(x1-x2)，又y1-y2x1-x2=yx-1，yx-1=1y，即y2=x-1AB中點軌跡方程為y2=x-1()連接RF，PF，利用等角的余角相等，證明PRA=PQF，即可證明AR/FQ；()利用PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求出N的坐標，利用點差法求AB中點的軌跡方程本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題18. 設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E()證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；()設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍（正確答案）解：()證明：圓x2+y2+2x-15=0即為(x+1)2+y2=16，可得圓心A(-1,0)，半徑r=4，由BE/AC，可得C=EBD，由AC=AD，可得D=C，即為D=EBD，即有EB=ED，則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且有2a=4，即a=2，c=1，b=a2-c2=3，則點E的軌跡方程為x24+y23=1(y0)；()橢圓C1：x24+y23=1，設(shè)直線l：x=my+1，由PQl，設(shè)PQ：y=-m(x-1)，由3x2+4y2=12x=my+1可得(3m2+4)y2+6my-9=0，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，則|MN|=1+m2|y1-y2|=1+m236m2(3m2+4)2+363m2+4 =1+m236(4m2+4)3m2+4=121+m23m2+4，A到PQ的距離為d=|-m(-1-1)|1+m2=|2m|1+m2，|PQ|=2r2-d2=216-4m21+m2=43m2+41+m2，則四邊形MPNQ面積為S=12|PQ|MN|=1243m2+41+m2121+m23m2+4 =241+m23m2+4=2413+11+m2，當m=0時，S取得最小值12，又11+m2>0，可得S<2433=83，即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是12,83).()求得圓A的圓心和半徑，運用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得EB=ED，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，求得a，b，c，即可得到所求軌跡方程；()設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|MN|，由PQl，設(shè)PQ：y=-m(x-1)，求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得|PQ|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍本題考查軌跡方程的求法，注意運用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及直線和圓相交的弦長公式，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題19. 已知圓C：(x+1)2+y2=8，點A(1,0)，P是圓C上任意一點，線段AP的垂直平分線交CP于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡為曲線E(1)求曲線E的方程；(2)若直線l：y=kx+m與曲線E相交于M，N兩點，O為坐標原點，求MON面積的最大值（正確答案）解：()點Q在線段AP的垂直平分線上，|AQ|=|PQ|又|CP|=|CQ|+|QP|=22，|CQ|+|QA|=22>|CA|=2曲線E是以坐標原點為中心，C(-1,0)和A(1,0)為焦點，長軸長為22的橢圓設(shè)曲線E的方程為x2a2+y2b2=1，(a>b>0)c=1，a=2，b2=2-1=1曲線E的方程為x22+y2=1()設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2). 聯(lián)立y=kx+mx22+y2=1消去y，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0此時有=16k2-8m2+8>0由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，. |MN|=1+k2(-4km1+2k2)2-42m2-21+2k2=1+k21+2k28(2k2-m2+1) 原點O到直線l的距離d=|m|1+k2-，SMON=12|MN|d=21+2k2m2(2k2-m2+1)，由>0，得2k2-m2+1>0又m0，據(jù)基本不等式，得SMON=21+2k2m2(2k2-m2+1)21+2k2m2+2k2-m2+12=22，當且僅當m2=2k2+12時，不等式取等號MON面積的最大值為22(1)根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出a，b即可(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，利用消元法結(jié)合設(shè)而不求的思想進行求解即可本題主要考查與橢圓有關(guān)的軌跡方程問題，以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用消元法以及設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵.，運算量較大，有一定的難度