第三講概率年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學(xué)科素養(yǎng)2018卷古典概型T5命題分析高考對(duì)古典概型與幾何概型考查一般為選擇題，多考查互斥事件、對(duì)立事件與幾何概型的計(jì)算學(xué)科素養(yǎng)主要是通過(guò)古典概率的求法考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模及數(shù)據(jù)分析的學(xué)科素養(yǎng).卷互斥事件的概率T52017卷幾何概型T4卷古典概型T112016卷古典概型求概率T3卷幾何概型求概率T8頻數(shù)、頻率、平均值等T18卷古典概型求概率T5幾何概型授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第63頁(yè)悟通方法結(jié)論幾何概型的兩個(gè)基本特征(1)基本事件的無(wú)限性、等可能性(2)其事件的概率為P(A)，一般要用數(shù)形結(jié)合法求解全練快速解答1(2017高考全國(guó)卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖. 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.解析：不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，所以黑色部分的面積為，故此點(diǎn)取自黑色部分的概率為，故選B.答案：B2(2018高考全國(guó)卷)如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解析：SABCABAC，以AB為直徑的半圓的面積為2AB2，以AC為直徑的半圓的面積為2AC2，以BC為直徑的半圓的面積為2BC2，SABAC，SBC2ABAC，SABAC.SS.由幾何概型概率公式得p1，p2.p1p2.故選A.答案：A3(2018福州四校聯(lián)考)如圖，在圓心角為90的扇形AOB中，以圓心O為起點(diǎn)在A上任取一點(diǎn)C作射線OC，則使得AOC和BOC都不小于30的概率是()A.B.C.D.解析：記事件T是“作射線OC，使得AOC和BOC都不小于30”，如圖，記A的三等分點(diǎn)為M，N，連接OM，ON，則AONBOMMON30，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(T)，故選A.答案：A【類題通法】幾何概型的判斷關(guān)鍵是注意事件發(fā)生的種數(shù)具有無(wú)限性、等可能性，否則不為幾何概型，同時(shí)要注意分清是面積型、長(zhǎng)度型，還是角度型古典概型授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第64頁(yè)悟通方法結(jié)論古典概型的兩個(gè)基本特征(1)基本事件的有限性、等可能性(2)其事件的概率為P(A).全練快速解答1(2017高考全國(guó)卷)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.B.C.D.解析：依題意，記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個(gè)不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a>b的數(shù)組共有10個(gè)，分別為(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率為，選D.答案：D2近期“共享單車”在全國(guó)多個(gè)城市持續(xù)升溫，某移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)機(jī)構(gòu)對(duì)使用者進(jìn)行了調(diào)查，得到了使用者對(duì)常見(jiàn)的八個(gè)品牌的“共享單車”的滿意度指數(shù)，并繪制出莖葉圖(如圖所示)(1)求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)某用戶從滿意度指數(shù)超過(guò)82的品牌中隨機(jī)選擇兩個(gè)品牌使用，求所選兩個(gè)品牌的滿意度指數(shù)均超過(guò)88的概率解析：(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)83.875.將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，易知這組數(shù)據(jù)最中間的兩個(gè)數(shù)為83,85，則其平均數(shù)為84，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為84.(2)滿意度指數(shù)超過(guò)82的品牌有五個(gè)，其滿意度指數(shù)分別為83,85,89,91,94，依次記為a，b，c，d，e，從中任選兩個(gè)的選法為a，b，a，c，a，d，a，e，b，c，b，d，b，e，c，d，c，e，d，e，共10種；滿意度指數(shù)超過(guò)88的有三個(gè)，分別為c，d，e，從中任選兩個(gè)的選法為c，d，c，e，d，e，共3種故所選兩個(gè)品牌的滿意度指數(shù)均超過(guò)88的概率P0.3.【類題通法】對(duì)于較復(fù)雜的古典概型問(wèn)題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而可得所求事件的概率概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第64頁(yè)悟通方法結(jié)論(2017高考全國(guó)卷)(12分)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率的概率(2)設(shè)六月份一天銷售這種(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率學(xué)審題條件信息想到方法注意什么信息中頻率分布表表中最高氣溫與天數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.讀表中數(shù)據(jù)要準(zhǔn)確2.注意條件中未售出的酸奶要當(dāng)天全部降價(jià)處理信息中估計(jì)概率利用頻率與概率關(guān)系進(jìn)行估計(jì)信息中酸奶的利潤(rùn)想到進(jìn)貨成本與售價(jià)規(guī)范解答(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25， (2分)由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為0.6， (4分)所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (5分)(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y64504450900；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y63002(450300)4450300； (7分)若最高氣溫低于20，則Y62002(450200)4450100.所以Y的所有可能值為900,300，100. (10分)Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. (12分)【類題通法】解決概率與統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題的一般步驟練通即學(xué)即用(2018廣州五校聯(lián)考)某市為慶祝北京奪得2022年冬奧會(huì)舉辦權(quán)，圍繞“全民健身促健康、同心共筑中國(guó)夢(mèng)”主題開展全民健身活動(dòng)組織方從參加活動(dòng)的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組20,30)，第2組30,40)，第3組40,50)，第4組50,60)，第5組60,70，得到的頻率分布直方圖如圖所示(1)若電視臺(tái)記者要從抽取的群眾中選一人進(jìn)行采訪，估計(jì)被采訪人恰好在第1組或第4組的概率；(2)已知第1組群眾中男性有3名，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊(duì)，求至少有1名女性群眾的概率解析：(1)設(shè)第1組20,30)的頻率為f1，則由題意可知，f11(0.0350.0300.0200.010)100.05.被采訪人恰好在第1組或第4組的頻率為0.050.020100.25.估計(jì)被采訪人恰好在第1組或第4組的概率為0.25.(2)第1組20,30)的人數(shù)為0.051206.第1組中共有6名群眾，其中女性群眾共3名記第1組中的3名男性群眾分別為A，B，C,3名女性群眾分別為x，y，z，從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊(duì)包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15個(gè)基本事件至少有一名女性群眾包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12個(gè)基本事件從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊(duì)，至少有1名女性群眾的概率P.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第139頁(yè)一、選擇題1(2018高考全國(guó)卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A0.3B0.4C0.6D0.7解析：由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為10.450.150.4.故選B.答案：B2(2018云南模擬)在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)生成n個(gè)點(diǎn)，其中在正方形ABCD內(nèi)切圓內(nèi)的點(diǎn)共有m個(gè)，利用隨機(jī)模擬的方法，估計(jì)圓周率的近似值為()A.B.C.D.解析：依題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則該正方形的內(nèi)切圓半徑為a，于是有，即，即可估計(jì)圓周率的近似值為.答案：C3(2018滄州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)，在區(qū)間(1,4)上任取一點(diǎn)，則使f(x)0的概率是()A.B.C.D.解析：f(x)，由f(x)0可得f(x)0，解得0x2，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率P.答案：B4在區(qū)間0,1上隨意選擇兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則使1成立的概率為()A. B. C. D.解析：如圖所示，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成正方形區(qū)域，使得1成立的平面區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓的與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的區(qū)域，由幾何概型的概率計(jì)算公式得，所求概率P.答案：B5已知向量a(x，y)，b(1，2)，從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足ab0的概率是()A. B. C. D.解析：設(shè)(x，y)表示一個(gè)基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有6636個(gè)，ab0，即x2y0，滿足x2y0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6個(gè)，所以所求概率P.答案：D6(2018湖南五校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB2AD，在CD上任取一點(diǎn)P，ABP的最大邊是AB的概率是()A. B. C.1 D.1解析：分別以A，B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使得ABP的最大邊是AB，易得1，即ABP的最大邊是AB的概率是1.答案：D7(2018天津六校聯(lián)考)連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，則向量a(m，n)與向量b(1,1)的夾角90的概率是()A.B.C.D.解析：連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)(m，n)的所有基本事件為(1,1)，(1,2)，(6,6)，共36個(gè)(m，n)(1,1)mn0，mn.符合要求的事件為(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共15個(gè)，所求概率P.答案：A8由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為()A.B.C.D.解析：由題意作圖，如圖所示，1的面積為222，圖中陰影部分的面積為21，則所求的概率P.答案：D二、填空題9(2018長(zhǎng)沙模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_解析：由題意，在正方體中與點(diǎn)O距離等于1的是個(gè)半球面，V正238，V半球13，所求概率P1.答案：110如圖，在等腰直角ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交AB于M，則使得AM小于AC的概率為_解析：當(dāng)AMAC時(shí)，ACM為以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，ACM67.5.當(dāng)ACM67.5時(shí)，AMAC，所以AM小于AC的概率P.答案：11某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率是_解析：由題意，所有可能的結(jié)果是A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2，共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為P.答案：12一只受傷的候鳥在如圖所示(直角梯形ABCD)的草原上飛，其中AD3，CD2，BC5，它可能隨機(jī)落在該草原上任何一處(點(diǎn))，若落在扇形沼澤區(qū)域(圖中的陰影部分)CDE以外候鳥能生還，則該候鳥生還的概率為_解析：直角梯形ABCD的面積S1(35)28，扇形CDE的面積S222，根據(jù)幾何概型的概率公式，得候鳥生還的概率P1.答案：1三、解答題13(2018寶雞模擬)為了解我市的交通狀況，現(xiàn)對(duì)其6條道路進(jìn)行評(píng)估，得分分別為5,6,7,8,9,10.規(guī)定評(píng)估的平均得分與全市的總體交通狀況等級(jí)如下表：評(píng)估的平均得分(0,6)6,8)8,10全市的總體交通狀況等級(jí)不合格合格優(yōu)秀(1)求本次評(píng)估的平均得分，并參照上表估計(jì)我市的總體交通狀況等級(jí)；(2)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從這6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個(gè)樣本，求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率解析：(1)6條道路的平均得分為(5678910)7.5，該市的總體交通狀況等級(jí)為合格(2)設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5”從6條道路中抽取2條的得分組成的所有基本事件為(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15個(gè)基本事件事件A包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7個(gè)基本事件P(A).故該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率為.14(2018西安八校聯(lián)考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間55,65)，65,75)，75,85內(nèi)的頻率之比為421.(1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75,85內(nèi)的頻率；(2)用分層抽樣的方法在區(qū)間45,75)內(nèi)抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間45,65)內(nèi)的概率解析：(1)設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75,85內(nèi)的頻率為x，則質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間55,65)，65,75)內(nèi)的頻率分別為4x,2x.依題意得(0.0040.0120.0190.030)104x2xx1，解得x0.05.所以質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75,85內(nèi)的頻率為0.05.(2)由(1)得，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間45,55)，55,65)，65,75)內(nèi)的頻率分別為0.3,0.2,0.1.用分層抽樣的方法在區(qū)間45,75)內(nèi)抽取一個(gè)容量為6的樣本，則在區(qū)間45,55)內(nèi)應(yīng)抽取63件，記為A1，A2，A3；在區(qū)間55,65)內(nèi)應(yīng)抽取62件，記為B1，B2；在區(qū)間65,75)內(nèi)應(yīng)抽取61件，記為C.設(shè)“從樣本中任意抽取2件產(chǎn)品，這2件產(chǎn)品都在區(qū)間45,65)內(nèi)”為事件M，則所有的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15種，事件M包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10種，所以這2件產(chǎn)品都在區(qū)間45,65)內(nèi)的概率P.15(2018長(zhǎng)沙模擬)為了打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對(duì)玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研，力爭(zhēng)有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術(shù)支援現(xiàn)對(duì)已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得莖葉圖如圖(單位：厘米)，設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米.(1)列出22列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)？(2)為了改良玉米品種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株，再?gòu)倪@5株玉米中選取2株進(jìn)行雜交試驗(yàn)，則選取的植株均為矮莖的概率是多少？附：P(K2k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2，其中nabcd.解析：(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得22列聯(lián)表如下：抗倒伏易倒伏總計(jì)矮莖15419高莖101626總計(jì)252045由于K2的觀測(cè)值k7.2876.635，因此可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為抗倒?fàn)钆c玉米矮莖有關(guān)(2)由題意得，抽到的高莖玉米有2株，設(shè)為A，B，抽到的矮莖玉米有3株，設(shè)為a，b，c，從這5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種，其中均為矮莖的選取方法有ab，ac，bc，共3種，因此選取的植株均為矮莖的概率是.算法、概率與統(tǒng)計(jì)中的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第66頁(yè)提分策略一探究命題新情景考查應(yīng)用能力此類問(wèn)題多以現(xiàn)實(shí)中的生活實(shí)例或最新時(shí)事為背景考查概率、統(tǒng)計(jì)的求解及應(yīng)用(2018合肥模擬)一家大型購(gòu)物商場(chǎng)委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該商場(chǎng)的顧客使用移動(dòng)支付的情況調(diào)查人員從年齡(單位：歲)在20,60內(nèi)的顧客中，隨機(jī)抽取了180人，調(diào)查結(jié)果如下表：年齡20,30)30,40)40,50)50,60使用人數(shù)45301515未使用人數(shù)0102045(1)為推廣移動(dòng)支付，商場(chǎng)準(zhǔn)備對(duì)使用移動(dòng)支付的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋若某日該商場(chǎng)預(yù)計(jì)有12 000人(年齡在20,60內(nèi))購(gòu)物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)該商場(chǎng)當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋(2)某機(jī)構(gòu)從被調(diào)查的使用移動(dòng)支付的顧客中，按分層抽樣的方式選出7人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，并給其中2人贈(zèng)送額外禮品，求獲得額外禮品的2人的年齡都在20,30)內(nèi)的概率解析：(1)由表可知，該日該商場(chǎng)使用移動(dòng)支付的顧客人數(shù)與顧客總?cè)藬?shù)之比為712，若某日該商場(chǎng)有12 000人(年齡在20,60內(nèi))購(gòu)物，則估計(jì)該商場(chǎng)要準(zhǔn)備環(huán)保購(gòu)物袋的個(gè)數(shù)為12 0007 000.(2)由題知，抽樣比為115，所以應(yīng)從年齡在20,30)內(nèi)的顧客中選出3人，30,40)內(nèi)的顧客中選出2人，40,50)內(nèi)的顧客中選出1人，50,60內(nèi)的顧客中選出1人記從年齡在20,30)內(nèi)的顧客中選出的3人分別為A，B，C，其他4人分別為a，b，c，d，從7個(gè)人中選出2人贈(zèng)送額外禮品，有以下情況：AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21種，其中獲得額外禮品的2人的年齡都在20,30)內(nèi)的情況有3種，所以獲得額外禮品的2人的年齡都在20,30)內(nèi)的概率為. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30名學(xué)生參加某大學(xué)的自主招生面試，面試分?jǐn)?shù)與學(xué)生序號(hào)之間的統(tǒng)計(jì)圖如下：(1)下表是根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計(jì)這些學(xué)生面試分?jǐn)?shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).面試分?jǐn)?shù)0,100)100,200)200,300)300,400人數(shù)a1041頻率b(2)該大學(xué)的某部門從15號(hào)學(xué)生中隨機(jī)選擇兩人進(jìn)行訪談，求選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的概率解析：(1)面試分?jǐn)?shù)在0,100)內(nèi)的學(xué)生共有30104115名，故a15，b，估計(jì)這些學(xué)生面試分?jǐn)?shù)的平均值為50150250350120分(2)從15號(hào)學(xué)生中任選兩人的選擇方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，觀察題圖易知1號(hào)，4號(hào)，5號(hào)學(xué)生的面試分?jǐn)?shù)在100分以下，故選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的選擇方法有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3種，故選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的概率為.提分策略二引入數(shù)學(xué)文化考學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)文化與算法、概率的融合命題是高考的熱點(diǎn)，多為選擇、填空題(2018鄭州模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚十尺，兩鼠對(duì)穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半問(wèn)何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，則輸出結(jié)果n()A5B4C3D2解析：n1，S2；n2，S22；n3，S4；n4，S810，結(jié)束循環(huán)則輸出的n為4，故選B.答案：B點(diǎn)評(píng)從中國(guó)古代文學(xué)作品中選取素材考查數(shù)學(xué)問(wèn)題，豐富了數(shù)學(xué)文化題的取材途徑插圖的創(chuàng)新是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，其一，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的生活化，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更貼近考生的生活實(shí)際；其二，有利于考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，這對(duì)穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練歐陽(yáng)修的賣油翁中寫到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”可見(jiàn)“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為1 cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計(jì))，則正好落入孔中的概率是_解析：依題意，所求概率為P.答案：授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第141頁(yè)一、選擇題1(2018福州模擬)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代著名的孫子算經(jīng)圖中的Mod(N，m)n表示正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，例如Mod(10,3)1.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于()A23B38C44D58解析：Mod(11,3)2成立，Mod(11,5)3不成立，i12；Mod(12,3)2不成立，i13；Mod(13,3)2不成立，i14；Mod(14,3)2成立，Mod(14,5)3不成立，i15；Mod(15,3)2不成立，i16；Mod(16,3)2不成立，i17；Mod(17,3)2成立，Mod(17,5)3不成立，i18；Mod(18,3)2不成立，i19；Mod(19,3)2不成立，i20；Mod(20,3)2成立，Mod(20,5)3不成立，i21；Mod(21,3)2不成立，i22；Mod(22,3)2不成立，i23；Mod(23,3)2成立，Mod(23,5)3成立，Mod(23,7)2成立，結(jié)束循環(huán)故輸出的i23.故選A.答案：A2(2018益陽(yáng)、湘潭聯(lián)考)秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例若輸入n，x的值分別為3,3，則輸出v的值為()A15B16C47D48解析：執(zhí)行程序框圖，n3，x3，v1，i20，v1325，i10，v53116，i00，v163048，i10，退出循環(huán)，輸出v的值答案：D3宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著算學(xué)啟蒙中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5,2，則輸出的n()A2B3C4D5解析：程序運(yùn)行如下：n1，a5，b4，ab，繼續(xù)循環(huán)；n2，a，b8，ab，繼續(xù)循環(huán)；n3，a，b16，ab，繼續(xù)循環(huán)；n4，a，b32，此時(shí)，ab.輸出n4，故選C.答案：C4(2018福州模擬)在檢測(cè)一批相同規(guī)格質(zhì)量共500 kg的航空用耐熱墊片的品質(zhì)時(shí)，隨機(jī)抽取了280片，檢測(cè)到有5片非優(yōu)質(zhì)品，則這批航空用耐熱墊片中非優(yōu)質(zhì)品的質(zhì)量約為()A2.8 kgB8.9 kgC10 kgD28 kg解析：由題意，可知抽到非優(yōu)質(zhì)品的概率為，所以這批航空用耐熱墊片中非優(yōu)質(zhì)品的質(zhì)量約為5008.9 kg.答案：B二、填空題5.甲、乙兩組各有三名同學(xué)，他們?cè)谝淮螠y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的莖葉圖如圖所示如果分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的成績(jī)相同的概率是_解析：由題意知甲組三名同學(xué)的成績(jī)?yōu)?8,92,93，乙組三名同學(xué)的成績(jī)?yōu)?0,91,92，則兩組中各任取一名共有9種結(jié)果，成績(jī)相同時(shí)只有一種結(jié)果，所以概率為.答案：6九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，也是古代東方數(shù)學(xué)的代表作書中有如下問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步，問(wèn)其內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)投豆子，則落在其內(nèi)接正方形內(nèi)的概率是_解析：如圖，設(shè)RtABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，其內(nèi)接正方形CEDF的邊長(zhǎng)為x，則由ADFABC，得，即，解得x.從而正方形CEDF的面積為S正方形CEDF2，又RtABC的面積為SABC，所以所求概率為P.答案：三、解答題7(2018福州模擬)隨著“互聯(lián)網(wǎng)交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享自行車”在很多城市相繼出現(xiàn)某“共享自行車”運(yùn)營(yíng)公司為了了解某地區(qū)用戶對(duì)該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40名用戶，得到用戶的滿意度評(píng)分如下：用戶編號(hào)評(píng)分用戶編號(hào)評(píng)分用戶編號(hào)評(píng)分用戶編號(hào)評(píng)分1782733814925956857798849631086118812861395147615971678178818821976208921792283237224742591266627802883297430823193327833753481358436773781387639854089用系統(tǒng)抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本，且在第一分段里隨機(jī)抽到的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)為92.(1)請(qǐng)你列出抽到的10個(gè)樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)；(2)計(jì)算所抽到的10個(gè)樣本的均值和方差s2；(3)在(2)的條件下，若用戶的滿意度評(píng)分在(s，s)之間，則滿意度等級(jí)為“A級(jí)”試應(yīng)用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該地區(qū)滿意度等級(jí)為“A級(jí)”的用戶所占的百分比是多少？(精確到0.1%)參考數(shù)據(jù)：5.48，5.74，5.92.解析：(1)由題意得，通過(guò)系統(tǒng)抽樣分別抽取編號(hào)為4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)為樣本，則樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分別為92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.(2)由(1)中樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)可得(92848678897483787789)83，則有s2(9283)2(8483)2(8683)2(7883)2(8983)2(7483)2(8383)2(7883)2(7783)2(8983)233.(3)由題意知用戶的滿意度評(píng)分在(83，83)，即(77.26,88.74)之間，滿意度等級(jí)為“A級(jí)”，由(1)中容量為10的樣本評(píng)分在(77.26,88.74)之間的有5人，則該地區(qū)滿意度等級(jí)為“A級(jí)”的用戶所占的百分比約為100%50.0%.另解：由題意知用戶的滿意度評(píng)分在(83，83)，即(77.26,88.74)之間，滿意度等級(jí)為“A級(jí)”，調(diào)查的40名用戶的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)在(77.26,88.74)之間的共有21人，則該地區(qū)滿意度等級(jí)為“A級(jí)”的用戶所占的百分比約為100%52.5%.8(2018湘中名校聯(lián)考)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤(rùn)50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季購(gòu)進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以x(單位：盒，100x200)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y(單位：元)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn)(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的眾數(shù)和平均數(shù)；(2)將y表示為x的函數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)利潤(rùn)y不少于4 800元的概率解析：(1)由頻率分布直方圖得：最大需求量為150盒的頻率為0.015200.3.這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的眾數(shù)估計(jì)值是150.需求量為100,120)的頻率為0.005200.1，需求量為120,140)的頻率為0.01200.2，需求量為140,160)的頻率為0.01520 0.3，需求量為160,180)的頻率為0.012 520 0. 25，需求量為180,200的頻率為0.007 5200.15.則平均數(shù) 1100.11300.21500.31700.251900.15153.(2)因?yàn)槊渴鄢?盒該產(chǎn)品獲利潤(rùn)50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元，所以當(dāng)100x160時(shí)，y50x30(160x)80x4 800，當(dāng)160x200時(shí)，y160508 000，所以y(xN)(3)因?yàn)槔麧?rùn)不少于4 800元，所以80x4 8004 800，解得x120.所以由(1)知利潤(rùn)不少于4 800元的概率P10.10.9.9(2018洛陽(yáng)模擬)霧霾天氣對(duì)人體健康有傷害，應(yīng)對(duì)霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM2.5，要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強(qiáng)化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措，聚焦重點(diǎn)領(lǐng)域，嚴(yán)格指標(biāo)考核某省環(huán)保部門為加強(qiáng)環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，認(rèn)真進(jìn)行責(zé)任追究，派遣四個(gè)不同的專家組對(duì)A，B，C三座城市進(jìn)行治霾落實(shí)情況檢查(1)若每個(gè)專家組隨機(jī)選取一個(gè)城市進(jìn)行檢查，四個(gè)專家組選取的城市可以相同，也可以不同，且每一個(gè)城市必須有專家組選取，求A城市恰有兩個(gè)專家組選取的概率；(2)在檢查的過(guò)程中專家組從A城市的居民中隨機(jī)抽取出400人進(jìn)行是否戶外作業(yè)人員與是否患有呼吸道疾病進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：分類患呼吸道疾病未患呼吸道疾病合計(jì)戶外作業(yè)人員4060100非戶外作業(yè)人員60240300合計(jì)100300400根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，我們是否有超過(guò)99%的把握認(rèn)為“戶外作業(yè)”與“患呼吸道疾病”有關(guān)？附：K2P(K2k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)若每個(gè)專家組隨機(jī)選取一個(gè)城市進(jìn)行檢查，四個(gè)專家組選取的城市可以相同，也可以不同，且每一個(gè)城市必須有專家組選取，共有36種不同方法，若設(shè)四個(gè)專家組分別為1,2,3,4，則各種選取方法如下表所示：ABCABCABC1,23431,24341,21,24341,23431,21,32421,34241,31,34241,32421,33,41213,42123,43,42123,41213,4其中，A城市恰有兩個(gè)專家組選取的有12種不同方法，如表中前三列所示故A城市恰有兩個(gè)專家組選取的概率P.(2)K2的觀測(cè)值k16166.635，所以有超過(guò)99%的把握認(rèn)為“戶外作業(yè)”與“患呼吸道病”有關(guān)