03導數(shù)及其應用1.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點P處的切線方程為x-y+2=0,則f(1)+f(1)=().A.1B.2C.3D.4解析由條件知(1,f(1)在直線x-y+2=0上,且f(1)=1,f(1)+f(1)=3+1=4,故選D.答案D2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則ab的值為().A.-23B.-2C.-2或-23D.2或-23解析由題意知f(x)=3x2+2ax+b,則f(1)=0,f(1)=10,即3+2a+b=0,1+a+b-a2-7a=10,解得a=-2,b=1或a=-6,b=9,經(jīng)檢驗a=-6,b=9滿足題意,故ab=-23,故選A.答案A3.對于R上可導的任意函數(shù)f(x),若滿足1-xf(x)0,則必有().A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)2f(1)解析當x<1時,f(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x>1時,f(x)>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.即當x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值同時也取得最小值f(1).所以f(0)>f(1),f(2)>f(1),則f(0)+f(2)>2f(1).故選A.答案A4.若函數(shù)y=-13x3+ax有三個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是.解析y=-x2+a,若y=-13x3+ax有三個單調(diào)區(qū)間,則方程-x2+a=0應有兩個不等實根,=4a>0,故a的取值范圍是(0,+).答案(0,+)能力1會應用導數(shù)的幾何意義【例1】(1)已知曲線f(x)=ax2x+1在點(1,f(1)處切線的斜率為1,則實數(shù)a的值為().A.23B.-32C.-34D.43(2)曲線f(x)=x2+ln x在點(1,f(1)處的切線方程為.解析(1)對函數(shù)f(x)=ax2x+1求導,可得f(x)=2ax(x+1)-ax2(x+1)2.因為曲線f(x)=ax2x+1在點(1,f(1)處切線的斜率為1,所以f(1)=3a4=1,得a=43,故選D.(2)因為f(x)=2x+1x,所以曲線f(x)在點(1,f(1)處的切線斜率為f(1)=2+11=3.因為f(1)=1,所以切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.答案(1)D(2)3x-y-2=01.求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法:(1)已知切點P(x0,y0),求y=f(x)過點P的切線方程:先求出切線的斜率f(x0),由點斜式寫出方程.(2)已知切線的斜率k,求y=f(x)的切線方程:設切點P(x0,y0),通過方程k=f(x0)解得x0,再由點斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(非切點),求y=f(x)的切線方程:設切點P(x0,y0),利用導數(shù)求得切線斜率f(x0),然后由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點斜式或兩點式寫出方程.2.利用切線(或方程)與其他曲線的關系求參數(shù):已知過某點的切線方程(斜率)或其與某直線平行、垂直,利用導數(shù)的幾何意義、切點坐標、切線斜率之間的關系構建方程(組)或函數(shù)求解.1.設曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=1x(x>0)上點P處的切線垂直,則點P的坐標為.解析函數(shù)ye=x的導函數(shù)為ye=x,曲線y=ex在點(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1.設P的坐標為(x0,y0)(x0>0),函數(shù)y=1x的導函數(shù)為y=-1x2,曲線y=1x(x>0)在點P處的切線的斜率k2=-1x02,由題意知k1k2=-1,即1-1x02=-1,解得x02=1,又x0>0,x0=1.點P在曲線y=1x(x>0)上,y0=1,故點P的坐標為(1,1).答案(1,1)2.已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=.解析(法一)令f(x)=x+lnx,求導得f(x)=1+1x,則f(1)=2.又f(1)=1,曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.設直線y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切的切點為P(x0,y0),則當x=x0時,y=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=-12.又ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax02+ax0+2=0,當a=0時,顯然不滿足此方程,x0=-12,此時a=8.(法二)求出曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線方程為y=2x-1.由y=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1,得ax2+ax+2=0,=a2-8a=0,a=8或a=0(顯然不成立).答案8能力2會利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題【例2】(1)函數(shù)f(x)=x2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為().A.(0,e)B.ee,+C.-,eeD.0,ee(2)若函數(shù)f(x)=lnx+ax2-2在12,2內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是().A.(-,-2B.-18,+C.-2,-18D.(-2,+)解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),由題意得f(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f(x)<0,解得0<x<ee,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,ee.故選D.(2)由題意得f(x)=1x+2ax,若f(x)在12,2內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則f(x)0在12,2上有解,即a-12x2min.又g(x)=-12x2在12,2上是單調(diào)遞增函數(shù),所以g(x)>g12=-2,所以a>-2.故選D.答案(1)D(2)D利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性:(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間,實質(zhì)上是求f(x)>0,f(x)<0的解集,求單調(diào)區(qū)間應遵循定義域優(yōu)先的原則;(2)含參函數(shù)的單調(diào)性要分類討論,通過確定導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性;(3)注意兩種表述“函數(shù)f(x)在(a,b)上為減函數(shù)”與“函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(a,b)”的區(qū)別.1.已知函數(shù)f(x)=1-xax+lnx,若函數(shù)f(x)在1,+)上為增函數(shù),則正實數(shù)a的取值范圍為.解析f(x)=1-xax+lnx,f(x)=ax-1ax2(a>0).函數(shù)f(x)在1,+)上為增函數(shù),f(x)=ax-1ax20對任意的x1,+)恒成立,ax-10對任意的x1,+)恒成立,即a1x對任意的x1,+)恒成立,a1.答案1,+)2.已知函數(shù)f(x)=12x2-2aln x+(a-2)x.(1)當a=-1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)g(x)=f(x)-ax在(0,+)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.解析(1)當a=-1時,f(x)=12x2+2ln x-3x,則f(x)=x+2x-3=x2-3x+2x=(x-1)(x-2)x.當0<x<1或x>2時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當1<x<2時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).(2)假設存在實數(shù)a,使函數(shù)g(x)=f(x)-ax在(0,+)上單調(diào)遞增,g(x)=f(x)-a=x-2ax-20恒成立.即x2-2x-2ax0對任意的x(0,+)恒成立.x2-2x-2a0對任意的x(0,+)恒成立,a12(x2-2x)=12(x-1)2-12(x(0,+)恒成立.又(x)=12(x-1)2-12,x(0,+)的最小值為-12,當a-12時,g(x)0恒成立.又當a=-12時,g(x)=(x-1)2x,當且僅當x=1時,g(x)=0.故當a-,-12時,g(x)=f(x)-ax在(0,+)上單調(diào)遞增.能力3會利用導數(shù)解決函數(shù)的極(最)值問題【例3】若x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+1)ex的極值點,則f(x)的極大值等于().A.-1B.3C.-2e3D.6e-1解析函數(shù)f(x)=(x2+ax+1e)x,f(x)=x2+(2+a)x+a+1ex.x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+1)ex的極值點,f(3)=0,解得a=-4,故f(x)=(x2-2x-3)ex,當x=-1時,f(x)取得極大值,極大值為f(-1)=6e-1.故選D.答案D【例4】已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx.(1)當a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當a<0時,求函數(shù)f(x)在12,1上的最小值.解析(1)由函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx,可得f(x)=2ax+(1-2a)-1x=(2ax+1)(x-1)x.令f(x)>0,a>0,x>0,2ax+1x>0,x-1>0,得x>1,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+).(2)由(1)可得f(x)=2ax-1-2a(x-1)x.已知a<0,令f(x)=0,得x1=-12a,x2=1.當-12a>1,即-12<a<0時,x12,1,f(x)<0,因此f(x)在12,1上是減函數(shù),f(x)在12,1上的最小值為f(1)=1-a.當12-12a1,即-1a-12時,若x12,-12a,則f(x)0;若x-12a,1,則f(x)0.因此f(x)在12,-12a上是減函數(shù),在-12a,1上是增函數(shù),f(x)的最小值為f-12a=1-14a+ln(-2a).當-12a<12,即a<-1時,x12,1,f(x)>0,因此f(x)在12,1上是增函數(shù),f(x)的最小值為f12=12-34a+ln 2.綜上,函數(shù)f(x)在12,1上的最小值為f(x)min=12-34a+ln2,a<-1,1-14a+ln(-2a),-1a-12,1-a,-12<a<0.利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法:(1)若求極值,則先求方程f(x)=0的根,再檢查f(x)在方程根的左右兩邊函數(shù)值的符號.(2)若已知極值大小或存在情況,則將問題轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)=0根的大小或存在情況來求解.(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值時,在得到極值的基礎上,結合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.(4)研究函數(shù)的極值或最值時應注意的問題:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值時,應先考慮函數(shù)的定義域;導數(shù)值為0的點不一定是函數(shù)的極值點,它是函數(shù)在該點取得極值的必要不充分條件.已知f(x)=lnx+ax.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若對任意x>0,均有x(2ln a-lnx)a恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.解析(1)f(x)=1x-ax2=x-ax2,x(0,+).若a0,則f(x)>0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,無極值.若a>0,當x(0,a)時,f(x)<0,f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減;當x(a,+)時,f(x)>0,f(x)在(a,+)上單調(diào)遞增.故f(x)在(0,+)有極小值,無極大值,f(x)的極小值為f(a)=lna+1.(2)若對任意x>0,均有x(2ln a-lnx)a恒成立,則對任意x>0,均有2ln aax+lnx恒成立,由(1)可知f(x)的最小值為lna+1,故問題轉(zhuǎn)化為2ln alna+1,即lna1,解得0<ae,故正數(shù)a的取值范圍是(0,e.一、選擇題1.曲線f(x)=2x-ex在點(0,f(0)處的切線方程是().A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.x+y-1=0D.x-y-1=0解析由題意得f(x)=2e-x,f(0)=1,f(0)=-1,故切線方程為x-y-1=0.故選D.答案D2.已知函數(shù)f(x)=x+sinx,若a=f(3),b=f(2),c=f(log26),則a,b,c的大小關系是().A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析因為f(x)=1+cos x0,所以函數(shù)f(x)為定義域上的增函數(shù),而2<log26<3,所以b<c<a.故選D.答案D3.函數(shù)f(x)=3x2+ln x-2x的極值點的個數(shù)是().A.0B.1C.2D.3解析函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),且f(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,令g(x)=6x2-2x+1,因為方程6x2-2x+1=0的判別式=-20<0,所以g(x)>0恒成立,故f(x)>0恒成立,即f(x)在定義域上單調(diào)遞增,無極值點.故選A.答案A4.如圖,可導函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(x0,f(x0)處的切線為l:y=g(x),設h(x)=f(x)-g(x),則下列說法正確的是().A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極大值點B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極小值點C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的極值點D.h(x0)0解析由題設有g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),所以h(x)=f(x)-f(x0).因為h(x0)=f(x0)-f(x0)=0,又當x<x0時,有h(x)<0,當x>x0時,有h(x)>0,所以x=x0是h(x)的極小值點,故選B.答案B5.若函數(shù)f(x)=2x3-3mx2+6x在區(qū)間(2,+)上為增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為().A.(-,2)B.(-,2C.-,52D.-,52解析f(x)=6x2-6mx+6,當x(2,+)時,f(x)0恒成立,即x2-mx+10恒成立,mx+1x恒成立.令g(x)=x+1x,g(x)=1-1x2,當x>2時,g(x)>0,即g(x)在(2,+)上單調(diào)遞增,m2+12=52.答案D6.設函數(shù)f(x)=lnx+ax2-32x,若x=1是函數(shù)f(x)是極大值點,則函數(shù)f(x)的極小值為().A.ln 2-2B.ln 2-1C.ln 3-2D.ln 3-1解析f(x)=lnx+ax2-32x,f(x)=1x+2ax-32.x=1是函數(shù)f(x)的極大值點,f(1)=1+2a-32=0,a=14,f(x)=lnx+14x2-32x.f(x)=1x+x2-32=x2-3x+22x=(x-2)(x-1)2x(x>0),當x(0,1)時,f(x)>0;當x(1,2)時,f(x)<0;當x(2,+)時,f(x)>0.當x=2時,f(x)取極小值,極小值為ln 2-2.故選A.答案A7.已知y=f(x)是奇函數(shù),當x(0,2)時,f(x)=lnx-axa>12,當x(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于().A.14B.13C.12D.1解析由f(x)是奇函數(shù),當x(-2,0)時,f(x)的最小值為1知,當x(0,2)時,f(x)的最大值為-1.令f(x)=1x-a=0,得x=1a.當0<x<1a時,f(x)>0;當x>1a時,f(x)<0.f(x)max=f1a=-lna-1=-1,解得a=1.故選D.答案D8.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx-ln x(a>0,bR),若對任意x>0,f(x)f(1),則().A.lna<-2bB.lna-2bC.lna>-2bD.lna-2b解析f(x)=2ax+b-1x,由題意可知f(1)=0,即2a+b=1,由選項可知,只需比較lna+2b與0的大小,而b=1-2a,所以只需判斷l(xiāng)na+2-4a的符號.構造一個新函數(shù)g(x)=2-4x+ln x,則g(x)=1x-4,令g(x)=0,得x=14.所以當0<x<14時,g(x)為增函數(shù);當x>14時,g(x)為減函數(shù),所以對任意x>0有g(x)g14=1-ln 4<0,所以有g(a)=2-4a+ln a=2b+ln a<0ln a<-2b.答案A二、填空題9.已知函數(shù)f(x)=f4cos x+sinx,則f4的值為.解析因為f(x)=-f4sin x+cosx,所以f4=-f4sin 4+cos 4,所以f4=2-1,故f4=f4cos 4+sin 4=1.答案110.直線y=kx+1與曲線y=x3+bx2+c相切于點M(1,2),則b的值為.解析由直線y=kx+1與曲線y=x3+bx2+c相切于點M(1,2),知點M(1,2)滿足直線y=kx+1的方程,即2=k+1,解得k=1,即y=x+1.由y=x3+bx2+c,知y=3x2+2bx,則y|x=1=3+2b=1,解得b=-1.答案-111.若函數(shù)f(x)=x3+ax-2在(1,+)上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是.解析由題意知f(x)=3x2+a,已知f(x)在(1,+)上是增函數(shù),則f(x)=3x2+a0對任意x(1,+)恒成立,即a-3x2對任意x(1,+)恒成立,a-3.答案-3,+)12.若函數(shù)f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不單調(diào),則t的取值范圍是.解析f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x,由f(x)=0及判斷可知函數(shù)f(x)的兩個極值點為1,3,則只要這兩個極值點有一個在(t,t+1)內(nèi),函數(shù)f(x)在t,t+1上就不單調(diào),所以t<1<t+1或t<3<t+1,解得0<t<1或2<t<3.答案(0,1)(2,3)三、解答題13.已知函數(shù)f(x)=a(x+1)lnx-x+1(aR).(1)當a=2時,求曲線f(x)在點(1,f(1)處的切線方程;(2)當a12時,求證:對任意x1,+),f(x)0恒成立.解析(1)由f(x)=2(x+1)lnx-x+1得f(x)=2ln x+2x+1,又切點為(1,0),斜率為f(1)=3,故所求切線方程為y=3(x-1),即3x-y-3=0.(2)當a12時,f(x)=a(x+1)lnx-x+1(x1),欲證f(x)0,注意到f(1)=0,只要f(x)f(1)即可,f(x)=alnx+1x+1-1(x1),令g(x)=lnx+1x+1(x1),則g(x)=1x-1x2=x-1x20(x1),所以g(x)在1,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(1)=2,所以f(x)2a-10a12,所以f(x)在1,+)上單調(diào)遞增,于是有f(x)f(1)=0.綜上,當a12時,對任意x1,+),f(x)0恒成立.