習(xí)題課導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.3.掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)f(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞增f(x)<0單調(diào)遞減知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時(shí)，(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，那么f(x0)是極大值.(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，那么f(x0)是極小值.知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)yf(x)在a，b上最大值與最小值的求法1.求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值.2.將函數(shù)yf(x)的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.1.函數(shù)yxlnx在上是減函數(shù).()2.若函數(shù)yaxlnx在內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍為(2，).()3.設(shè)函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極大值，則c2.()4.函數(shù)f(x)x(1x2)在0,1上的最大值為.()類型一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)f(x)ax2bx，其中g(shù)(x)的函數(shù)圖象在點(diǎn)(1，g(1)處的切線平行于x軸.(1)確定a與b的關(guān)系；(2)若a0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解(1)依題意得g(x)lnxax2bx，則g(x)2axb.由函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1)處的切線平行于x軸得g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得g(x).函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)a0時(shí)，g(x).由g(x)0得0x1，由g(x)0得x1，即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，令g(x)0得x1或x，若1，即a，由g(x)0得x1或0x，由g(x)0得x1，即函數(shù)g(x)在，(1，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若1，即0a，由g(x)0得x或0x1，由g(x)0得1x，即函數(shù)g(x)在(0,1)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若1，即a，在(0，)上恒有g(shù)(x)0，即函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞增.綜上可得，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增.反思與感悟研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.跟蹤訓(xùn)練1討論函數(shù)f(x)(a1)lnxax21的單調(diào)性.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax.當(dāng)a1時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí)，令f(x)0，解得x，則當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.例2已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解(1)f(x)3x2a.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，)上為增函數(shù).當(dāng)a0時(shí)，令3x2a0得x；當(dāng)x或x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.因此f(x)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).綜上可知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).(2)因?yàn)閒(x)在(，)上是增函數(shù)，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對(duì)xR恒成立.因?yàn)?x20，所以只需a0.又因?yàn)閍0時(shí)，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函數(shù)，所以a0，即a的取值范圍為(，0.引申探究1.函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.解因?yàn)閒(x)3x2a，且f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范圍為(，3.2.函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)，試求a的取值范圍.解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立.因?yàn)?x1，所以3x23，所以a3.即當(dāng)a的取值范圍為3，)時(shí)，f(x)在(1,1)上為減函數(shù).3.函數(shù)f(x)不變，若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)，求a的值.解由例題可知，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，1，即a3.4.函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍.解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0).f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，01，得0a3，即a的取值范圍為(0,3).反思與感悟f(x)為(a，b)上的增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)x2ax在上是增函數(shù)，求a的取值范圍.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解因?yàn)閒(x)x2ax在上是增函數(shù)，故f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立.令h(x)2x，則h(x)2，當(dāng)x時(shí)，h(x)0，則h(x)為減函數(shù)，所以h(x)h3.所以a3.故a的取值范圍是3，).類型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例3已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)，且在點(diǎn)P處的切線與直線3xy0平行.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值解(1)因?yàn)閒(x)3x22ax，曲線在點(diǎn)P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(guò)(1,0)點(diǎn)，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.當(dāng)0<t2時(shí)，在區(qū)間(0，t)上，f(x)<0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當(dāng)2<t<3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè).因?yàn)閒(t)f(0)t33t2t2(t3)<0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，則g(x)3x26x3x(x2).當(dāng)x1,2)時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x(2,3時(shí)，g(x)>0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則解得2<c0.即實(shí)數(shù)c的取值范圍為(2,0.反思與感悟(1)求極值時(shí)一般需確定f(x)0的點(diǎn)和單調(diào)性，對(duì)于常見(jiàn)連續(xù)函數(shù)，先確定單調(diào)性即可得極值點(diǎn)，當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，相應(yīng)的極值點(diǎn)必為函數(shù)的最值點(diǎn).(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(3)當(dāng)x1,5時(shí)，求函數(shù)的最值.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值解(1)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24；令f(x)<0，得4<x<4；令f(x)>0，得x<4或x>4.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(4,4)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，4)和(4，)，f(x)極大值f(4)128，f(x)極小值f(4)128.(3)由(2)知，函數(shù)在1,4上單調(diào)遞減，在4,5上單調(diào)遞增，則f(4)128，f(1)47，f(5)115，函數(shù)的最大值為47，最小值為128.1.已知函數(shù)f(x)x33axa在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值答案(0,1)解析f(x)3x23a3(x2a)，顯然a>0，f(x)3(x)(x)，由已知條件0<<1，解得0<a<1.2.已知f(x)2x36x2m(m為常數(shù))在2,2上有最大值3，則此函數(shù)在2,2上的最小值為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值答案37解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在x0,2上單調(diào)遞減，在2,0上單調(diào)遞增，f(x)的最大值為f(0)m3，f(x)的最小值為f(2)1624337.3.已知函數(shù)f(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性答案解析因?yàn)閒(x)，所以f(x).由函數(shù)f(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減，知f(x)0在(2，)內(nèi)恒成立，即0在(2，)內(nèi)恒成立，因此a.當(dāng)a時(shí)，f(x)，此時(shí)函數(shù)f(x)為常函數(shù)，故a不符合題意，舍去.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4.已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值為4，則f(x)在1,0上的最小值為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值為4，所以函數(shù)g(x)ax3bx在0,1上的最大值為2，而g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)在1,0上的最小值為2，故f(x)在1,0上的最小值為221.5.已知aR，且函數(shù)yexax(xR)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值答案(，1)解析因?yàn)閥exax，所以yexa.令y0，即exa0，則exa，即xln(a)，又因?yàn)閤0，所以a1，即a1.導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問(wèn)題，都可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)得以解決.不但如此，利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進(jìn)一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問(wèn)題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的各種方法.一、填空題1.函數(shù)yexlnx的值域?yàn)開(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值答案2，)解析由ye(x0)知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且函數(shù)連續(xù)、無(wú)上界，從而yexlnx的值域?yàn)?，).2.函數(shù)y在定義域內(nèi)的最大值、最小值分別是_.考點(diǎn)題點(diǎn)答案2，2解析函數(shù)的定義域?yàn)镽.令y0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，y，y隨x的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y極小值極大值當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，y趨近于0；當(dāng)x趨近于正無(wú)窮大時(shí)，y趨近于0.由上表可知，當(dāng)x1時(shí)，y取極小值也是最小值2；當(dāng)x1時(shí)，y取極大值也是最大值2.3.設(shè)f(x)4x3mx2(m3)xn(m，nR)是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的值為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性答案6解析因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，故f(x)12x22mx(m3)0在xR上恒成立，于是4m248(m3)0，即(m6)20，得m6.4.已知函數(shù)f(x)2f(1)lnxx，則f(x)的極大值為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值答案2ln22解析f(x)1，令x1得，f(1)2f(1)1，f(1)1，所以f(x)2lnxx，f(x)1，f(x)1的零點(diǎn)是x2，所以當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)，所以x2是f(x)的極大值點(diǎn)，極大值為f(2)2ln22.5.已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0)，則函數(shù)f(x)的極大值為_(kāi)，極小值為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值答案0解析f(x)3x22pxq，f(1)32pq0.又f(1)1pq0，由解得p2，q1，f(x)x32x2x，f(x)3x24x1.令3x24x10，解得x1，x21.當(dāng)x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x時(shí)，f(x)有極大值為；當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值為0.6.若函數(shù)ya(x3x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性答案(0，)解析ya(3x21)，令y0，得x.由函數(shù)ya(x3x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，得導(dǎo)函數(shù)ya(3x21)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，所以a>0.7.若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性答案5,7解析函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.當(dāng)a11，即a2時(shí)，函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)，不合題意.當(dāng)a1>1，即a>2時(shí)，函數(shù)f(x)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，a1)上為減函數(shù)，在(a1，)上為增函數(shù).依題意有當(dāng)x(1,4)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(6，)時(shí)，f(x)0，所以4a16，即5a7，所以a的取值范圍為5,7.8.已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m，n1,1，則f(m)f(n)的最小值是_.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案13解析由題意求導(dǎo)得f(x)3x22ax，由函數(shù)f(x)在x2處取得極值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)m1,1時(shí)，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸為x1，當(dāng)n1,1時(shí)，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值為13.9.若函數(shù)f(x)x33axb(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x，則f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值從而解得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1).10.設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1(xR)，若對(duì)于任意的x(0,1都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案4，)解析x(0,1，f(x)0可化為a.令g(x)，則g(x)，令g(x)0，得x.當(dāng)0<x<時(shí)，g(x)>0；當(dāng)<x1時(shí)，g(x)<0，g(x)在(0,1上有極大值g4，也是最大值.a4.二、解答題11.設(shè)f(x)alnxx1，其中aR，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值解(1)f(x).由題意知，曲線在x1處的切線斜率為0，即f(1)0，從而有a0，解得a1.(2)由(1)知，f(x)lnxx1(x>0)，則f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去).當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(1，)上為增函數(shù).故f(x)在x1處取得極小值f(1)3.12.已知函數(shù)f(x)axlnx，其中a為常數(shù).(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e上的最大值為3，求a的值.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)xlnx，f(x)1，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，)上是減函數(shù).f(x)maxf(1)1.(2)f(x)a，當(dāng)x(0，e時(shí)，若a，則f(x)0，f(x)在(0，e上是增函數(shù)，f(x)maxf(e)ae10不合題意；若a<，則由f(x)>0，即a>0，得0<x<，由f(x)<0，即a<0，得<xe.從而f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，f(x)maxf1ln，令1ln3，則ln2，e2，即ae2.e2<，ae2即為所求.13.已知函數(shù)f(x)x33ax29a2xa3.(1)設(shè)a1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若a>，且當(dāng)x1,4a時(shí)，|f(x)|12a恒成立，試確定a的取值范圍.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x33x29x1，且f(x)3x26x9，由f(x)0，解得x1或x3.當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)1<x<3時(shí)，f(x)<0.因此x1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(1)6；當(dāng)1<x<3時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>3時(shí)，f(x)>0.因此x3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a2的圖象是一條開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為直線xa的拋物線，因此，若<a1，則f(x)在1,4a上單調(diào)遞增，所以f(x)在1,4a上的最小值為f(1)36a9a2，最大值為f(4a)15a2.由|f(x)|12a，得12a3x26ax9a212a，于是36a9a212a，且15a212a，結(jié)合<a1，解得<a.若a>1，則|f(a)|12a2>12a，故當(dāng)x1,4a時(shí)，|f(x)|12a不恒成立.所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范圍為.三、探究與拓展14.設(shè)f(x)x3x，xR，若當(dāng)0時(shí)，f(msin)f(1m)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi).考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案(，1)解析因?yàn)閒(x)x3x，xR，故f(x)3x21>0，則f(x)在xR上為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)閒(x)f(x)，故f(x)也為奇函數(shù)，由f(msin)f(1m)>0，即f(msin)>f(1m)f(m1)，得msin>m1，即m(sin1)>1，因?yàn)?，故當(dāng)時(shí)，0>1恒成立；當(dāng)時(shí)，m<恒成立，即m<min1，故m<1.15.已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)x2ax2.(1)求函數(shù)f(x)在t，t2(t>0)上的最小值；(2)若函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若函數(shù)yf(x)g(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，且x2x1>ln 2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解(1)令f(x)lnx10得x，當(dāng)0<t<時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t2上的最小值為f；當(dāng)t時(shí)，函數(shù)f(x)在t，t2上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t2上的最小值為f(t)tlnt.(2)由題意得，f(x)g(x)xlnxx2ax20在(0，)上有且僅有一個(gè)根，即alnxx在(0，)上有且僅有一個(gè)根，令h(x)lnxx(x>0)，則h(x)1(x2)(x1)(x>0)，易知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以ah(x)minh(1)3.(3)由題意得，yf(x)g(x)xlnxx2ax2，則其導(dǎo)函數(shù)為ylnx2x1a，由題意知ylnx2x1a0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，等價(jià)于alnx2x1有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且x1<x2，等價(jià)于直線ya與函數(shù)G(x)lnx2x1(x>0)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).由G(x)2(x>0)，得G(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)G(x)圖象的大致形狀(如圖).由圖象易知，當(dāng)a>G(x)minGln2時(shí)，x1，x2存在，且x2x1的值隨著a的增大而增大.而當(dāng)x2x1ln2時(shí)，則有兩式相減可得ln2(x2x1)2ln2，得x24x1，代入上述方程組解得x1，x2ln2，此時(shí)實(shí)數(shù)aln2ln1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.