第2講 三角形的重心、垂心、外心和內心三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識，也蘊含了深刻的思想，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實掌握三角形的相關知識是進一步學習的基礎。 初中階段大家已經學習了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內角平分線的一些性質。如三角形角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；三角形邊的垂直平分線上的點到這條邊兩個端點的距離相等，諸如此類。在高中學習中，還會涉及到三角形三條中線交點（重心）、三條高線交點（垂心）、三條邊的垂直平分線交點（外心）及三條內角平分線交點（內心）的問題，因而有必要進一步了解它們的性質。【知識梳理】三角形的四心(1)角平分線：三角形的三條角平分線交于一點，這點叫做三角形的內心，它到三角形各邊的距離相等(2)高線：三角形的三條高線交于一點，這點叫做三角形的垂心(3)中線：三角形的三條中線交于一點，這點叫做三角形的重心(4)垂直平分線：三角形的三條垂直平分線交于一點，這點叫做三角形的外心，外心到三角形三個頂點的距離相等【典例解析】求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1.已知：D、E、F分別為ABC三邊BC、CA、AB的中點，求證：AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成2：1.【解析】證明： 連結DE，設AD、BE交于點G，D、E分別為BC、AE的中點，則DE/AB，且，且相似比為1：2，.設AD、CF交于點，同理可得，則與重合， AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成.【解題反思】三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部，恰好是每條中線的三等分點.【變式訓練】求證重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。已知：為的重心,求證：【分析】可聯(lián)系重心的性質，重心為中線的三等分點即；,在運用等底，高成比例完成證明；【點評】將重心的性質借助相似比，推出了重心關于三角形面積的性質。同時應當想到它還有其它性質?！镜淅馕觥恳阎娜呴L分別為，I為的內心，且I在的邊上的射影分別為，求證：.【解析】證明：作的內切圓，則分別為內切圓在三邊上的切點，為圓的從同一點作的兩條切線，同理，BD=BF，CD=CE.；即.【解題反思】三角形的三條角平分相交于一點，這個交點稱為三角形的內心。內心到三角形三邊的距離相等。【變式訓練】1.若三角形的內心與重心為同一點，求證：這個三角形為正三角形.已知：O為三角形ABC的重心和內心.求證：三角形ABC為等邊三角形.【解析】證明： 如圖，連AO并延長交BC于D.O為三角形的內心，故AD平分，（角平分線性質定理）O為三角形的重心，D為BC的中點，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.為等邊三角形.【點評】等邊三角形具有四心合一的性質?！咀兪接柧殹?.在三角形ABC中，G為重心，I為內心，若AB=6， BC=5，CA=4，求的值【分析】根據三角形重心性質可得：3GI2=AI2+BI2+CI2（AG2+BG2+CG2），求得GI后代入求值即可【點評】本題考查了三角形的五心的知識，解題的關鍵是了解三角形重心性質：3GI2=AI2+BI2+CI2（AG2+BG2+CG2）【典例解析】在中，為垂心，為外接圓半徑， 求證:注此性質的證明，或由勾股定理有等，即可【解題反思】三角形的三條高線相交于一點為垂心，通過探究也具有豐富的性質?！咀兪接柧殹吭O的外接圓半徑為，則求證：，【解析】證明當為銳角三角形時，如圖，顯然有，從而在中，故同理，當為鈍角三角形時，不妨設為鈍角此時，只需調換圖中字母與，與的位置，圖形不變，即得，當為直角三角形時，不妨設為直角，此時，垂心與，重舍顯然，