3.1.1空間向量及其線性運算3.1.2共面向量定理學習目標：1.了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別，掌握空間向量的線性運算及其性質，理解共線向量定理(重點)2.了解向量共面的含義，理解共面向量定理.3.能運用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題自 主 預 習探 新 知教材整理1空間向量及其線性運算閱讀教材P81的部分，完成下列問題1空間向量在空間，把既有大小又有方向的量叫做空間向量2空間向量的線性運算空間向量的線性運算定義(或法則)加法設a和b是空間兩個向量，過一點O作a和b的相等向量和，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則平行四邊形OACB的對角線OC對應的向量就是a與b的和，記作ab減法與平面向量類似，a與b的差定義為a(b)，記作ab，其中b是b的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量a與一個實數(shù)的乘積是一個向量，記作a，滿足：大?。簗a|a|.方向：當0時，a與a方向相同；當0時，a與a方向相反；當0時，a01判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小()(2)空間向量的數(shù)乘運算中，只決定向量的大小，不決定向量的方向()(3)將空間的所有單位向量的起點平移到同一個點，則它們的終點構成一個圓()(4)若|a|b|，則ab或ab.()(5)已知四邊形ABCD，O是空間任意一點，且，則四邊形ABCD是平行四邊形()答案(1)(2)(3)(4)(5)2如圖311，在長方體ABCDA1B1C1D1中，下列各式運算結果為的是_(填序號)圖311；.解析；.答案教材整理2共線向量閱讀教材P82例1上面的部分，完成下列問題1共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量向量a與b平行，記作ab，規(guī)定零向量與任意向量共線2共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(a0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)，使ba.教材整理3共面向量閱讀教材P84的部分，完成下列問題1共面向量能平移到同一平面內的向量叫做共面向量2共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序實數(shù)組(x，y)，使得pxayb.有下列命題：平行于同一直線的向量是共線向量；平行于同一平面的向量是共面向量；平行向量一定是共面向量；共面向量一定是平行向量其中正確的命題有_解析“共面向量一定是平行向量”不正確，即共面向量不一定共線均正確答案合 作 探 究攻 重 難空間向量及有關概念下列四個命題：所有的單位向量都相等；方向相反的兩個向量是相反向量；若a，b滿足|a|>|b|，且a，b同向，則a>b；零向量沒有方向其中不正確的命題的序號為_. 【導學號：71392156】精彩點撥根據(jù)空間向量的概念進行逐一判斷，得出結論自主解答對于：單位向量是指長度等于1個單位長度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定義，故錯；對于：長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故錯；對于：向量是不能比較大小的，故不正確；對于：零向量有方向，只是沒有確定的方向，故錯答案名師指津1因為空間任何兩個向量都可以平移到同一平面上，故空間的兩個向量間的關系都可以轉化為平面向量來解決2對于有關向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以通過舉出反例而排除或否定相關命題再練一題1下列命題中正確的個數(shù)是_如果a，b是兩個單位向量，則|a|b|；兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；同向且等長的有向線段表示同一向量；空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內解析正確，不正確答案3空間向量的線性運算化簡：()()精彩點撥根據(jù)算式中的字母規(guī)律，可轉化為加法運算，也可轉化為減法運算自主解答法一：將減法轉化為加法進行化簡，()()0.法二：利用，化簡()()()()0.法三：，()()()()0.名師指津1計算兩個空間向量的和或差時，與平面向量完全相同運算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關鍵2計算三個或多個空間向量的和或差時，要注意以下幾點：(1)三角形法則和平行四邊形法則；(2)正確使用運算律；(3)有限個向量順次首尾相連，則從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即表示這有限個向量的和向量再練一題2如圖312所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，若a，b，c，則_(用向量a，b，c表示). 【導學號：71392157】圖312解析法一：abcbbabc.法二：acb.答案abc共線向量定理及其應用如圖313，已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GMGA13.求證：B，G，N三點共線圖313精彩點撥要證明B，G，N三點共線，可證明，即證明存在實數(shù)，使.自主解答設a，b，c，則a(abc)abc，()abc.，即B，G，N三點共線名師指津判定或證明三點(如P，A，B)是否共線：(1)考察是否存在實數(shù)，使；(2)考察對空間任意一點O，是否有t；(3)考察對空間任意一點O，是否有xy (xy1).再練一題3在例3中，若把條件“GMGA13”換為“GMGA11”把“N是面ACD的重心”換為“”，增加條件“B，G，N三點共線”，其余不變，試求的值解設a，b，c，()()(abc)a(abc)abc.()abc.B，G，N三點共線，故存在實數(shù)k，使k，即abck，故解得k，.共面向量定理及其應用如圖314所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點圖314(1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)用向量法證明BD平面EFGH. 【導學號：71392158】精彩點撥(1)要證E，F(xiàn)，G，H四點共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實數(shù)x，y，使xy即可(2)要證BD平面EFGH，只需證向量與向量，共面即可自主解答(1)如圖所示，連接BG，EG，則().由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)設a，b，c，則ca.(cb)abc，c(ab)abc.假設存在x，y，使xy.即caxyabc.a，b，c不共線解得.，是共面向量，BD不在平面EFGH內BD平面EFGH.名師指津1空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使xy.滿足這個關系式的點P都在平面MAB內；反之，平面MAB內的任一點P都滿足這個關系式，這個充要條件常用來證明四點共面在許多情況下，可以用“若存在有序實數(shù)組(x，y，z)使得對于空間任意一點O，有xyz，且xyz1成立，則P，A，B，C四點共面”作為判定空間中四個點共面的依據(jù)2用共面向量定理證明線面平行的關鍵(1)在直線上取一向量；(2)在平面內找出兩個不共線的向量，并用這兩個不共線的向量表示直線上的向量；(3)說明直線不在面內，三個條件缺一不可再練一題4已知兩個非零向量e1，e1不共線，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求證：A，B，C，D四點共面證明(3e13e2)(2e18e2)5(e1e2)5，又與不共線，共面，又它們有一個公共起點A，A，B，C，D四點共面. 共線、共面向量的特征探究問題1如何理解共線向量及共線向量定理？提示(1)用共線向量定理證明兩直線平行是常用方法，但是要注意，向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括共線的情形，如果應用共線向量定理判斷a，b所在的直線平行，還需說明a(或b)上有一點不在b(或a)上(2)用共線向量定理證明三點共線也是常用方法，在利用該定理證明(或判斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數(shù)，使或即可(3)對于空間任意一點O，若有(1)成立，則A，B，C三點共線2如何理解共面向量定理？提示(1)共面向量定理給出了平面向量的表示式，說明兩個不共線的向量能確定一個平面，它是判定三個向量是否共面的依據(jù)(2)共面向量定理的推論是判定空間四點共面的依據(jù)3若兩向量共線或共面，則這兩向量所在的直線有何位置關系？提示兩向量共線，這兩向量所在的直線重合或平行，兩向量共面，這兩向量所在的直線共面或異面如圖315所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.證明：與，共面. 【導學號：71392159】圖315精彩點撥由共面向量定理，只要用，線性表示出即可自主解答，與，共面再練一題5如圖316，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點證明：向量，是共面向量圖316證明法一：().由向量共面的充要條件知，是共面向量法二：連接A1D，BD，取A1D中點G，連接FG，BG，則有FGDD1，BEDD1，F(xiàn)GBE，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.BG平面A1BD，EF平面A1BD，EF共面A1BD.同理，B1CA1D，B1C平面A1BD，都與平面A1BD平行，是共面向量當 堂 達 標固 雙 基1已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，則_.解析0.答案02已知正方體ABCDABCD中，設a，b，c，點E是AC的中點，點F是AE的三等分點，且AFEF，則_(用a，b，c表示)解析由條件AFEF知，EF2AF，所以abc.答案abc3ab(是實數(shù))是a與b共線的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)解析abab，但當b0，a0時，則ab，ab.答案充分不必要4設e1，e2是空間中兩個不共線的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，且A，B，D三點共線，則k的值是_. 【導學號：71392160】解析e13e2，2e1e2，(2e1e2)(e13e2)e14e2.A，B，D三點共線，2e1ke2(e14e2)e14e2.e1，e2是空間兩個不共線的向量，k8.答案85已知ABCD，從平面AC外一點O，引向量k，k，k，k.圖317求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)平面AC平面EG.證明(1)四邊形ABCD是平行四邊形，.kkk()kk()k()，E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)k()k，又k，EFAB，EGAC，所以平面AC平面EG.