高三數(shù)學北師大版文一輪教師用書:第4章 第5節(jié) 第2課時 簡單的三角恒等變換 Word版含解析
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高三數(shù)學北師大版文一輪教師用書:第4章 第5節(jié) 第2課時 簡單的三角恒等變換 Word版含解析
第2課時簡單的三角恒等變換(對應學生用書第74頁)考點1三角函數(shù)式的化簡1三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則2三角函數(shù)式化簡的方法(1)弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪(2)在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數(shù)式時,一般需要升次(1)化簡:_.(2)已知cos,則sin_.(3)已知為第二象限角,且tan tan 2tan tan 2,則sin_.(1)cos 2x(2)(3)(1)原式cos 2x.(2)由題意可得,cos2,cossin 2,即sin 2.因為cos0,所以0,2,根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,可得cos 2,由兩角差的正弦公式,可得sinsin 2cos cos 2sin ××.(3)由已知可得tan2,為第二象限角,sin,cos,則sinsinsincossin sincos .(1)化簡標準:函數(shù)種類盡可能少、次數(shù)盡可能低、項數(shù)盡可能少、盡量不含根式、盡量不含絕對值等(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)冪的作用考點2三角函數(shù)的求值給角求值2sin 50°sin 10°(1tan 10°)·_.原式·sin 80°·cos 10°2sin 50°·cos 10°sin 10°·cos(60°10°)2sin(50°10°)2×.該類問題中給出的角一般都不是特殊角,需要通過三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?,或者能夠正負相消,或者能夠約分相消,最后得到具體的值給值求值(1)(2019·益陽模擬)已知cossin ,則sin_.(2)已知cos,則的值為_(1)(2)(1)由cossin ,可得cos sin sin ,即sin cos ,所以sin,即sin,所以sinsin.(2)sin 2sin 2·tan.由得2,又cos,所以sin,tan.cos cos,sin ,sin 2.所以×.(1)給值求值的關(guān)鍵是通過角的三角函數(shù)的變換把求解目標用已知條件表達出來(2)注意與互余,sin 2cos 2x,cos 2sin 2x的靈活應用給值求角(1)設,為鈍角,且sin ,cos ,則的值為()A.B.C.D.或(2)已知,(0,),且tan(),tan ,則2的值為_(1)C(2)(1),為鈍角,sin ,cos ,cos ,sin ,cos()cos cos sin sin 0.又(,2),.(2)tan tan()0,0.又tan 20,02,tan(2)1.tan 0,20,2.通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時,有以下原則:已知正切函數(shù)值,則選正切函數(shù)已知正、余弦函數(shù)值,則選正弦或余弦函數(shù)若角的范圍是,則選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,),則選余弦較好;若角的范圍為,則選正弦較好提醒:求解此類問題時,一定要注意所求角的范圍及解題過程中角的范圍1.(2019·安徽六安二模)若sin 2,sin(),且,則的值是()A.B.C.或D.或A因為,且0sin 2,所以2,所以,cos 2.因為,所以,又sin()0,所以,所以cos().所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()××.又,所以,所以.故選A.2已知,且2sin2sin ·cos 3cos20,則_.,且2sin2sin ·cos 3cos20,則(2sin 3cos )·(sin cos )0,又,sin cos 0,2sin 3cos ,又sin2cos21,cos ,sin ,.考點3三角恒等變換的綜合應用三角恒等變換的應用策略(1)進行三角恒等變換要抓住:變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu),尤其是角之間的關(guān)系;注意公式的逆用和變形使用(2)把形如yasin xbcos x化為ysin(x),可進一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性(2019·浙江高考)設函數(shù)f(x)sin x,xR.(1)已知0,2),函數(shù)f(x)是偶函數(shù),求的值;(2)求函數(shù)y的值域解(1)因為f(x)sin(x)是偶函數(shù),所以對任意實數(shù)x都有sin(x)sin(x),即sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ,故2sin xcos 0,所以cos 0.又0,2),因此或.(2)ysin2sin211cos.因此,所求函數(shù)的值域是.(1)求三角函數(shù)解析式y(tǒng)Asin(x)(A0,0)時要注意的取值范圍(2)根據(jù)二倍角公式進行計算時,如果涉及開方,則要注意開方后三角函數(shù)值的符號已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由sin,cos ,得f2××2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x,得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì),得2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)