1.2基本不等式(一)1.理解并掌握定理1、定理2，會用兩個定理解決函數(shù)的最值或值域問題.2.能運用平均值不等式(兩個正數(shù)的)解決某些實際問題.自學導引1.定理1(重要不等式)：對于任意實數(shù)a，b，a2b22ab，當且僅當ab時，等號成立.2.定理2(基本不等式)：如果a，b是正數(shù)，那么，當且僅當ab時，等號成立.3.我們常把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均值，把叫做正數(shù)a，b的幾何平均值，所以基本不等式又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.4.關(guān)于用不等式求函數(shù)最大、最小值(1)若x0、y0，且xyp(定值)，則當xy時，xy有最小值2.(2)若x0、y0，且xys(定值)，則當xy時，xy有最大值.基礎(chǔ)自測1.設(shè)0<a<1，0<b<1，且ab，下列各式中值最大的是() A.a2b2 B.abC.2ab D.2解析0<a<1，0<b<1，且ab，ab>2，a2<a，b2<b，a2b2<ab，a2b2>2ab，且ab<.答案B2.若實數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()A. B.2C.2 D.4解析由條件知a，b均為正數(shù).因而可利用基本不等式求解.由知a>0，b>0，所以2，即ab2，當且僅當即a，b2時取“”，所以ab的最小值為2.答案C3.若正數(shù)a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_.解析a>0，b>0，abab323，()2230，3或1(舍去)，ab9.答案9，)知識點1不等式證明【例1】 求證：a7 (其中a>3).證明a(a3)3，由基本不等式，得a(a3)32 3237.當且僅當a3，即a5時取等號. 反思感悟：在利用基本不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項或多項或恒等地變形配湊成適當?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式.1.若a，bR，且ab1，求證：9.證明方法一：1119.方法二：529.知識點2最值問題【例2】 設(shè)x，yR且3，求2xy的最小值.解方法一：2xy3(2xy)(2xy).當且僅當，即x，y時，等號成立，2xy的最小值為.方法二：設(shè)，則x，y2xy，當且僅當mn，即x，y時，取得最小值.反思感悟：利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是對式子恰當?shù)淖冃?，合理?gòu)造“和式”與“積式”的互化，必要時可多次應(yīng)用.注意一定要求出使“”成立的自變量的值，這也是進一步檢驗是否存在最值.2.已知x<，求函數(shù)y4x2的最大值.解由y4x24x53231.當4x5時取等號，x1，最大值為1.知識點3基本不等式的實際應(yīng)用【例3】 甲、乙兩公司在同一電腦耗材廠以相同價格購進電腦芯片.甲、乙兩公司分別購芯片各兩次，兩次的芯片價格不同，甲公司每次購10 000片芯片，乙公司每次購10 000元芯片.哪家公司平均成本較低？請說明理由.解設(shè)第一次、第二次購電腦芯片的價格為每片a元和b元，那么甲公司兩次購電腦芯片的平均價格為(元/片)；乙公司兩次購電腦芯片的平均價格為(元/片).a>0，b>0且ab，>，>2，<，>，乙公司的平均成本比較低.3.某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米造價40元，兩側(cè)砌磚墻，每米造價45元，頂部每平方米造價20元.試問：(1)倉庫底面積S的最大允許值是多少？(2)為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長？解設(shè)鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，則有Sxy，由題意得：40x245y20xy3 200.(1)由基本不等式，得3 200220xy120 20xy12020S，S6160，即(16)(10)0.16>0，100，從而S100.S的最大允許值是100 m2.(2)S取最大值的條件是40x90y，又xy100，由此解得x15.正面鐵柵的長度應(yīng)設(shè)計為15米.課堂小結(jié)1.兩個不等式：a2b22ab與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).如(3)2(2)22(3)(2)是成立的，而2是不成立的.2.兩個不等式：a2b22ab與都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當時，取號”這句話的含義要有正確的理解.當ab取等號，其含義是ab；僅當ab取等號，其含義是ab.綜合上述兩條，ab是的充要條件.3.與基本不等式有關(guān)的兩個常用不等式：(1)2 (a、b同號)；(2) (a>0，b>0).隨堂演練1.設(shè)實數(shù)x，y，滿足x2y21，當xyc0時，c的最大值是() A. B.C.2 D.2解析方法一：設(shè)xcos ，ysin ，當xyc0時，cxy(cos sin )sin，當sin1時，cmax.方法二：c2(xy)22(x2y2)2c，cmax.答案A2.若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.74解析先判斷a，b的符號，再將已知的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的方程，最后根據(jù)基本不等式求解.由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)77274，當且僅當時取等號，故選D.答案D3.已知x>0，y>0，且1，求xy的最小值_.解析x>0，y>0，1，xy(xy)1061016，當且僅當時，上式等號成立.又1，x4，y12時，(xy)min16.答案164.x，y，zR，x2y3z0，的最小值是_.解析由x2y3z0，得y，將其代入，得3，當且僅當x3z時取“”.答案3基礎(chǔ)達標1.若a，bR，且ab1，則的最大值為()A.B.C.D.2答案C2.若a，bR，且ab2，則的最小值為()A.1 B.2C. D.4答案B3.下列命題：x最小值是2；的最小值是2；的最小值是2；23x的最小值是2.其中正確命題的個數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4解析當x<0時結(jié)論不成立；由2，故結(jié)論成立；由，由2，故結(jié)論不成立；當x>0時，23x22224，當x<0時，23x22224，故結(jié)論不成立.答案A4.若不等式x22xay22y對任意實數(shù)x、y都成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.答案a25.若a是12b與12b的等比中項，則的最大值為_.解析由題意得a2(12b)(12b)14b2.即a24b21.a24b22，得|ab|且4， .答案6.已知a，b(0，)，求證：(ab)4.證明a>0，b>0，ab2>0，當且僅當ab時，取等號.2 >0，當且僅當，即ab時取等號.，得(ab)224，當且僅當ab時，取等號.綜合提高7.函數(shù)ylog2 (x>1)的最小值為()A.3 B.3C.4 D.4解析x>1，x1>0，ylog2log2log2(26)log283.答案B8.要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是()A.80元 B.120元C.160元 D.240元解析設(shè)底面矩形的一條邊長是x m，總造價是y元，把y與x的函數(shù)關(guān)系式表示出來，再利用均值(基本)不等式求最小值.由題意知，體積V4 m3，高h1 m，所以底面積S4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長是x m，則另一條邊長是 m，又設(shè)總造價是y元，則y204108020160，當且僅當2x，即x2時取得等號.答案C9.設(shè)a，b0，ab5，則的最大值為_.解析將進行平方，為使用基本不等式創(chuàng)造條件，從而求得最值.令t，則t2a1b32929a1b313ab13518，當且僅當a1b3時取等號，此時a，b.tmax3.答案310.對于c0，當非零實數(shù)a，b滿足4a22abb2c0且使|2ab|最大時，的最小值為_.解析利用均值不等式找到|2ab|取得最大值時等號成立的條件，從而可以用字母c表示a，b，再求的最小值.由題意知，c4a22abb2(2ab)26ab，(2ab)2c6ab.若|2ab|最大，則ab>0.當a>0，b>0時，(2ab)2c6abc32abc3，(2ab)2c(2ab)2，(2ab)24c，|2ab|2，當且僅當b2a，即時取等號.此時>0.當a<0，b<0時，(2ab)2c6abc3(2a)(b)c3，(2ab)24c，|2ab|2，即2ab2.當且僅當b2a，即時取等號.此時411，當，即c4時等號成立.綜上可知，當c4，a1，b2時，1.答案111.若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由.解(1)由，得ab2，且當ab時等號成立.故a3b324，且當ab時等號成立.所以a3b3的最小值為4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，從而不存在a，b，使得2a3b6.12.經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/時)與汽車的平均速率v(千米/時)之間的函數(shù)關(guān)系為y(v0).(1)在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時)(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解(1)依題意，y11.1(千輛/時)(2)由條件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答當v40千米/時時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時.如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時且小于64千米/時.