考點測試39數(shù)學(xué)歸納法高考概覽考綱研讀1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題一、基礎(chǔ)小題1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時，第一步檢驗第一個值n0等于()A1 B2 C3 D0答案C解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形2用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2an，a1，nN*”，在驗證n1時，左邊是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案B解析當(dāng)n1時，代入原式有左邊1a故選B3對于不等式n1(nN*)，某學(xué)生的證明過程如下：當(dāng)n1時，11，不等式成立假設(shè)nk(kN*)時，不等式成立，即k1，則nk1時，<(k1)1所以當(dāng)nk1時，不等式成立上述證法()A過程全都正確Bn1檢驗不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確答案D解析n1的驗證及歸納假設(shè)都正確，但從nk到nk1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求，故選D4利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<f(n)(n2，nN*)的過程，由nk到nk1時，左邊增加了()A1項 Bk項 C2k1項 D2k項答案D解析11，共增加了2k項5某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知n5時，該命題不成立，那么可以推得()An6時該命題不成立 Bn6時該命題成立Cn4時該命題不成立 Dn4時該命題成立答案C解析假設(shè)n4時該命題成立，由題意可得n5時，該命題成立，而n5時，該命題不成立，所以n4時，該命題不成立，而n5，該命題不成立，不能推得n6該命題是否成立，故選C6用數(shù)學(xué)歸納法證明1>(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7 B8 C9 D10答案B解析左邊12，代入驗證可知n的最小值是8故選B7下列代數(shù)式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)答案D解析當(dāng)k1時，顯然只有3(27k)能被9整除假設(shè)當(dāng)kn(nN*)時，命題成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36，這就是說，kn1時命題也成立由可知，命題對任何kN*都成立故選D8設(shè)f(n)，nN，那么f(n1)f(n)()A BC D答案D解析f(n1)f(n)9用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1時正確，再推n2k3正確(kN*)B假使n2k1時正確，再推n2k1正確(kN*)C假使nk時正確，再推nk1正確(kN*)D假使nk(k1)時正確，再推nk2時正確(kN*)答案B解析因為n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n2k1正確，再推第k1個正奇數(shù)，即n2k1正確10已知123332433n3n13n(nab)c對一切nN*都成立，則a，b，c的值為()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在這樣的a，b，c答案A解析等式對一切nN*均成立，n1，2，3時等式成立，即整理得解得a，bc11在數(shù)列an中，a1且Snn(2n1)an，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是_答案an解析因為Snn(2n1)an，當(dāng)n2，3，4時，得出a2，a3，a4a1，a2，a3，a4an12已知f(n)1(nN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時，f(2k1)f(2k)_答案解析f(2k1)1，f(2k)1，f(2k1)f(2k)二、高考小題本考點在近三年高考中未涉及此題型三、模擬小題13(2018山東淄博質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)k1成立時，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是()A若f(1)<2成立，則f(10)<11成立B若f(3)4成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k1成立C若f(2)<3成立，則f(1)2成立D若f(4)5成立，則當(dāng)k4時，均有f(k)k1成立答案D解析當(dāng)f(k)k1成立時，總能推出f(k1)k2成立，說明如果當(dāng)kn時，f(n)n1成立，那么當(dāng)kn1時，f(n1)n2也成立，所以如果當(dāng)k4時，f(4)5成立，那么當(dāng)k4時，f(k)k1也成立一、高考大題1(2017浙江高考)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln (1xn1)(nN*)證明：當(dāng)nN*時，(1)0<xn1<xn；(2)2xn1xn；(3)xn證明(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn>0當(dāng)n1時，x11>0假設(shè)nk時，xk>0，那么nk1時，若xk10，則0<xkxk1ln (1xk1)0，矛盾，故xk1>0因此xn>0(nN*)所以xnxn1ln (1xn1)>xn1因此0<xn1<xn(nN*)(2)由xnxn1ln (1xn1)得xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln (1xn1)記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln (1x)(x0)，f(x)ln (1x)>0(x>0)，函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln (1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*)(3)因為xnxn1ln (1xn1)xn1xn12xn1，所以xn由2xn1xn得2>0，所以22n12n2，故xn綜上，xn(nN*)2(2015江蘇高考)已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，設(shè)Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù)(1)寫出f(6)的值；(2)當(dāng)n6時，寫出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)f(6)13(2)當(dāng)n6時，f(n)(tN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n6時，f(6)6213，結(jié)論成立；假設(shè)nk(k6)時結(jié)論成立，那么nk1時，Sk1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：a若k16t，則k6(t1)5，此時有f(k1)f(k)3k23(k1)2，結(jié)論成立；b若k16t1，則k6t，此時有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立；c若k16t2，則k6t1，此時有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；d若k16t3，則k6t2，此時有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；e若k16t4，則k6t3，此時有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；f若k16t5，則k6t4，此時有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論對滿足n6的自然數(shù)n均成立二、模擬大題3(2018常德月考)設(shè)a>0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3)猜想an(nN*)(2)證明：易知，n1時，猜想正確假設(shè)nk(kN*)時猜想正確，即ak，則ak1f(ak)這說明，nk1時猜想正確由知，對于任何nN*，都有an4(2018福建三明月考)已知xi>0(i1，2，3，n)，我們知道(x1x2)4成立(1)求證：(x1x2x3)9；(2)同理我們也可以證明出(x1x2x3x4)16由上述幾個不等式，請你猜測一個與x1x2xn和(n2，nN*)有關(guān)的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)證法一：(x1x2x3)339證法二：(x1x2x3)332229(2)猜想(x1x2xn)，n2(n2，nN*)證明如下：當(dāng)n2時，由已知得猜想成立假設(shè)當(dāng)nk時，猜想成立，即(x1x2xk)k2，則當(dāng)nk1時，(x1x2xkxk1)(x1x2xk)(x1x2xk)xk11k2(x1x2xk)xk11k21k2221k22k1(k1)2，所以當(dāng)nk1時原式成立結(jié)合可知，猜想成立