第七節(jié)雙曲線最新考綱1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第161頁(yè))1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|的點(diǎn)的集合叫作雙曲線，定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e(1，)實(shí)、虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)3.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y±x，離心率為e.1過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為，也叫通徑2雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.3若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|minac，|PF2|minca.4與雙曲線1(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為t(t0)5當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay0，求雙曲線方程時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為b2x2a2y2(0)一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1雙曲線1的焦距為()A5B.C2D1C由雙曲線1，易知c2325，所以c，所以雙曲線1的焦距為2.2以橢圓1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為()Ax21B.y21Cx21D.1A設(shè)要求的雙曲線方程為1(a0，b0)，由橢圓1，得橢圓焦點(diǎn)為(±1,0)，在x軸上的頂點(diǎn)為(±2,0)所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0)，焦點(diǎn)為(±2,0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.3已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2B. C.D1D依題意，e2，2a，則a21，a1.4經(jīng)過點(diǎn)A(5，3)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_1設(shè)雙曲線的方程為x2y2，把點(diǎn)A(5，3)代入，得16，故所求方程為1.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第162頁(yè))考點(diǎn)1雙曲線的定義及應(yīng)用雙曲線定義的兩個(gè)應(yīng)用(1)判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合|PF1|PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的關(guān)系(1)設(shè)P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|9，則|PF2|等于()A1B17C1或17D以上均不對(duì)(2)已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.1(x)B.1(x)C.1(x)D.1(x)(3)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，F(xiàn)1PF260°，則|PF1|·|PF2|等于()A2B4 C6D8(1)B(2)A(3)B(1)根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|PF2|8|PF2|1或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17，故選B.(2)設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，由題意可得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|2，故由雙曲線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)M在以C1(4,0)，C2(4,0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a2的雙曲線的右支上，即a，c4b216214，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為1(x)，故選A.(3)由雙曲線的方程得a1，c，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos 60°，即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|·|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|·|PF2|22|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|4，故選B.母題探究1本例(3)中，若將條件“F1PF260°”改為|PF1|2|PF2|，試求cosF1PF2的值解根據(jù)雙曲線的定義知，|PF1|PF2|PF2|2，則|PF1|2|PF2|4，又|F1F2|2cosF1PF2.2本例(3)中，若將條件“F1PF260°”，改為·0，則F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上則|PF1|PF2|2a2，由·0，得.在F1PF2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|2.SF1PF2|PF1|PF2|1.(1)求雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定義求雙曲線方程時(shí)，要注意所求是雙曲線一支，還是整個(gè)雙曲線，如本例T(2)1.已知點(diǎn)F1(3,0)和F2(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.1(y0)B.1(x0)C.1(y0)D.1(x0)B由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為1(x0，a0，b0)，由題設(shè)知c3，a2，b2945，所以點(diǎn)P的軌跡方程為1(x0)2已知雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)若|PF1|PF2|，則F1PF2的面積為()A48B24C12D6B由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此SF1PF2|PF1|·|PF2|24.3若雙曲線1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,4)，則|PF|PA|的最小值是()A8B9 C10D12B由題意知，雙曲線1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時(shí)取等號(hào)考點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線方程的思路(1)如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解)(2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法來解決：一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是設(shè)雙曲線的一般方程為mx2ny21(mn0)求解(1)(2019·荊門模擬)方程1表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是()A3m0B1m3C3m4D2m3(2)一題多解已知雙曲線過點(diǎn)(2,3)，漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1B.1Cx21D.1(3)(2018·天津高考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1D.1(1)B(2)C(3)C(1)方程1表示雙曲線，則(m2)(m3)0，解得2m3.要求充分不必要條件，選項(xiàng)范圍是2m3的真子集，只有選項(xiàng)B符合題意故選B.(2)法一：當(dāng)其中的一條漸近線方程yx中的x2時(shí)，y23，又點(diǎn)(2,3)在第一象限，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(a0，b0)，由題意得解得所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，故選C.法二：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y±x，即±x，所以可設(shè)雙曲線的方程是x2(0)，將點(diǎn)(2,3)代入，得1，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，故選C.(3)如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bxay0，則d1d22b6，b3. 又由e2，知a2b24a2，a.雙曲線的方程為1. 故選C.已知雙曲線的漸近線方程，用漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，運(yùn)算過程較為簡(jiǎn)單教師備選例題設(shè)雙曲線與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_1 法一：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a|4，故a2.又b232225，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則a2b29，又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以1，聯(lián)立解得a24，b25.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.1.(2019·湘潭模擬)以雙曲線1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且漸近線互相垂直的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax2y21B.y21C.1D.1D由題可知，所求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0)又因?yàn)殡p曲線的漸近線互相垂直，所以ab3，則該雙曲線的方程為1.故選D.2已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若|PF1|PF2|4b，且雙曲線的焦距為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y21B.1Cx21D.1A由題意可得解得則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.3經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，Q(6，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_1設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0)，因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，Q(6，7)，所以解得故所求雙曲線方程為1.考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的離心率(或其范圍)求雙曲線的離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解(1)(2019·全國(guó)卷)設(shè)F為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn)若|PQ|OF|，則C的離心率為()A.B. C2D.(2)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.B.C(1,2D.(1)A(2)B(1)令雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，則c.如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQOF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得a2，即離心率e.故選A.(2)由雙曲線的定義可知|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以|PF2|，由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為ca，可得ca，解得，即e，又雙曲線的離心率e1，故該雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.本例T(2)利用雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離不小于ca建立不等式求解，同時(shí)應(yīng)注意雙曲線的離心率e1.教師備選例題(2019·沈陽(yáng)模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|4a，且PF1F2的最小內(nèi)角的正弦值為，則雙曲線C的離心率為()A2B3C.D.C不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，所以|PF1|3a，|PF2|a.PF1F2的最小內(nèi)角的正弦值為，其余弦值為，因?yàn)閨PF1|PF2|，|F1F2|PF2|，所以PF1F2為PF1F2的最小內(nèi)角由余弦定理可得|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F2，即a24c29a22×2c×3a×，所以離心率e.故選C.與漸近線有關(guān)的問題與漸近線有關(guān)的結(jié)論(1)雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x.(2)e21e21.(1)(2019·武漢模擬)已知雙曲線C：1(m0，n0)的離心率與橢圓1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為()A4x±3y0B3x±4y0C4x±3y0或3x±4y0D4x±5y0或5x±4y0(2)(2019·張掖模擬)已知雙曲線C：1(a0，b0)的頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為，則其一條漸近線的傾斜角為()A30°B45° C60°D120°(1)A(2)B(1)由題意知，橢圓中a5，b4，橢圓的離心率e，雙曲線的離心率為，雙曲線的漸近線方程為y±x±x，即4x±3y0.故選A.(2)設(shè)雙曲線1的右頂點(diǎn)A(a,0)，右焦點(diǎn)F2(c,0)到漸近線yx的距離分別為1和，則有即.則1211，即1.設(shè)漸近線yx的傾斜角為，則tan 1.所以45°，故選B.雙曲線中，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于b是常用的結(jié)論教師備選例題(2019·衡水模擬)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作圓x2y2a2的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)M.若F1MF245°，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±xBy±xCy±xDy±2xA如圖，作OAF1M于點(diǎn)A，F(xiàn)2BF1M于點(diǎn)B.因?yàn)镕1M與圓x2y2a2相切，F(xiàn)1MF245°，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又點(diǎn)M在雙曲線上，所以|F1M|F2M|2a2b2a2a，整理得ba.所以.所以雙曲線的漸近線方程為y±x.故選A.1.已知雙曲線1(m0)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線xy5上，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±xBy±xCy±xDy±xB由雙曲線1(m0)的焦點(diǎn)在y軸上，且在直線xy5上，直線xy5與y軸的交點(diǎn)為(0,5)，有c5，則m925，得m16，所以雙曲線的方程為1，故雙曲線的漸近線方程為y±x.故選B.2已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A(2，)在雙曲線C上，若AF2F1F2，則雙曲線C的漸近線方程為()Ay±xBy±xCy±2xDy±xA因?yàn)锳F2F1F2，A(2，)，所以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，由雙曲線的定義可知2a|AF1|AF2|2，即a，所以b，故雙曲線C的漸近線方程為y±x，故選A.