第六節(jié)正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計(jì)算最新考綱掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題(對應(yīng)學(xué)生用書第76頁)1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC的外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R.a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C.變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)2R.cos A；cos B；cos C.2.三角形常用面積公式(1)Sa·ha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)1在ABC中，ABabsin Asin B.2三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3內(nèi)角和公式的變形(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，則AB.()(3)在ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素()(4)當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為銳角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為直角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為鈍角三角形()答案(1)×(2)(3)×(4)×二、教材改編1已知ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A，B，a1，則b()A2B1C.D.D由得b×2.2在ABC中，若a18，b24，A45°，則此三角形有()A無解B兩解C一解D解的個(gè)數(shù)不確定Bbsin A24sin 45°12，121824，即bsin Aab.此三角形有兩解3在ABC中，acos Abcos B，則這個(gè)三角形的形狀為_等腰三角形或直角三角形由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形4在ABC中，A60°，AC4，BC2，則ABC的面積等于_2因?yàn)?，所以sin B1，所以 B90°，所以AB2，所以SABC×2×22.(對應(yīng)學(xué)生用書第76頁)考點(diǎn)1利用正、余弦定理解三角形解三角形的常見題型及求解方法(1)已知兩角A，B與一邊a，由ABC及，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知兩邊b，c及其夾角A，由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三邊a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知兩邊a，b及其中一邊的對角A，由正弦定理可求出另一邊b的對角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通過求角B時(shí)，可能有一解或兩解或無解的情況(1)(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，則()A6B5C4D3(2)(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A；若ab2c，求sin C.(1)Aasin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.故選A.(2)解由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因?yàn)?°A180°，所以A60°.由知B120°C，由題設(shè)及正弦定理得sin Asin(120°C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60°).由于0°C120°，所以sin(C60°)，故sin Csin(C60°60°)sin(C60°)cos 60°cos(C60°)sin 60°.解三角形問題，關(guān)鍵是利用正、余弦定理實(shí)施邊和角的轉(zhuǎn)化，三角變換的相關(guān)公式如兩角和與差的正、余弦公式，二倍角公式等，作為化簡變形的重要依據(jù)1.(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos B0，則B_.bsin Aacos B0，.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.2在ABC中，AB4，AC7，BC邊上中線AD，則BC_.9設(shè)BDDCx，ADC，ADB，在ADC中，(7)2x22x×cos ，在ABD中，(4)2x22x×cos()，得x，BC9.3(2019·貴陽模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c成公差為2的等差數(shù)列，C120°.(1)求邊長a；(2)求AB邊上的高CD的長解(1)由題意得ba2，ca4，由余弦定理cos C得cos 120°，即a2a60，所以a3或a2(舍去)，所以a3.(2)法一：由(1)知a3，b5，c7，由三角形的面積公式得absinACBc×CD，所以CD，即AB邊上的高CD.法二：由(1)知a3，b5，c7，由正弦定理得，即sin A，在RtACD中，CDACsin A5×，即AB邊上的高CD.教師備選例題(2018·天津高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因?yàn)锽(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因?yàn)閍c，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.考點(diǎn)2與三角形面積有關(guān)的問題三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c1，求ABC面積的取值范圍解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因?yàn)閟in A0，所以sinsin B.由ABC180°，可得sincos，故cos2sincos.因?yàn)閏os0，故sin，所以B60°.(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABCa.由正弦定理得a.由于ABC為銳角三角形，故0°A90°，0°C90°.由(1)知AC120°，所以30°C90°，故a2，從而SABC.因此，ABC面積的取值范圍是.(1)若已知一個(gè)角(角的大小或該角的正弦值、余弦值)，一般結(jié)合題意求夾這個(gè)角的兩邊或兩邊之積，再代入公式求解(2)若已知三邊，可先求一個(gè)角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面積(3)若求面積的最值，一般表示為一個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解，也可結(jié)合基本不等式求解1.(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b6，a2c，B，則ABC的面積為_6法一：因?yàn)閍2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c22×2c×ccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面積Sacsin B×4×2×sin 6.法二：因?yàn)閍2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c22×2c×ccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面積S×2×66.2在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小解(1)證明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)所以C±B.當(dāng)BC時(shí)，A；當(dāng)CB時(shí)，A.綜上，A或A.教師備選例題已知ABC的面積為3，AC2，BC6，延長BC至D，使ADC45°.(1)求AB的長；(2)求ACD的面積解(1)因?yàn)镾ABC×6×2×sinACB3，所以sinACB，ACB30°或150°，又ACBADC，且ADC45°，所以ACB150°，在ABC中，由余弦定理得AB212362×2×6cos 150°84，所以AB2.(2)在ACD中，因?yàn)锳CB150°，ADC45°，所以CAD105°，由正弦定理得，所以CD3，又ACD180°150°30°，所以SACDAC·CD·sinACD×2×(3)×.考點(diǎn)3判斷三角形的形狀判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀(2)化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定B由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A，ABC為直角三角形在判斷三角形的形狀時(shí)，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)提取公因式，以免漏解在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，則ABC的形狀是()A直角三角形B等腰非等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形C因?yàn)?，所?所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因?yàn)锳(0，)，所以A.所以ABC是等邊三角形