3.2 一般形式的柯西不等式預(yù)習(xí)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)及范圍1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式2會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題二、預(yù)習(xí)要點教材整理1三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3R，則(aaa)(bbb).當(dāng)且僅當(dāng) 或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2,3)時，等號成立我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb) .當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個數(shù)k，使得ai (i1,2，n)時，等號成立三、預(yù)習(xí)檢測1.已知x，y，zR且xyz1，則x2y2z2的最小值是()A1B.C.D22.已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2 C3 D.43設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值為_.探究案一、合作探究題型一、利用柯西不等式求最值例1已知a，b，c(0，)，2，求a2b3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值【精彩點撥】由于2，可考慮把已知條件與待求式子結(jié)合起來，利用柯西不等式求解再練一題1已知x4y9z1，求x2y2z2的最小值題型二、運用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍例2已知正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍【精彩點撥】“恒成立”問題需求的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值再練一題2已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，試求a的取值范圍.題型三、利用柯西不等式證明不等式例3已知a，b，cR，求證：9.【精彩點撥】對應(yīng)三維形式的柯西不等式，a1，a2，a3，b1，b2，b3，而a1b1a2b2a3b31，因而得證再練一題3已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.二、隨堂檢測1設(shè)a(2,1,2)，|b|6，則ab的最小值為()A18B6C18D.122若aaa1，bbb4，則a1b1a2b2anbn的取值范圍是()A(，2) B2,2C(，2D.1,13設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則 的最小值為_參考答案預(yù)習(xí)檢測：1.【解析】根據(jù)柯西不等式，x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2.【答案】B2.【解析】(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，當(dāng)且僅當(dāng)1時取等號，a1x1a2x2anxn的最大值是1.【答案】A3.【解析】由a，b，c為正數(shù)，(abc)()2()2()22121，當(dāng)且僅當(dāng)k(k>0)時等號成立故(abc)的最小值是121.【答案】121隨堂檢測：1.【解析】|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，當(dāng)a，b反向時，ab最小，最小值為18.【答案】C2.【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，|a1b1a2b2anbn|2，即2a1b1a2b2anbn2，當(dāng)且僅當(dāng)aibi(i1,2，n)時，右邊等號成立；當(dāng)且僅當(dāng)aibi(i1,2，n)時，左邊等號成立，故選B.【答案】B3.【解析】根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.【答案】