四直角三角形的射影定理學習目標1.通過實踐，結(jié)合生活中的實例，理解點在直線上的正射影，線段在直線上的正射影的概念.2.理解射影定理，能應(yīng)用定理解決相關(guān)的幾何問題.知識鏈接已知：如圖，ACB90，CDAB于D.(1)圖中有幾條線段？(2)圖中有幾對相似三角形？可寫出幾組比例式？(3)有幾個帶有比例中項的比例式？由上可得到哪些等積式？提示(1)6條，分別記為AB，AC，BC，CD，AD，BD.(2)由圖中ACDCBDABC，可分別寫出三組比例式：；.(3)只有三個比例中項的表達式：，.可得到等積式：CD2ADBD，BC2BDBA，AC2ADAB.預習導引1.射影從一點向一直線所引垂線的垂足，叫作這個點在這條直線上的正射影.一條線段的兩個端點在一條直線上的正射影之間的線段，叫作這條線段在這條直線上的正射影.點和線段的正射影簡稱為射影.2.射影定理文字語言直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項；兩條直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項符號語言在RtABC中，ACCB，CDAB于D，則CD2BDAD；AC2ADAB；BC2BDBA圖形語言作用確定成比例的線段要點一射影的概念例1如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，BCD60，AD1，AB2.求：(1)線段AD在直線BC上的射影長；(2)線段DC在直線BC上的射影長；(3)線段BC在直線DC上的射影長.解(1)過D作DD1BC于D1，則BD1就是線段AD在直線BC上的射影，如圖所示，四邊形ABD1D為矩形，BD1AD1，線段AD在直線BC上的射影長為1.(2)由(1)的作圖知，D1C即為線段DC在直線BC上的射影.DD1AB2，DCB60，D1C.線段DC在直線BC上的射影長為.(3)過B作BB1DC于B1，則B1C就是線段BC在直線DC上的射影，如圖所示.BCBD1D1C1，B1CBCcos 60.線段BC在直線DC上的射影長為.規(guī)律方法(1)射影實質(zhì)上就是平行投影.(2)當線段AB所在直線與直線l平行時，設(shè)其在l上的射影為A1B1，則有ABA1B1，如圖(1)所示 ；當線段AB所在直線與直線l不平行且不垂直時，設(shè)其在l上的射影為A1B1，則有AB>A1B1，如圖(2)所示；當線段AB與直線l垂直時，線段AB在l上的射影是一個點A1，如圖(3)所示.跟蹤演練1如圖所示，ADBC，EFBC，指出點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G和線段AB，AC，AF，F(xiàn)G在直線BC上的射影.解由ADBC，EFBC知：A在BC上的射影是D；B在BC上的射影是B；C在BC上的射影是C；E，F(xiàn)，G在BC上的射影都是E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射影是DE，F(xiàn)G在BC上的射影是點E.要點二與射影定理有關(guān)的計算問題例2如圖，D為ABC中BC邊上的一點，CADB，若AD6，AB10，BD8，求CD的長.解在ABD中，AD6，AB10，BD8，滿足AB2AD2BD2，ADB90，即ADBC.又CADB，且CCAD90，CB90.BAC90.在RtBAC中，ADBC，由射影定理可知，AD2BDCD，628CD，CD.規(guī)律方法(1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂線等，這是在直角三角形中應(yīng)用射影定理必需的條件.(2)運用射影定理進行相關(guān)計算時，常常還要與直角三角形的其他性質(zhì)相結(jié)合，如三角函數(shù)、面積公式、勾股定理等.跟蹤演練2如圖所示，ABC中，ABm，ABACB123，CDAB于D.求BD，CD的長.解設(shè)Ax，B2x，ACB3x，由ABACB180，得x2x3x180，x30.A30，B60，ACB90.ABm，BCm.又CDAB，BC2BDAB，即BDm，BDm.ADABBDmmm.由CD2ADBDmmm2，得CDm.BDm，CDm.要點三與射影定理有關(guān)的證明問題例3如圖，已知在矩形ABCD中，ABBC56，點E在BC上，點F在CD上，ECBC，F(xiàn)CCD，F(xiàn)GAE于點G.求證：AG4GE.證明ABBC56，設(shè)AB5k，BC6k(k>0).在矩形ABCD中，有CDAB5k，BCAD6k，BCD90.ECBC，EC6kk.BE5k.FCCD，F(xiàn)C5k3k.DFCDFC2k.在RtADF中，由勾股定理得AF2AD2DF236k24k240k2，同理可得AE250k2，EF210k2.AF2EF240k210k250k2AE2.AEF是直角三角形.FGAE，由直角三角形的射影定理，得EF2GEAE.AE5k，GEk.4GE4k.又AGAEGE5kk4k，AG4GE.規(guī)律方法判斷兩線段的數(shù)量關(guān)系時，可設(shè)變量使之能表示線段，在直角三角形中，一般考慮利用射影定理或勾股定理來做.跟蹤演練3如圖所示，BD，CE是ABC的兩條高，過點D的直線分別交BC和BA的延長線于G，H兩點，交CE于F，且HBCF.求證：GD2GFGH.證明HBCE，HBG是BCE與BHG的公共角，BCEBHG.又CEBH，BECBGH90，即HGBC.又BDAC，在RtBDC中，DG是斜邊BC上的高，由射影定理得GD2BGCG.又FGCBGH90，HFCG，F(xiàn)CGBHG，.即BGCGFGGH.由可得GD2GFGH.1.(1)點在直線上的射影就是由點向直線引垂線，垂足即為射影；(2)線段在直線上的射影就是由線段的兩端點向直線引垂線，兩垂足間的線段就是所求射影.2.應(yīng)用射影定理有兩個條件：一是直角三角形；二是斜邊上的高.應(yīng)用射影定理可求直角三角形的邊長、面積等有關(guān)量，還可研究相似問題、比例式等問題.3.直角三角形射影定理的逆定理如果一個三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的比例中項，那么這個三角形是直角三角形.1.在直角三角形ABC中，斜邊AB5 cm，BC2 cm，D為AC上一點，DEAB于點E，且AD3.2 cm，則DE等于()A.1.24 cm B.1.26 cmC.1.28 cm D.1.3 cm解析由已知ADEABC，DE1.28.答案C2.如圖所示，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，在圖中的六條線段中，你認為只要知道幾條線段的長，就可以求出其他線段的長()A.1 B.2C.3 D.4解析圖中所有三角形都是直角三角形，由勾股定理，射影定理，可知只需知道兩條線段的長，就可以求出其他線段的長.答案B3.如圖所示，在矩形ABCD中，DEAC于E，ADECDE，則EDB_.解析由已知ADEDBA，ADEABDBDC，且ADECDE，EDBADC45.答案454.已知線段a，b(a<b)，求作：線段a，b的比例中項c.解如圖所示.(1)作ABb；(2)在AB上截取ADa；(3)過D作DHAB；(4)以AB為直徑畫半圓交DH于C，連接AC，BC.則AC即為a，b的比例中項c.一、基礎(chǔ)達標1.如圖所示，在RtMNP中，MNMP，MQPN于點Q，NQ3，則MN等于()A.3PNB.PNC.D.9PN解析MNMP，MQPN，MN2NQPN，又NQ3，MN.答案C2.在RtABC中，BAC90，ADBC于點D，若，則()A.B.C.D.解析如圖，由射影定理得AC2CDBC，AB2BDBC，即，.答案C3.如圖所示，ACB90，CDAB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則()A.CECBADDBB.CECBADABC.ADABCD2D.CEEBCD2解析在直角三角形ABC中，根據(jù)直角三角形射影定理可得CD2ADDB，再根據(jù)切割線定理可得CD2CECB，所以CECBADDB，故選A.答案A4.已知在RtABC中，CD是斜邊上的高，若ADp，BDq，則tan A的值是()A.pqB.qC.pD.解析由已知可利用射影定理得：CD，在RtACD中tan A.答案C5.如圖，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足為E，則ED_.解析ABBC，BEAC，AC2，由射影定理得：BC2CEAC，CE.又在RtBEC中，cosBCE，BCE30，ECD60，由余弦定理可求DE2.DE.答案6.如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，DE是RtBCD斜邊BC上的高，若BE6，CE2，求AD的長.解CDAB，即CDB90，DEBC.由射影定理可知：DE2CEBE12，DE2，CD2CEBC16，CD4，BD2BEBC48，BD4，在RtABC中，由射影定理可得：CD2ADBD，AD.二、能力提升7.如圖所示，在ABC中，CDAB，BDABAC，則BAC等于()A.60 B.30C.45 D.75解析BDABAC，ABBDACAD，又CDAB，CDA90，在RtADC中，由ADAC，則BAC60.答案A8.如圖，已知RtABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則BD_.解析如圖，依題意有AB5(cm)，連接CD，則CDAB，所以BC2BDAB，所以BD(cm).答案9.在ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23，則ACD與CBD的面積比為_.解析由已知可設(shè)AD2x，則BD3x，ACB90，CDAB，由射影定理得：CD2ADBD6x2，CDx，SACDSCBD.答案10.如圖所示，在ABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E.求證：(1)ABACADBC；(2)AD3BCBECF；(3).證明(1)在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD，ABACBCAD.(2)在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2BEAB.同理，在RtADC中，DFAC，CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在RtABC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BD2DC2，即AD4BEABCFAC.由(1)知ABACBCAD，AD4BECFBCAD，AD3BECFBC.(3)由射影定理得BD2BEAB，BE.又CD2CFAC，CF，由得.又AB2BDBC，BD，同理，AC2CDBC，CD，.將代入得，即.11.如圖，在ABC中，D，F(xiàn)分別在AC，BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC.解在ABC中，設(shè)AC為x，ABAC，AFBC.又FC1，根據(jù)射影定理，得AC2FCBC，即BCx2.再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，即AF2x21，AF.在BDC中，過D作DEBC于E.BDDC1，BEECx2.又AFBC，DEAF，DE.在RtDEC中，DE2EC2DC2，即12，1.整理得x64，x，即AC.三、探究與創(chuàng)新12.在RtABC中，ACB90，CDAB于D，SSABCSADC.求證：BDAC.證明如圖，SSABCSADC，即，即，BD2ABAD.由射影定理，得AC2ADAB，AC2BD2，即ACBD.