2.3 二維形式的柯西不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義2通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題 一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。二、合作探究探究1在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號的條件可以寫成嗎？探究2用柯西不等式求最值時的關(guān)鍵是什么？名師點撥：1.二維形式的柯西不等式(1)定理1：不等式中等號成立的條件是adbc.這時我們稱(a，b)，(c，d)成比例如果c0，d0，那么adbc，若cd0，我們分情況說明：cd0，原不等式兩邊都為0，顯然成立；當(dāng)c0，d0時，原不等式化為(a2b2)d2b2d2，是顯然成立的；當(dāng)c0，d0時，道理和一樣，也是成立的所以當(dāng)cd0時，不等式也成立(2)由二維形式的柯西不等式推導(dǎo)出兩個非常有用的不等式：對于任何實數(shù)a，b，c，d，以下不等式成立：|acbd|；|ac|bd|.2對二維柯西不等式的認(rèn)識二維柯西不等式與中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)、幾何、三角等各方面都有聯(lián)系，熟悉這些聯(lián)系能更本質(zhì)的把握不等式，并更自覺地應(yīng)用它(1)由代數(shù)恒等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2，把非負(fù)數(shù)(adbc)2舍去，易得不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(2)如圖，平面內(nèi)點B(c，d)到直線axby0的距離BH不大于線段OB的長，因此有.即(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(3)如圖所示，構(gòu)造AOB，點A(a，b)，B(c，d)，在AOB中應(yīng)用余弦定理可得，cosAOB .|cosAOB|1，(acbd)2(a2b2)(c2d2)3巧用柯西不等式求最值應(yīng)用柯西不等式可以簡便解答某些含有約束條件的多元變量的最值問題解答此類題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)或兩個向量，使之符合柯西不等式的形式【例1】求證：.【變式訓(xùn)練1】已知a1，a2，b1，b2為正實數(shù)，求證：(a1b1a2b2)(a1a2)2.【例2】設(shè)x>0，y>0，且xy2，求的最小值【變式訓(xùn)練2】求函數(shù)y3的最大值【例3】已知x>0，y>0，且ab1，求證：(axby)2ax2by2.【變式訓(xùn)練3】設(shè)a>0，b>0，且ab1，求證：. 參考答案探究1提示不可以當(dāng)bd0時，柯西不等式成立，但不成立探究2 提示利用柯西不等式求最值問題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個常數(shù)，并尋求不等式等號成立的條件.【例1】【證明】()2(xx)(yy)2，由柯西不等式，得(xx)(yy)(x1y2x2y1)2，其中當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y1時，等號成立x1y1x2y2.()2(xx)(yy)2(x1y1x2y2)(x1y1)2(x2y2)2.其中等號當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y1時成立【變式訓(xùn)練1】證明(a1b1a2b2)2(a1a2)2.【例2】【解】xy2，根據(jù)柯西不等式，有(2x)(2y)()2()2 2(xy)24，2.當(dāng)且僅當(dāng)，即xy1時，等號成立當(dāng)xy1時，有最小值2.【變式訓(xùn)練2】解由題可知函數(shù)的定義域滿足即x1,5，令(3，)，(，)而y33|2.當(dāng)且僅當(dāng)3，即x時，取等號所以y的最大值為2.【例3】證明設(shè)m(x，y)，n(，)，則|axby|mn|m|n|，(axby)2ax2by2.【變式訓(xùn)練3】證明令，(，1)，則|.而| ，又|，|.由|，得.