雙曲線一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是( )A. (-1,3) B. (-1,3) C. (0,3) D. (0,3)（正確答案）A解：雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，c=2，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，可得：4=(m2+n)+(3m2-n)，解得：m2=1，方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，(m2+n)(3m2-n)>0，可得：(n+1)(3-n)>0，解得：-1<n<3，即n的取值范圍是：(-1,3)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，可得：-4=(m2+n)+(3m2-n)，解得：m2=-1，無解故選：A由已知可得c=2，利用4=(m2+n)+(3m2-n)，解得m2=1，又(m2+n)(3m2-n)>0，從而可求n的取值范圍本題主要考查了雙曲線方程的應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題2. 若雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2，則C的離心率為( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 233（正確答案）A解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線不妨設(shè)為：bx+ay=0，圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)，半徑為：2，雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2，可得圓心到直線的距離為：22-12=3=|2b|a2+b2，解得：4c2-4a2c2=3，可得e2=4，即e=2故選：A通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力3. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=52x，且與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為( )A. x28-y210=1 B. x24-y25=1 C. x25-y24=1 D. x24-y23=1（正確答案）B【分析】本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計(jì)算能力根據(jù)橢圓x212+y23=1得c=3，根據(jù)漸近線方程為y=52x，ba=52，結(jié)合c2=a2+b2，求得a，b，即可得到C的方程。【解答】解：橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(3,0)，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，可得c=3，雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=52x，可得ba=52，即c2-a2a2=54，可得ca=32，解得a=2，b=5，所求的雙曲線方程為：x24-y25=1故選B4. 已知雙曲線x2a2-y25=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于( )A. 5 B. 3 C. 5 D. 42（正確答案）A解：拋物線y2=12x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，依題意，5+a2=9，a2=4雙曲線的方程為：x24-y25=1，其漸近線方程為：y=52x，雙曲線的一個焦點(diǎn)F(3,0)到其漸近線的距離等于d=|53-0|5+4=5故選A由雙曲線x2a2-y25=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，先求出a2，再求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，由此能求出結(jié)果本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，求得a2的值是關(guān)鍵，考查點(diǎn)到直線間的距離公式，屬于中檔題5. 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，則雙曲線的離心率是( )A. 5-1 B. 3+52 C. 5+12 D. 3+1（正確答案）C解：由題意可得A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,-b)，F(xiàn)1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的邊長為b2+c2，由以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，C，D由面積相等，可得122b2c=12a4b2+c2，即為b2c2=a2(b2+c2)，即有c4+a4-3a2c2=0，由e=ca，可得e4-3e2+1=0，解得e2=352，可得e=1+52，或e=5-12(舍去)故選：A由題意可得頂點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)及焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得菱形的邊長，運(yùn)用等積法可得122b2c=12a4b2+c2，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用圓內(nèi)切等積法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題6. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=34x，且其右焦點(diǎn)為(5,0)，則雙曲線C的方程為( )A. x29-y216=1 B. x216-y29=1 C. x23-y24=1 D. x24-y23=1（正確答案）B解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=34x，可得ba=34；其右焦點(diǎn)為(5,0)，可得c=5，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，則雙曲線C的方程為：x216-y29=1故選：B利用已知條件列出方程，求解即可本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題7. 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1=13，則E的離心率為( )A. 2 B. 32 C. 3 D. 2（正確答案）A解：設(shè)|MF1|=x，則|MF2|=2a+x，MF1與x軸垂直，(2a+x)2=x2+4c2，x=b2a sinMF2F1=13，3x=2a+x，x=a，b2a=a，a=b，c=2a，e=ca=2故選：A設(shè)|MF1|=x，則|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=b2a，利用sinMF2F1=13，求得x=a，可得b2a=a，求出a=b，即可得出結(jié)論本題考查雙曲線的定義與方程，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)8. 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1=13，則E的離心率為( )A. 2 B. 32 C. 3 D. 2（正確答案）D【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的勾股定理，結(jié)合雙曲線離心率的定義是解決本題的關(guān)鍵【解答】解：MF1與x軸垂直，sinMF2F1=13，設(shè)MF1=m，則MF2=3m，由雙曲線的定義得3m-m=2a，即m=a，在直角三角形MF2F1中，9m2-m2=4c2，即2m2=c2，即2a2=c2，則e=2，故選D9. 設(shè)雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3，則其漸近線的方程為( )A. x22y=0 B. 22xy=0 C. x8y=0 D. 8xy=0（正確答案）A解：雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3，可得ca=3，則ab=122雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3，則其漸近線的方程為：x22y=0故選：A利用雙曲線的離心率，這求出a，b的關(guān)系式，然后求漸近線方程本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力10. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，且|PF2|=|F1F2|.若直線PF1與圓x2+y2=a2相切，則雙曲線的離心率為( )A. 43 B. 53 C. 2 D. 3（正確答案）B解：解：設(shè)PF1與圓相切于點(diǎn)M，因?yàn)閨PF2|=|F1F2|，所以PF1F2為等腰三角形，N為PF1的中點(diǎn)，所以|F1M|=14|PF1|，又因?yàn)樵谥苯荈1MO中，|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1M|=b=14|PF1| 又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ，c2=a2+b2 由可得c2-a2=(c+a2)2，即為4(c-a)=c+a，即3c=5a，解得e=ca=53故選：B先設(shè)PF1與圓相切于點(diǎn)M，利用|PF2|=|F1F2|，及直線PF1與圓x2+y2=a2相切，可得幾何量之間的關(guān)系，從而可求雙曲線的離心率的值本題考查直線與圓相切，考查雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題11. 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，且其準(zhǔn)線被該雙曲線截得的弦長是23b，則該雙曲線的離心率為( )A. 139 B. 109 C. 133 D. 103（正確答案）D解：由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)F(c,0)，準(zhǔn)線x=-c，將x=-c代入雙曲線方程，解得：y=b2a，則準(zhǔn)線被該雙曲線截得的弦長為2b2a，2b2a=23b，a=3b，雙曲線的離心率e=ca=1+b2a2=103，則雙曲線的離心率e=103，故選D由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)F(c,0)，準(zhǔn)線x=-c，將x=-c代入雙曲線方程，解得：y=b2a，即可求得2b2a=23b，a=3b，利用雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，主要是離心率公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12. 設(shè)雙曲線x2m+y2n=1的離心率為233，且一個焦點(diǎn)與拋物線x2=8y的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程是( )A. y23-x2=1 B. x24-y212=1 C. y2-x23=1 D. x212-y24=1（正確答案）A解：根據(jù)題意，拋物線的方程為x2=8y，則其焦點(diǎn)為(0,2)，又由雙曲線x2m+y2n=1的一個焦點(diǎn)與拋物線x2=8y的焦點(diǎn)相同，則有m<0而n>0，且c=2；雙曲線x2m+y2n=1的離心率為233，則有e=ca=2n=233，解可得n=3，又由c2=n+(-m)=4；則m=-1；故雙曲線的方程為：y23-x2=1；故選：A根據(jù)題意，由拋物線的方程計(jì)算可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意可得雙曲線x2m+y2n=1中有c=2，結(jié)合離心率公式可得e=ca=2n=233，解可得n的值，由雙曲線的幾何性質(zhì)計(jì)算可得m的值，將m、n的值代入雙曲線的方程即可得答案本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意分析雙曲線焦點(diǎn)的位置二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若MAN=60，則C的離心率為_ （正確答案）233解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0)，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)若MAN=60，可得A到漸近線bx+ay=0的距離為：bcos30=32b，可得：|ab|a2+b2=32b，即ac=32，可得離心率為：e=233故答案為：233利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解A到漸近線的距離，推出a，c的關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率即可本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力14. 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-2)2+y2=1相切，則此雙曲線的離心率為_（正確答案）2【分析】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的漸近線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.求出雙曲線的漸近線方程，利用漸近線與圓相切，得到a、b關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率【解答】解：由題意可知雙曲線的漸近線方程之一為：bx+ay=0，圓(x-2)2+y2=1的圓心(2,0)，半徑為1，雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-2)2+y2=1相切，可得：2bb2+a2=1，可得a2=b2，c=2a，e=2故答案為215. 雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn)到漸近線的距離是其到左頂點(diǎn)距離的一半，則雙曲線的離心率e=_（正確答案）53解：雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn)為(c,0)，左頂點(diǎn)為(-a,0)，右焦點(diǎn)到雙曲線漸近線bx-ay=0的距離為：|bc|a2+b2=bcc=b，右焦點(diǎn)(c,0)到左頂點(diǎn)為(-a,0)的距離為：a+c，由題意可得，b=12(a+c)，即有4b2=a2+c2+2ac，即4(c2-a2)=a2+c2+2ac，即3c2-5a2-2ac=0，由e=ca，則有3e2-2e-5=0，解得，e=53故答案為：53求出雙曲線的左頂點(diǎn)以及右焦點(diǎn)，以及漸近線方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，列出a、b、c關(guān)系式，然后由離心率公式即可計(jì)算得到本題考查雙曲線的離心率的求法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題16. 已知雙曲線x2m+2-y2m+1=1的離心率為72，則m=_（正確答案）2或-5解：雙曲線x2m+2-y2m+1=1，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，雙曲線x2m+2-y2m+1=1的離心率為72，ca=72，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，雙曲線x2m+2-y2m+1=1的離心率為72，ca=72，可得-3-2m-1-m=74，即12+8m=7m+7，可得m=-5故答案為：2或-5直接利用雙曲線的方程，求出a，b，c利用離心率求解即可本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 已知雙曲線C：x2-y2=1及直線l：y=kx+1(1)若l與C有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求AB的長（正確答案）解：(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點(diǎn)，則方程組y=kx+1x2-y2=1有兩個不同的實(shí)數(shù)根，(1分) 整理得(1-k2)x2-2kx-2=0.(2分) =4k2+8(1-k2)>01-k20，解得-2<k<2且k1.(5分) 雙曲線C與直線l有兩個不同交點(diǎn)時，k的取值范圍是(-2,-1)(-1,1)(1,2).(6分) (2)設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)得x1+x2=2k1-k2=22，即2k2+k-2=0，解得：k=22或k=-2-2<k<2且k1.k=22(9分) =-4k2+8=6|AB|=(1+k2)1-k2=6(12分)(1)聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用方程組與兩個交點(diǎn)，求出k的范圍(2)設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韋達(dá)定理以及弦長公式區(qū)間即可本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力18. 已知雙曲線C以F1(-2,0)、F2(2,0)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P(7,12)(1)求雙曲線C與其漸近線的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求直線l的方程（正確答案）解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，半焦距為c，則c=2，2a=|PF1|-|PF2|=|92+122-52+122|=2，a=1，所以b2=c2-a2=3，故雙曲線C的方程為x2-y23=1. 雙曲線C的漸近線方程為y=3x. (2)設(shè)直線l的方程為y=x+t，將其代入方程x2-y23=1，可得2x2-2tx-t2-3=0(*) =4t2+8(t2+3)=12t2+24>0，若設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1，x2是方程(*)的兩個根，所以x1+x2=t,x1x2=-t2+32，又由OAOB，可知x1x2+y1y2=0，即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0，可得2x1x2+t(x1+x2)+t2=0，故-(t2+3)+t2+t2=0，解得t=3，所以直線l方程為y=x3. (1)設(shè)出雙曲線C方程，利用已知條件求出c，a，解得b，即可求出雙曲線方程與漸近線的方程；(2)設(shè)直線l的方程為y=x+t，將其代入方程x2-y23=1，通過>0，求出t的范圍，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韋達(dá)定理，通過x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直線方程本題考查雙曲線的方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力19. 雙曲線與橢圓x227+y236=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(15,4)，求其方程（正確答案）解：橢圓y236+x227=1的焦點(diǎn)為(0,3)，c=3，設(shè)雙曲線方程為y2a2-x29-a2=1，過點(diǎn)(15,4)，則16a2-159-a2=1，得a2=4或36，而a2<9，a2=4，雙曲線方程為y24-x25=1根據(jù)已知中雙曲線與橢圓x227+y236=1有相同焦點(diǎn)，我們可以設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(含參數(shù)a)，然后根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)(15,4)，得到一個關(guān)于a的方程，解方程，即可得到a2的值，進(jìn)而得到雙曲線的方程本題考查的知識點(diǎn)是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中根據(jù)已知條件設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(含參數(shù)a)，并構(gòu)造一個關(guān)于a的方程，是解答本題的關(guān)鍵