工程力學課件 第四章 平面一般力系前面研究了平面匯交力系和平面力偶系的合成與平衡問題。本章將在此基礎上，研究平面一般力系的簡化與平衡問題。本章重點：1、力線平移定理2、平面一般力系的簡化3、平面一般力系的平衡方程4、平面桁架內(nèi)力的計算方法如果作用在物體上諸力的作用線都分布在同一平面內(nèi)，既不匯交于同一點，也不完全平行，這種力系稱為平面一般平面一般力系力系(簡稱平面力系簡稱平面力系)。工程力學課件 4-1 工程中的平面一般力系問題如圖所示的房架和懸臂吊車的橫梁其上所受的力都在同一平面上，所以都是平面一般力系的問題房架懸臂吊車工程力學課件 如物體結構所承受的載荷和支承都具有同一個對稱面，則作用在物體上的力系就可以簡化為在對稱平面內(nèi)的平面力系。例如高爐上料車的受力情況。平面一般力系是工程上最常見的力系。很多實際問題都可簡化成為平面一般力系問題來處理。因此，研究平面力系就顯得非常重要。工程力學課件 4-2 力線平移定理力線平移定理是平面力系向一點簡化的依據(jù)，在本節(jié)中首先介紹這個定理。 定理定理：作用在剛體上的力作用在剛體上的力F可以平行移動到剛體內(nèi)任一點，可以平行移動到剛體內(nèi)任一點，但必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原力但必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原力F對平移點之矩對平移點之矩。 )(FMMBdFMdFFMB)(證明：工程力學課件 力線平移定理不僅是力系簡化的依據(jù)，而且也是分析力對物體作用效應的一個重要方法。例如，如圖所示的轉(zhuǎn)軸上大齒輪受到圓周力F的作用。為了觀察力F對轉(zhuǎn)軸的效應，需將力F向軸心O點平移。根據(jù)力線平移定理，力F平移到軸心O點時，要附加一個力偶。設齒輪的節(jié)圓半徑為r，則附加力偶矩為rFM由此可見，力F對轉(zhuǎn)軸的作用，相當于在軸上作用一個水平力F和一個力偶。這力偶作用在垂直于軸線的平面內(nèi)，它與軸端輸入的力偶使軸產(chǎn)生“扭轉(zhuǎn)”，而力F則使軸產(chǎn)生“彎曲”。工程力學課件 4-3 平面一般力系向一點簡化 主矢與主矩研究平面一般力系的簡化時，可以連續(xù)應用力的平行四邊形法則，將力依次合成。但是應用這種方法，極為繁瑣，實際意義不大。為此，采用另一種方法，即根據(jù)力線平移定理，將力系向某點簡化。這個方法的實質(zhì)在于將一個平面力系分解為兩個力系：平面匯交力系和平面力偶系。然后，再將這兩個力系進行合成。)(1111FMdFMO)(2222FMdFMO)(nOnnnFMdFM工程力學課件 合力的作用點通過O，其矢量為合力偶的力偶矩MO為矢量FR稱為原力系的主矢主矢。它是原力系各力的矢量和。 FFFFFFFFnnR2121niiOnOOOnOFMFMFMFMMMMM12121)()()()(MO稱為原力系的主矩主矩。 它等于原力系中各力對O點之矩的代數(shù)和 工程力學課件 綜上所述，可得出如下結論：平面力系向作用面內(nèi)任一點平面力系向作用面內(nèi)任一點O簡化（該點稱為簡化中心），可得一個力和一個力偶。這個簡化（該點稱為簡化中心），可得一個力和一個力偶。這個力作用于簡化中心，其矢量等于該力系的主矢：力作用于簡化中心，其矢量等于該力系的主矢：FFR這個力偶矩等于該力系對這個力偶矩等于該力系對O點的主矩：點的主矩：niiOOFMM1)( 應該注意，力系的主矢FR只是原力系中各力的矢量和，所以它與簡化中心的選擇無關。而力系對于簡化中心的主矩MO顯然與簡化中心的選擇有關，選擇不同的點為簡化中心時，各力的力臂一般將要改變，因而各力對簡化中心之矩也將隨之改變。工程力學課件 2222)()()()(yxRyRxRFFFFF22)()(cosyxxFFFynyyyRyxnxxxRxFFFFFFFFFF2121主矢的大小主矢的方向 現(xiàn)在討論主矢FR的解析求法。通過O點作直角坐標系oxy(圖c)。根據(jù)合力投影定理，得到:22)()(cosyxyFFF工程力學課件 4-4 簡化結果的分析 合力矩定理若FR=0，Mo0，則原力系簡化為一個力偶，力偶矩等于原力系對于簡化中心的主矩。在這種情況下，簡化結果與簡化中心的選擇無關。這就是說，不論向哪一點簡化都是這個力偶，而且力偶矩保持不變。根據(jù)以上所述，平面力系向一點簡化，可得一個主矢FR和一個主矩Mo若FR 0，Mo=0，則FR即為原力系的合力FR，通過簡化中心。 若FR 0，Mo0，則力系仍然可以簡化為一個合力FR。合力FR等于原力系的主矢FR，合力FR 的作用線位置離O點的距離d=Mo/FR=Mo/FR,至于合力的作用線在O點的那一側(cè)，則由主矩Mo的符號決定。工程力學課件 合力矩定理合力矩定理 當平面力系可以合成為一個合力時，則其合力對于作用面內(nèi)任一點之矩，等于力系中各分力對于同一點之矩的代數(shù)和。證明 由圖c易見，合力FR對O點之矩為dFFMRRO)(dFF，F(xiàn)MMRRROO)(由圖b可見：OROMFM)(故)(FMMOO因為所以)()(FMFMORO由于簡化中心O是任選的，因此上述定理適用于任一力矩中心。利用這一定理可以求出合力作用線的位置，以及用分力矩來計算合力矩等。工程力學課件 例4-l 水平梁AB受三角形分布載荷的作用如圖，分布載荷的最大值為q(N/m)，梁長l。試求合力的大小及其作用線位置。解：本題屬于平面內(nèi)同向平行力的合成問題，其合力F的方向與諸分力相同。取梁的A端為原點，在x處取微分小段dx，作用在此段的分布力為以qx，根據(jù)幾何關系有在dx長度上的合力的大小為qxdx。故此分布力合力F的大小，可用以下積分求出：qlxqx220200qlxlqxdxlqdxqFlllx工程力學課件 作用在微分小段dx上的合力對A點的力矩為xqxdx。全部分布力對A點之矩的代數(shù)和可用如下積分求出：2qlF 332030200qlxlqdxxlqxdxxlqxdxqllllx32qlxFC根據(jù)合力矩定理得故lFqlxC3232由此可知：(1)合力F的方向與分布力相同；(2)合力F的大小等于由分布載荷組成的幾何圖形的面積；(3)合力F的作用線通過由分布載荷組成的幾何圖形的形狀中心(即形心)。工程力學課件 例4-2 作用在物體上的力系如圖a所示。已知F1=1kN，F(xiàn)2=1kN，F(xiàn)3=2 kN，M=4 kNm，=30，圖中長度單位為m。試求力系向O點簡化的初步結果以及力系最終簡化結果。 解：本題屬于平面一般力系簡化問題(1)先求力系向O點簡化的初步結果：kNFFFx73. 2cos032kNFFFy2sin031kNFFFyxR39. 3)()(22主矢的大小805. 039. 373. 2cosRxFF主矢的方向590. 039. 32cosRyFF36.36工程力學課件 mkNmkNmkNmkNmkNMmFmFmFFMMOO242122311130sin231)(321主矩Mo為(2)再求力系最終簡化結果:由于主矢FR0，Mo0，故力系最終簡化結果為一合力FR，F(xiàn)R的大小和方向與主矢FR相同。合力FR的作用線距O點的距離為dmkNmkNFMdRO59. 039. 32Mo為正值，表示主矩繞O點逆時針轉(zhuǎn)動，合力FR的作用線如圖c所示。工程力學課件 4-5 平面一般力系的平衡條件與平衡方程由平面一般力系的簡化結果可以看出，當主矢FR和主矩 MO中任一個不等于零時，力系是不平衡的。因此，要使平面力系平衡，就必有FR=0， MO=0。反之，若FR=0， MO=0，則力系必須平衡。所以物體在平面一般力系作用下物體在平面一般力系作用下平衡的必要和充平衡的必要和充分條件是力系的主矢分條件是力系的主矢F FR R=0=0和力系對任一點和力系對任一點O O的主矩的主矩 MO=0=0。即0)(00FMoFFyx00)()(22(F)MMFFFFooyxR上式是平面一般力系平衡的解析條件，稱為平面一般力系平面一般力系的平衡方程的平衡方程，它是平衡方程的基本形式。在應用平衡方程解平衡問題時，為了使計算簡化，通常將矩心選在兩個未知力的交點上，而坐標軸則盡可能與該力系中多數(shù)未知力的作用線垂直。工程力學課件 例4-3 水平外伸梁如圖a所示。若均布載荷q=20kN/m，F(xiàn)1=20kN，力偶矩M=16 kNm，a=0.8 m，求A、B點的約束反力。解：(1)選梁為研究對象，畫出受力圖(圖b)。作用于梁上的力有F1、均布載荷q的合力F2(F2=qa，作用在分布載荷區(qū)段的中點)、矩為M的力偶和支座反力FAx、FAy及FB。顯然它們是一個平面力系。取坐標軸如圖b所示。(2)列平面一般力系平衡方程0, 0AxxFF0, 01BAyyFFqaFF022, 0)(1MaFaqaaFFMBAkNFB12kNFAy240AxF解方程得：工程力學課件 例4-4 懸臂吊車如圖a所示。橫梁AB長l=2.5m，重量P=1.2kN。拉桿CB傾斜角=30，質(zhì)量不計。載荷F=7.5kN。求圖示位置a=2 m時，拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。 解：(1)選橫梁AB為研究對象。(2)畫受力圖 (3)列平衡方程，求未知量 選坐標系如圖b所示，運用平面力系的平衡方程，得：0cos, 0TAxxFFF0sin, 0TAyyFFPFF02sin, 0)(FalPlFFMTA解得：kNFT2 .13kNFAx43.11kNFAy1 . 2工程力學課件 本例中如寫出對A、B兩點的力矩方程和對x軸的投影方程，同樣可以求解。即0cos, 0TAxxFFF02sin, 0)(FalPlFFMTA解得：kNFT2 .13kNFAx43.11kNFAy1 . 2(4)分析討論 從上面的計算看出，桿CB所承受的拉力和鉸鏈A的約束反力，是隨載荷的位置不同而改變的，因此應當根據(jù)這些力的最大值來進行設計。0)(2, 0)(alFlPlFFMAyB工程力學課件 同樣，如寫出對A、B、C三點的力矩方程，也可以求解。即02sin, 0)(FalPlFFMTA解得：kNFT2 .13kNFAx43.11kNFAy1 . 20)(2, 0)(alFlPlFFMAyB02tan, 0)(FalPlFFMAxC工程力學課件 由例4-4的求解過程可知，平面一般力系平衡方程除了前面所介紹的基本形式外，還有其他形式，即還有二力矩式二力矩式和三力矩式三力矩式，其形式如下：)0(0yxFF或0)(FMA0)(FMB二力矩形式二力矩形式其中A、B兩點的連線不能與x軸(或y軸)垂直。三力矩形式三力矩形式0)(FMA0)(FMB0)(FMC其中A、B、C三點不能選在同一直線上。 如不滿足上述條件，則所列三個平衡方程，將不都是獨立的。應該注意，不論選用哪一組形式的平衡方程，對于同一個平面力系來說，最多只能列出三個獨立的方程，因而只能求出三個未知量。工程力學課件 例4-5 高爐上料小車如圖所示。設=60，AB=2400mm ,HC=800 mm，AH=1300mm，P=325kN，鋼絲繩與軌道平行，不計車輪與軌道之間的摩擦，試求上料小車等速運行時鋼絲繩的拉力FT及軌道對車輪的約束反力FA和FB。解：(1)選上料小車為研究對象，畫上料小車的受力圖 (2)選坐標軸如圖所示，列平衡方程0sin, 0PFFTx0cos, 0PFFFBAy0cos, 0)(HCPABFFMBHkNFT282kNFA3 .108kNFB2 .54解得：工程力學課件 例4-6 如圖a所示中的車刀固定在刀架上，已知l=60mm，切削力Fy=18 kN，F(xiàn)x=7.2kN,求固定端A的約束反力。解：(1)首先分析固定端A點的約束情況。所謂固定端約束固定端約束，就是物體受約束的一端既不能向任何方向移動，也不能轉(zhuǎn)動。例如，電線桿插人地面，工件用卡盤夾緊固定，以及車刀固定在刀架上等，這些物體所受的約束都是固定端約束(或插入端約束)。圖b是固定端的簡化表示法。這類約束的約束反力是分布在接觸面上的平面力系，如圖c所示。若將此力系向A點簡化，則得到一個約束反力FA(通常用兩個互相垂直的分力FAx、FAy表示)和一個反力偶矩MA(圖d)。工程力學課件 (2)選AB為研究對象，畫受力圖0, 0AxxxFFF0, 0AyyyFFF0, 0)(AyAMlFFMkNFAx2 . 7kNFAy18mkNMA08. 1(3)選坐標系如圖所示，列平衡方程解得：FAx為負值，表示假設的指向與實際的指向相反。MA為負值，表示假設的轉(zhuǎn)向與實際的轉(zhuǎn)向相反，MA為順時針轉(zhuǎn)向。工程力學課件 4-6 平面平行力系的平衡方程在工程中還經(jīng)常遇到平面平行力系問題。所謂平面平行力所謂平面平行力系，就是各力的作用線都在同一平面內(nèi)且互相平行的力系系，就是各力的作用線都在同一平面內(nèi)且互相平行的力系。平面平行力系是平面一般力系的一種特殊情況。設物體受平面平行力系F1，F(xiàn)1，F(xiàn)n的作用。若取Ox軸與諸力垂直，Oy軸與諸力平行，則不論平面平行力系是否平衡，各力 在 x 軸 上 的 投 影 恒 等 于 零 ，即 ，因此0 xF物體在平面平行力系作用下平衡的必要和充分條件是：力物體在平面平行力系作用下平衡的必要和充分條件是：力系中各力在不與力作用線垂直的坐標軸上投影的代數(shù)和等于零系中各力在不與力作用線垂直的坐標軸上投影的代數(shù)和等于零及各力對任一點之矩的代數(shù)和等于零。及各力對任一點之矩的代數(shù)和等于零。工程力學課件 其中A、B兩點 連線不與諸力的作用線平行0)(0)(FMFMBA平面平行力系的平衡方程也可用兩個力矩方程的形式，即由此可見，平面平行力系只有兩個獨立平衡方程，因此最多只能求出兩個未知量。0)(0FMoFy平面平行力系的平衡方程基本型式為：工程力學課件 例4-7 塔式起重機機架重為P，其作用線離右軌B的距離為e，軌距為b，最大載重P1，離右軌的最大距離為l，平衡配重重力P2的作用線離左軌A的距離為a(圖a)。欲使起重機滿載及空載時均不翻倒，試求平衡配重的重量P2。0)(, 0)(12lPePbFbaPFMAB)(112lPePbaPbFA得解：(1)先研究滿載時的情況。此時，作用于起重機的力有：機架重力P、重物重力P1，平衡配重重力P2，鋼軌反力FA和FB(圖b)。若起重機在滿載時翻倒，將繞B順時針轉(zhuǎn)動，而輪A離開鋼軌，F(xiàn)A為零。若使起重機滿載時不翻倒，必須FA0。因0AF0)(112lPePbaPb故得balPePP12此即滿載時不翻倒的條件。工程力學課件 0)(, 0)(2bFbePaPFMBA得(2)再研究滿載時的情況。此時，作用于起重機的力有：機架重力P、重物重力P1=0，平衡配重重力P2，鋼軌反力FA和FB(圖b)。若起重機在空載時翻倒，將繞A逆時針轉(zhuǎn)動，而輪B離開鋼軌，F(xiàn)B為零。若使起重機空載時不翻倒，必須FB0。因0BF故得此即空載時不翻倒的條件。)(12aPbePbFB0)(12aPbePb)(2beaPP 起重機不翻倒時，平衡配重P2應滿足的條件為：)(21beaPPbalPeP工程力學課件 4-7 靜定與靜不定問題平面匯交力系有兩個獨立平衡方程平面力偶系有一個獨立平衡方程平面任意力系有三個獨立平衡方程00FyFx0)(00FMFyFox0M只能解兩個未知量只能解一個未知量只能解三個未知量平面平行力系有兩個獨立平衡方程只能解兩個未知量0)()0FMFyo因此，對每一種力系來說，能求解的未知量的數(shù)目也是有限制的。工程力學課件 未知量數(shù)目獨立方程數(shù)目時，是靜定問題靜定問題（可求解） 未知量數(shù)目獨立方程數(shù)目時，是靜不定問題靜不定問題（超靜定問題）工程力學課件 注意：注意：靜不定問題并不是不能解決的問題，而只是不能僅用靜力學平衡方程來解決的問題。這是因為靜力學中把物體抽象成為剛體，略去物體的變形。如果考慮到物體受力后的變形，找出其變形與作用力之間的關系，列出補充方程，靜不定問題還是可以解決的。這將在材料力學中去研究。工程中常常增添多余約束，采用靜不定構件，以提高構件承受載荷的能力。工程力學課件 48 物體系的平衡工程結構或機構都是由許多物體通過約束按一定方式連接而成的系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)物體系統(tǒng)。研究物體系統(tǒng)的平衡問題，不僅要研究物體系以外的物體對這個物體系的作用，同時還應分析物體系內(nèi)各物體之間的相互作用。前者屬于系統(tǒng)的外力，后者就是系統(tǒng)的內(nèi)力。在考察整個系統(tǒng)的平衡時，不必計及系統(tǒng)的內(nèi)力。工程力學課件 當整個物體系平衡時，判斷物體系是否靜定的問題，較為復雜。對于每一個物體，可以列出若干個獨立的平衡方程。一般情況下，將物體系中所有單個物體的獨立平衡方程數(shù)相加得到的物體系獨立平衡方程的總數(shù)，當總數(shù)少于物體系未知量的總數(shù)時，屬于靜不定問題，等于物體系未知量總數(shù)時，屬于靜定問題。 由于物體系是由許多物體組成的，因此，解物體系平衡問題時，就有一個選擇研究對象的問題。有時可以取整個系統(tǒng)，有時可以取系統(tǒng)局部，有時可以取其中的單個物體?？傊?，選擇的原則是：先選取運用平衡方程能確定某些未先選取運用平衡方程能確定某些未知量的部分為研究對象。此外，在選擇平衡方程時，應盡可知量的部分為研究對象。此外，在選擇平衡方程時，應盡可能避免解聯(lián)立方程。能避免解聯(lián)立方程。下面舉例說明物體系平衡問題的解法。工程力學課件 例4-8 如圖所示構架，由直角彎桿AEC和直桿CB組成，不計各桿自重，載荷分布及尺寸如圖a所示。試求固定端A的約束反力及反力偶。解：(1)先判斷物體系統(tǒng)是否是靜定系統(tǒng)物體系統(tǒng)具有六個獨立平衡方程及六個未知量，它是靜定系統(tǒng)。(2)恰當?shù)剡x取研究對象若選取整個物體系，它有三個獨立平衡方程，但有四個未知量，不能求出固定端A的全部未知力。為此，先選出桿CB為對象，求出FB，再選取物體系為對象，求出A處反力。 (3)先研究桿CB 桿CB受平面力偶系作用處于平衡，B為輥軸約束，從而確定FB和FC的方向(圖b)。列平面力偶系平衡方程0, 0MaFMBqaaqaaMFB222qaF24522qaM 工程力學課件 qaF24522qaM qaFB2(4)再研究物體系按照例4-1中的分析，分布載荷合力F1方向與分布載荷相同，作用在D點，大小為三角形的面積。qaaqF3)6(211aaAD2)6(31列平面一般力系平衡方程0cos, 01FFFFAxx0sin, 0BAyyFFFF036cossin20)(1ABAMMaFaFaFaF，F(xiàn)MqaFAx2qaFAy23qaMA工程力學課件 例4-9 已知梁AB和BC在B點鉸接，C為固定端(圖a)。若M=20 kNm，q=15 kN/m，試求A、B、C三點的約束反力。解： (1)判斷物體系是否屬于靜定系統(tǒng)梁ABC有六個未知量和六個獨立平衡方程，系統(tǒng)靜定。 (2)恰當?shù)剡x取研究對象如先選整個系統(tǒng)為研究對象，則未知量較多，不易求解。梁AB具有3個獨立平衡方程，可以求出梁AB上的3個未知量(3)先研究梁AB畫出梁AB的受力圖(圖b)，由平面平行力系平衡條件，可以確定FB的方位。0320)(1BAFF，F(xiàn)M0130)(1FF，F(xiàn)MABkNmkNmqBEF30/1521kNFFB20321kNFFA1031列平衡方程工程力學課件 025 . 10)(2 CBCMMF，F(xiàn)FM002CyByFFF，F(xiàn)(4)再研究梁BC畫出梁BC的受力圖，如圖c所示。列平衡方程：kNmkNmqBDF15/1512kNmkNmkNmkNMFFMBC5 .82202205 . 11525 . 12 kNFFFBCy35200Cxx，F(xiàn)F解得：工程力學課件 例4-10 圖a為一井架，它由兩個桁架組成，其間用鉸鏈連接。兩桁架的重心各在C1和C2點，它們的重量各為P1=P2=P0，在左邊桁架上作用著水平的風壓力F。尺寸l、H、h和a均為已知，求鉸鏈A、B、C三點的約束反力。 解：(1)判斷物體系是否屬于靜定系統(tǒng)物體系由兩個物體組成，可列出六個獨立方程，解出A、B、C三處的約束反力。因此，物體系是靜定的。 (2)恰當?shù)剡x取研究對象物體系外約束力共4個，可先選整個系統(tǒng)為研究對象，求出部分未知量。0)(0)(21lFalPaPhF，F(xiàn)MByA0)(0)(21lFaPalPhF，F(xiàn)MAyB00FF，F(xiàn)FBxAxx解得：llPhFFBy0lhFlPFAy0?AxF?BxF工程力學課件 02)2(0)(2HFlFalP，F(xiàn)MBxByCllPhFFBy0lhFlPFAy0 (4)再以桁架BC為研究對象其上所受的力有P2、FBx、FBy、FCx和FCy(注意此時C點的約束反力成為外力了，必須畫出)，受力圖如圖c所示。列平衡方程：)2(212)2(102aPFhHlFalPHFByBx00BxCxxF，F(xiàn)F)2(210aPFhHFFBxCx002PF，F(xiàn)FByCyylFhFPFByCy20FFFBxAx)22(210FHaPFhHFFFBxAx工程力學課件 *例4-11 下?lián)问轿菁芙Y構及載荷如圖a所示。求支座A、B和鉸鏈C的約束反力，桿1、2、3的內(nèi)力，銷釘A對桿AC的反力。解：（1）判斷出物體系是靜定的物體系有七個物體組成，可列獨立方程21個，可解21個未知量，物體系靜定 (2)恰當?shù)剡x取對象本題屬于結構類型問題。故可先選取整個屋架為研究對象。它所受的力有：ACB段均布載荷、輥軸約束B的反力FB、鉸鏈A的反力FAx和FAy(圖b)。選坐標系Oxy，列平衡方程：001xAx，F(xiàn)F01501mqF，F(xiàn)FByAy021515150)(mqmm，F(xiàn)FMBA解得：kNFB5 .97kNFyA5 .97101xAF工程力學課件 解得：kNFB5 .97kNFyA5 .97101xAF(3)再選取桿ADC(包括桿1、桿2、銷釘H及銷釘A)為研究對象0031FF，F(xiàn)FCxxAx05 . 701qmF，F(xiàn)FCyyAy025 . 75 . 725 . 75 . 10)(311mmqmFmFm，F(xiàn)FMyAxAC列平衡方程：kNF8 .1823kNFCx8 .1820CyF工程力學課件 解得：kNFB5 .97kNFyA5 .97101xAF(4)再選銷釘H為研究對象 桿1、2和3均為二力桿，力的方位沿桿軸線，均設為拉力。05 . 45 . 05 . 402213F，F(xiàn)Fx05 . 45 . 05 . 002212F，F(xiàn)Fy列平衡方程：kNF8 .1823kNFCx8 .1820CyFkNF1841kNF3 .202工程力學課件 解得：kNFB5 .97kNFyA5 .97101xAF(5)最后選取銷釘A為研究對象05 . 45 . 05 . 4022121FF，F(xiàn)FxAxAx05 . 45 . 05 . 0022211yAyAyFF，F(xiàn)F列平衡方程：kNF8 .1823kNFCx8 .1820CyFkNF1841kNF3 .202kNFxA8 .1822kNFyA2 .772本例所求銷釘A對桿AC的反力FA2x和FA2y協(xié)分別與FA2x和FA2y等值、反向、共線。工程力學課件 例4-12 曲柄連桿式壓榨機中的曲柄OA上作用一力偶，其力偶矩M=500 Nm(圖a)。已 知 O A = r = 0 . 1 m ，BD=DC=ED=a=0.3 m，機構在水平面內(nèi)，在圖示位置平衡，此時OAB=90，DEC=30，求水平壓榨力F。 解： (1) 判斷出物體系是靜定的 物體系共有五個物體，可列14個獨立方程，共有14個未知量，物體系是靜定的 (2)恰當?shù)剡x取對象 本題屬于求機構平衡時主動力之間的關系問題，不必求出許多約束反力。通常按傳動順序?qū)C構拆開，分別選為研究對象，通過求連接點的力，逐步求得主動力之間應滿足的關系式。工程力學課件 (3)先選桿OA為研究對象，畫受力圖它受有力偶作用，桿AB是二力直桿，銷釘A對桿OA的力FA沿BA方向，根據(jù)平面力偶系平衡條件，鉸鏈O的反力FO必與FA反向(圖b)。列平面力偶系平衡方程：00rF，MMA例4-12 曲柄連桿式壓榨機中的曲柄OA上作用一力偶，其力偶矩M=500 Nm(圖a)。已 知 O A = r = 0 . 1 m ，BD=DC=ED=a=0.3 m，機構在水平面內(nèi)，在圖示位置平衡，此時OAB=90，DEC=30，求水平壓榨力F。rMFArMFA工程力學課件 例4-12 曲柄連桿式壓榨機中的曲柄OA上作用一力偶，其力偶矩M=500 Nm(圖a)。已 知 O A = r = 0 . 1 m ，BD=DC=ED=a=0.3 m，機構在水平面內(nèi)，在圖示位置平衡，此時OAB=90，DEC=30，求水平壓榨力F。rMFA(4)再選桿BC(包括滑塊C)為研究對象，畫受力圖 它所受的力有：水平壓榨力F、銷釘B的反力FB。光滑面C的反力FC。以及銷釘D的反力FD，因桿ED是二力直桿，故FD沿DE方向(圖c)。為了使方程中只出現(xiàn)一個未知力F，選擇其余兩個未知力的交點H為矩心，列平衡方程：0)sin2()cos2(0)(aFa，F(xiàn)FMBHcotcotrMFFBrMFFAB工程力學課件 求解物體系平衡問題的要點如下：求解物體系平衡問題的要點如下：1、判斷物體系是否屬于靜定系統(tǒng)如果物體系的未知量的總數(shù)等于物體系獨立平衡方程的總數(shù)時，物體系為靜定系統(tǒng)。關鍵是要正確計算這兩種總數(shù)。將物體系拆成一個個單個物體，計算每個物體的未知量及獨立平衡方程的數(shù)目，再求和。同一對象不得重復選取。對于鉸鏈約束反力一律視為兩個未知量，固定端約束反力一律視為三個未知量。不必用平衡條件(如二力平衡條件、三力平衡條件或力偶系平衡條件等)，確定未知力的方位，從而減少未知量個數(shù)。因為這樣做的結果，導致獨立平衡方程式的數(shù)目也必然隨之相應減少。這種做法對判斷物體系是否靜定不起作用。工程力學課件 2、恰當?shù)剡x擇研究對象以解題簡便為原則，盡量選擇受力情況較簡單而且獨立平衡方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等的物體系或某些物體為研究對象。如果物體系的約束反力未知量的個數(shù)與獨立平衡方程的個數(shù)相等或多一個，則可先選物體系為研究對象，求出此對象的全部或一部分未知量。從而再選其他對象，求出其余未知量。結構平衡問題中常出現(xiàn)這種情況。在分析機構平衡問題中主動力之間的關系時，通常按傳動順序?qū)C構拆開，分別選為研究對象，通過求連接點的力，逐步求得主動力之間應滿足的關系式。工程力學課件 3、受力分析首先從二力構件入手，可使受力圖比較簡單，有利于解題解除約束時，要嚴格按照約束的性質(zhì)，畫出相應的約束反力，切忌憑主觀想象畫力。對于復雜鉸，要明確所選對象中是否包括該銷釘？解除了哪些約束？然后正確畫出相應的約束反力。畫受力圖時，關鍵在于正確畫出鉸鏈反力，除二力構件外，通常用二分力表示鉸鏈反力。不畫研究對象的內(nèi)力。兩物體間的相互作用力應該符合作用與反作用定律，即作用力與反作用力必定等值、反向和共線，但是，它們分別作用在兩個相互作用的物體上。工程力學課件 4、列平衡方程，求未知量在分析機構平衡問題中主動力之間的關系時，只需求出連接點的力，因此不必列出物系的全部平衡方程，而只需列出必要的平衡方程。列出恰當?shù)钠胶夥匠?，盡量避免在方程中出現(xiàn)不需要求的未知量。為此，可恰當?shù)剡\用力矩方程，適當選擇兩個未知力的交點為矩心，所選的坐標軸應與較多的未知力垂直。判斷清楚每個研究對象所受的力系及其獨立平衡方程的個數(shù)及物體系獨立平衡方程的總數(shù)，避免列出不獨立的平衡方程。解題時先從未知量最少的方程人手，盡量避免聯(lián)立解。如果求得的約束反力或反力偶矩為負值時，表示力的指向或力偶的轉(zhuǎn)向與受力圖中原假設相反。用它求解其他未知量時，應連同其負號一起代入其他平衡方程。校核。求出全部所需的未知量后，可再列一個平衡方程，將上述計算結果代入，若能滿足方程，表示計算無誤。否則，需檢驗計算過程，找出錯誤。工程力學課件 4-9 桁 架桁架是一種常見的工程結構，例如許多橋梁、房架和起重機架等都是桁架結構。下圖是鐵路橋梁中桁架結構的簡圖，桁架結構中各桿的連接點稱為節(jié)點節(jié)點。工程力學課件 為了確定桁架中各桿件的截面尺寸，需要算出它們的內(nèi)力。在進行計算之前，首先要對桁架的實際結構進行簡化，以便于計算。在簡化時，常采用下面幾個假設：桁架中的桿件都是直桿；桿件兩端為鉸鏈連接，不計摩擦；桁架所受的力都作用在桁架平面內(nèi)的節(jié)點上；不計桁架各桿件的自重或?qū)U重平均分配到桿的兩端節(jié)點上。這些假設雖然與實際情況有些差別，但能簡化計算，而且所產(chǎn)生的計算誤差一般都不超過工程上所允許的范圍。根據(jù)上述假設，桁架的每個桿件都只在兩端受二力的作用，是“二力桿”，因此各桿內(nèi)力必然是沿桿軸線方向的拉力或壓力。下面介紹兩種計算桁架內(nèi)力的方法：節(jié)點法和截面法節(jié)點法和截面法。工程力學課件 1節(jié)點法節(jié)點法現(xiàn)舉例說明節(jié)點法的方法和步驟。例4-13 一座鐵路橋梁的桁架結構如圖所示，已知FP 1=FP 2=FP，F(xiàn)B=FD=FG=FH=FK=2FP，幾何尺寸如圖所示。用節(jié)點法求第l至第6各桿內(nèi)力。 解： (1)先求約束反力 以整個桁架為研究對象。作用于桁架上的外力有： FP1、FP2、FB、FD、FG、FH、FK和約束反力FA及FL列平衡方程，求出FA及FL，也可根據(jù)本例的載荷及幾何關系都對稱于FG線的對稱性質(zhì)，求得PPPPKHGDBPALFFFFFFFFFFFF6)252(21)(2121工程力學課件 (2)求桁架各桿內(nèi)力為了求各桿內(nèi)力，應該設想將桿件截斷，選取每個節(jié)點為研究對象，畫受力圖。作用在節(jié)點上的力有：被截斷桿件的內(nèi)力、外載荷和支座反力，它們組成一個平面匯交力系。因此，用節(jié)點法求桁架內(nèi)力就是求解平面匯交力系的平衡問題，可逐次按每個節(jié)點用兩個平衡方程求解。也可用圖解法求桁架內(nèi)力。 解題時，可先假設各桿均受拉力，即力的指向背離節(jié)點。為使計算簡便，每次應選擇只含兩個未知內(nèi)力的節(jié)點為對象，列平衡方程，逐次求解。PALFFF6工程力學課件 PALFFF6列平面匯交力系平衡方程：0132012F，F(xiàn)Fx0133011FF，F(xiàn)FPAyPFF31351PFF3102壓力拉力現(xiàn)從節(jié)點A開始。節(jié)點A的受力圖如圖b所示。選坐標系Axy，設F1與x軸的夾角為132)3()2(2cos22aaa133)3()2(3sin22aaa工程力學課件 PALFFF6列平面匯交力系平衡方程：0042FF，F(xiàn)x003FF，F(xiàn)ByPFF31351PFF3102其次，選節(jié)點B為對象，其受力圖如圖c所示。選坐標系BxyPFFFF310224PBFFF23拉力拉力工程力學課件 列平面匯交力系平衡方程：01321320561 FFF，F(xiàn)x最后，選節(jié)點C為對象，其受力圖如圖d所示。選坐標系BxyPALFFF6PFF31351PFF3102PFF3104PFF2301331330531 FFF，F(xiàn)yPFF135PFF3166工程力學課件 1截面法截面法例4-14 一座鐵路橋梁的桁架結構如圖 所 示 ， 已 知 FP 1= FP 2= FP，F(xiàn)B=FD=FG=FH=FK=2FP，幾何尺寸如圖所示。用截面法求第14桿內(nèi)力。 解： (1) 先求出支座反力，見上例。(2)求桿14的內(nèi)力 可設想用一截面m-n將桿12、13、14截斷，分桁架為左、右兩部分。選取右半部分桁架為研究對象，并假設所截各桿均受拉力，則其受力圖如圖所示。它是平面一般力系。PALFFF6工程力學課件 PALFFF6042430)(214aFaFaFaFFMLKPH列平面一般力系平衡方程：PFF31614通常，每一次作截面只應截斷不超過三個未知內(nèi)力的桿件，以便用平面一般力系的三個獨立平衡方程，求出這三根桿的內(nèi)力。工程力學課件 1、節(jié)點法選取研究對象。先選只含兩根桿件的節(jié)點，隨后逐個選取僅含兩個未知內(nèi)力的桿件的節(jié)點為對象。畫受力圖。設各桿內(nèi)力均為拉力，指向背離節(jié)點，分別畫出各節(jié)點受力圖，屬于平面匯交力系。 對每一節(jié)點，列出平面匯交力系平衡方程，求得各桿內(nèi)力。答案中的正號，表示原假設方向正確，內(nèi)力為拉力，負號表示內(nèi)力為壓力當內(nèi)力為負值時，不必在受力圖上更改此內(nèi)力的指向，只需在以后的計算中，將求得的內(nèi)力值，連同符號一起代入，它相當于自動更正了相應內(nèi)力的指向。節(jié)點法多用于需求桁架全部桿件內(nèi)力的情況。求桁架桿件內(nèi)力要點如下：求桁架桿件內(nèi)力要點如下：工程力學課件 2截面法選取研究對象。假想將桁架的某些桿件截斷，使桁架分成兩部分。通常截斷的未知內(nèi)力的桿件不超過三個，選取其中的一部分桁架為研究對象。畫受力圖。設各桿內(nèi)力均為拉力，指向背離節(jié)點，畫出一部分桁架的受力圖，屬于平面一般力系。對所選的一部分桁架，列出平面一般力系平衡方程，矩心選在未知力的交點上，盡量使一個方程可以求解一個未知量。答案中的正(負)號，統(tǒng)一表示桿件內(nèi)力為拉(壓)力。 在隨后的計算中，將求出的內(nèi)力的代數(shù)值，代入平衡方程，求得其他桿件的內(nèi)力。截面法多用于求某一桿件或幾根桿件的內(nèi)力或校核桁架內(nèi)力的計算結果。有時需要同時運用截面法和節(jié)點法求解復雜桁架的內(nèi)力。工程力學課件