選修44坐標系與參數(shù)方程第1課時坐標系理解極坐標的概念，會正確進行點的極坐標與直角坐標的互化，能運用極坐標解決相關(guān)問題. 了解極坐標系. 會正確將極坐標方程化為直角坐標方程. 會根據(jù)所給條件建立直線、圓的極坐標方程，并能運用極坐標解題.1. （選修44P11例5改編）在直角坐標系中，點P的坐標為（，），求點P的極坐標.解：2，tan ，又點P在第三象限，得，即P（2，）.2. （選修44P17習題9改編）在極坐標系中，已知A，B兩點的極坐標分別為，求AOB（其中O為極點）的面積.解：由題意A，B兩點的極坐標分別為，得AOB的面積SAOBOAOBsinAOB34sin3.3. 在極坐標系中，求圓2cos 的圓心到直線2sin1的距離.解：圓的普通方程為（x1）2y21，直線的普通方程為xy10， 圓心到直線的距離為d.4. （選修44P19例1改編）在極坐標系中，求過圓2sin 的圓心，且與極軸平行的直線的極坐標方程.解：由題意，圓2sin ，可化為22sin ，化成直角坐標方程為x2y22y，即x2（y1）21，圓心是（0，1），所求直角坐標方程為y1，所以其極坐標方程為sin 1.5. 在極坐標系中，求圓4上的點到直線（cos sin ）8的距離的最大值.解：把4化為直角坐標方程為x2y216，把（cos sin ）8化為直角坐標方程為xy80， 圓心（0，0）到直線的距離為d4， 直線和圓相切， 圓上的點到直線的最大距離是8.1. 極坐標系是由距離（極徑）與方向（極角）確定點的位置的一種方法，由于終邊相同的角有無數(shù)個且極徑可以為負數(shù)，故在極坐標系下，有序?qū)崝?shù)對（，）與點不一一對應(yīng).這點應(yīng)與直角坐標系區(qū)別開來.2. 在極坐標系中，同一個點M的坐標形式不盡相同，M（，）可表示為（，2n）（nZ）.3. 在極坐標系中，極徑可以為負數(shù)，故M（，）可表示為（，（2n1）（nZ）.4. 特別地，若0，則極角可取任意角.5. 建立曲線的極坐標方程，其基本思路與在直角坐標系中大致相同，即設(shè)曲線上任一點M（，），建立等式，化簡即得.6. 常見曲線的極坐標方程（1） 過極點，傾斜角為的直線的極坐標方程為（R）或（R）；（2） 過點（a，0）（a0），與極軸垂直的直線的極坐標方程為cos a；（3） 過點，與極軸平行的直線的極坐標方程為sin a；（4） 圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程為r；（5） 圓心為（a，0），半徑為a的圓的極坐標方程為2acos ；（6） 圓心為，半徑為a的圓的極坐標方程為2asin .7. 以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，平面內(nèi)任一點P的直角坐標（x，y）與極坐標（，）可以互換，公式是 和,1求極坐標或極坐標方程),1)在極坐標系中，已知點A，圓C的方程為4sin （圓心為點C），求直線AC的極坐標方程.解：（解法1）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系xOy.圓C的平面直角坐標方程為x2y24y，即x2（y2）28，圓心C（0，2）.點A的直角坐標為（，）.直線AC的斜率kAC1.所以直線AC的直角坐標方程為yx2，極坐標方程為（cos sin ）2，即sin2.（解法2）在直線AC上任取一點M（，），不妨設(shè)點M在線段AC上.由于圓心為C，SOACSOAMSOCM，所以22sin 2sin2sin，即（cos sin ）2，化簡，得直線AC的極坐標方程為sin2.在極坐標系中，求曲線2cos 關(guān)于直線（R）對稱的曲線的極坐標方程.解：（解法1）以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線2cos 的直角坐標方程為（x1）2y21，且圓心C的坐標為（1，0），直線的直角坐標方程為yx.因為圓心C（1，0）關(guān)于yx的對稱點為（0，1），所以圓C關(guān)于yx的對稱曲線為x2（y1）21，所以曲線2cos 關(guān)于直線對稱的曲線的極坐標方程為2sin .（解法2）設(shè)曲線2cos 上任意一點為（，），其關(guān)于直線的對稱點為（，），則將（，）代入2cos ，得2cos，即2sin ，所以曲線2cos 關(guān)于直線（R）對稱的曲線的極坐標方程為2sin .,2極坐標方程與直角坐標方程的互化),2)（2017蘇州期中）已知在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，r0）.以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為sin10.（1） 求圓C的圓心的極坐標；（2） 當圓C與直線l有公共點時，求r的取值范圍.解：（1） 由C：得（x2）2（y2）2r2， 曲線C是以（2，2）為圓心，r為半徑的圓， 圓心的極坐標為.（2） 由直線l：sin10，得直線l的直角坐標方程為xy10，從而圓心（2，2）到直線l的距離d . 圓C與直線l有公共點， dr，即r .變式訓練（2017蘇州期初）自極點O任意作一條射線與直線cos 3相交于點M，在射線OM上取點P，使得OMOP12，求動點P的軌跡的極坐標方程，并把它化為直角坐標方程.解：設(shè)P（，），M（，）， OMOP12， 12. cos 3， cos 3.則動點P的軌跡的極坐標方程為4cos . 極點在此曲線上， 方程兩邊可同時乘，得24cos . x2y24x0.,3曲線的極坐標方程的應(yīng)用),3)在極坐標系中，曲線C：2acos （a>0），直線l：cos，C與l有且僅有一個公共點.（1） 求a；（2） O為極點，A，B為C上的兩點，且AOB，求OAOB的最大值.解：（1） 曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；直線l的直角坐標方程為xy30.由直線l與圓C相切可得a，解得a1.（2） 不妨設(shè)A的極角為，B的極角為，則OAOB2cos 2cos3cos sin 2cos，當時，OAOB取得最大值2.變式訓練在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x）2（y1）29，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1） 求圓C的極坐標方程；（2） 直線OP：（R）與圓C交于點M，N，求線段MN的長.解：（1） （x）2（y1）29可化為x2y22x2y50，故其極坐標方程為22cos 2sin 50.（2） 將代入22cos 2sin 50，得2250， 122，125，|MN|12|2.1. （2017蘇北四市期中）已知曲線C的極坐標方程為sin（）3，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，求曲線C的直角坐標方程.解：由sin3，得sin cos 3.又cos x，sin y，所以曲線C的直角坐標方程為xy60.2. （2017蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為2，22cos2.（1） 把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；（2） 求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程.解：（1） 由224，所以x2y24.因為22cos2，所以222，所以x2y22x2y20.（2） 將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為xy1.化為極坐標方程為cos sin 1，即sin.3. （2017蘇北三市模擬）在極坐標系中，已知點A，點B在直線l：cos sin 0（02）上.當線段AB最短時，求點B的極坐標.解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，則點A的直角坐標為（0，2），直線l的直角坐標方程為xy0.AB最短時，點B為直線xy20與直線l的交點，由解得所以點B的直角坐標為（1，1）.所以點B的極坐標為.4. （2017常州期末）在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.已知圓4sin（）（0）被射線0（0為常數(shù)，且0）所截得的弦長為2，求0的值.解：圓4sin的直角坐標方程為（x1）2（y）24，射線0的直角坐標方程可以設(shè)為ykx（x0，k0），圓心（1，）到直線ykx的距離d.根據(jù)題意，得22，解得k，即tan 0.又0，所以0.1. （2017南通、揚州、泰州模擬）在極坐標系中，圓C的圓心在極軸上，且過極點和點，求圓C的極坐標方程.解：（解法1）因為圓C的圓心在極軸上且過極點，所以可設(shè)圓C的極坐標方程為acos .又點在圓C上，所以3acos ，解得a6.所以圓C的極坐標方程為6cos .（解法2）點的直角坐標為（3，3）.因為圓C過點（0，0），（3，3），所以圓心在直線xy30上.又圓心C在極軸上，所以圓C的直角坐標方程為（x3）2y29.所以圓C的極坐標方程為6cos .2. 已知在極坐標系下，圓C：2cos與直線l：sin，點M為圓C上的動點.求點M到直線l距離的最大值.解：圓C：2cos，即 x2y22y0，x2（y1）21，表示圓心為（0，1），半徑等于1的圓.直線l：sin，即cos sin 20，即 xy20，圓心到直線l的距離為，故圓上的動點M到直線l的距離的最大值等于1.3. 在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為4cos .（1） 求出圓C的直角坐標方程；（2） 已知圓C與x軸相交于A，B兩點，若直線l：y2x2m上存在點P使得APB90，求實數(shù)m的最大值.解：（1） 由4cos 得24cos ，即x2y24x0，即圓C的標準方程為（x2）2y24.（2） l的方程為y2x2m，而AB為圓C的直徑，故直線l上存在點P使得APB90的充要條件是直線l與圓C有公共點，故2，于是實數(shù)m的最大值為2.4. 在極坐標系中，已知直線2cos sin a0（a>0）被圓4sin 截得的弦長為2，求a的值.解：以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，直線的極坐標方程化為直角坐標方程為2xya0，圓的極坐標方程化為直角坐標方程為x2y24y，即x2（y2）24.因為直線被圓截得的弦長為2，所以圓心（0，2）到直線的距離為，即，因為a>0，所以a2.1. 極坐標方程與直角坐標方程的互化（1） 將極坐標或極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標或直角坐標方程，直接利用公式xcos ，ysin 即可.常用方法有代入法、平方法，還經(jīng)常用到同乘（或除以）等技巧.（2） 將直角坐標或直角坐標方程轉(zhuǎn)化為極坐標或極坐標方程，要靈活運用xcos ，ysin 以及，tan （x0），同時要掌握必要的技巧，通常情況下，由tan 確定角時，應(yīng)根據(jù)點P所在象限取最小正角.在這里要注意：當x0時，角才能由tan 按上述方法確定.當x0時，tan 沒有意義，這時又分三種情況：當x0，y0時，可取任何值；當x0，y>0時，可??；當x0，y<0時，可取.2. 求簡單曲線的極坐標方程的方法（1） 設(shè)點M（，）為曲線上任意一點，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用正弦定理求解OM與的關(guān)系；（2） 先求出曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的變換公式，把直角坐標方程化為極坐標方程.備課札記第2課時參 數(shù) 方 程（對應(yīng)學生用書（理）202205頁）理解參數(shù)方程的概念，了解某些常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或物理意義. 會正確將參數(shù)方程化為普通方程. 會根據(jù)給出的參數(shù)，依據(jù)條件建立參數(shù)方程.1. （選修44P45例1改編）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求此直線的傾斜角以及在y軸上的截距.解： y2（x1）. 此直線的斜率為， 它的傾斜角為60.令x0，得它在y軸上的截距為2.2. （選修44P45例2改編）已知點P（3，m）在以點F為焦點的拋物線（t為參數(shù)）上，求PF的值.解：將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y24x，則焦點F（1，0），準線方程為x1，又P（3，m）在拋物線上，由拋物線的定義知PF3（1）4.3. （選修44P57習題3（4）選擇適當?shù)膮?shù)，將普通方程4x2y216x120化為參數(shù)方程.解：由4x2y216x120，得4（x2）2y24，選擇參數(shù)，令y2sin ，則x2cos ，故所求曲線的參數(shù)方程是（答案不惟一）4. 在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.若直線l與曲線C交于A，B兩點，求線段AB的長.解：曲線C的普通方程為（x）2y24，表示以（，0）為圓心，2為半徑的圓.直線l的直角坐標方程為yx.所以圓心到直線的距離為，所以線段AB的長為2.5. 已知直線l的極坐標方程為sin（）3，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)P點是曲線C上的任意一點，求P到直線l的距離的最大值.解：由sin3，可得（sin cos ）3， yx6，即xy60.由得x2y24，圓的半徑為r2， 圓心到直線l的距離d3. P到直線l的距離的最大值為dr5.1. 參數(shù)方程是用第三個變量（即參數(shù)）分別表示曲線上任一點M的坐標x，y的另一種曲線方程的形式，它體現(xiàn)了x，y的一種間接關(guān)系.2. 參數(shù)方程是根據(jù)其固有的意義（物理、幾何）得到的，要注意參數(shù)的取值范圍.3. 一些常見曲線的參數(shù)方程（1） 過點P0（x0，y0），且傾斜角是的直線的參數(shù)方程為（l為參數(shù)）. l是有向線段P0P的數(shù)量.（2） 圓方程（xa）2（yb）2r2的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.（3） 橢圓方程1（a>b>0）的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.（4） 雙曲線方程1（a>0，b>0）的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）.（5） 拋物線方程y22px（p>0）的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）.4. 在參數(shù)方程與普通方程的互化中要注意變量的取值范圍.1參數(shù)方程與普通方程的互化1（2017南京、鹽城期末）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：（t為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設(shè)圓C的極坐標方程為2cos ，直線l與圓C交于A，B兩點，求弦AB的長.解：直線l：（t為參數(shù)）化成普通方程為4x3y0，圓C的極坐標方程2cos 化成直角坐標方程為（x1）2y21，則圓C的圓心到直線l的距離d，所以AB2.變式訓練在平面直角坐標系xOy中，已知直線（t為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于A，B兩點，求線段AB的長.解：將直線的參數(shù)方程化為普通方程，得y2x1.將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，得y12x2（1x1）.由，得或所以A（1，1），B（0，1）或A（0，1），B（1，1），從而AB.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2sin 2cos .若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求線段AB的長.解：由2sin 2cos ，可得22sin 2cos ，所以曲線C的直角坐標方程為x2y22y2x，標準方程為（x1）2（y1）22.直線l的方程化成普通方程為xy10.圓心到直線l的距離為d，所求弦長AB2.,2求曲線參數(shù)方程),2)如圖，以過原點的直線的傾斜角為參數(shù)，求圓x2y2x0的參數(shù)方程.解：設(shè)P（x，y），則隨著取值變化，P可以表示圓上任意一點，由所給的曲線方程x2y2x0，即y2，表示以為圓心，為半徑的圓，可得弦OP1cos ，所以從而故已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.已知直線C1：（t為參數(shù)），曲線C2：（為參數(shù)）.（1） 當時，求C1與C2的交點坐標；（2） 過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當變化時，求點P軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.解：（1） 當時，C1的普通方程為y（x1），C2的普通方程為x2y21，聯(lián)立構(gòu)成方程組解得C1與C2的交點坐標分別為（1，0），.（2） 依題意，C1的普通方程為xsin ycos sin 0，則A點的坐標為（sin2，sin cos ），故當變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以點P軌跡的普通方程為y2.故點P的軌跡是圓心為，半徑為的圓.,3參數(shù)方程的應(yīng)用),3)（2017南通、泰州模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知直線（l為參數(shù)）與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點，求線段AB的長.解：（解法1）將曲線（t為參數(shù)）化成普通方程為y28x，將直線（l為參數(shù)）代入y28x，整理得l28l240，解得l12，l26.則|l1l2|4，所以線段AB的長為4.（解法2）將曲線（t為參數(shù)）化成普通方程為y28x，將直線（l為參數(shù)）化成普通方程為xy0，由得或所以AB的長為4.已知直線l：（t為參數(shù)）恒經(jīng)過橢圓C：（為參數(shù)）的右焦點F.（1） 求m的值；（2） 設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，求FAFB的最大值與最小值.解：（1） 橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，得1.因為a5，b3，所以c4，所以點F的坐標為（4，0）.因為直線l經(jīng)過點（m，0），所以m4.（2） 將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，并整理得（9cos225sin2）t272tcos 810.設(shè)點A，B在直線參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則FAFB|t1t2|.當sin 0時，F(xiàn)AFB取最大值9；當sin 1時，F(xiàn)AFB取最小值.,4極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用),4)（2017蘇錫常鎮(zhèn)二模）在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標系.已知曲線C1的參數(shù)方程為（0，2，為參數(shù)），曲線C2的極坐標方程為sina（aR），若曲線C1與曲線C2有且僅有一個公共點，求實數(shù)a的值.解：曲線C1的方程為（x）2（y3）24，圓心坐標為（，3），半徑為2. 曲線C2的極坐標方程為sina（aR）， 曲線C2的直角坐標方程為xy2a0. 曲線C1與曲線C2有且僅有一個公共點， 2，解得a1或a5.在平面直角坐標系xOy中，曲線C：（為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為（cos sin ）40.求曲線C上的點到直線l的最大距離.解：將l轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為xy40.在C上任取一點A（cos ，sin ），0，2），則點A到直線l的距離為dsin2.當時，d取得最大值，最大值為2，此時A點為（，1）.1. 在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為sina，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0t）.當C1與C2有公共點時，求實數(shù)a的取值范圍.解：曲線C1的直角坐標方程為xya.若C1與C2有公共點，則axysin tcos t2在t0，上有解，又sin tcos t2sin2，因為t0，所以t，sin，所以a的取值范圍為3，2.2. （2017蘇北四市期末）在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.直線l：sinm（mR），圓C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.當圓心C到直線l的距離為時，求m的值.解：直線l的直角坐標方程為xym0，圓C的普通方程為（x1）2（y2）29，圓心C到直線l的距離為，解得m1或m5.3. （2016江蘇卷）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長.解：橢圓C的普通方程為x21，將直線l的參數(shù)方程代入x21，得1，即7t216t0，解得t10，t2.所以AB|t1t2|.4. （2017揚州期末）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，試求直線l與曲線C的交點的直角坐標.解：將直線l的極坐標方程化成直角坐標方程為yx，將曲線C的參數(shù)方程化成普通方程為y2x2（1x1）.由得x2x20，解得x1或x2.又1x1，所以x1，所以直線l與曲線C的交點的直角坐標為（1，1）.1. 在極坐標系中，直線l的極坐標方程為（R），以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線l與曲線C的交點P的直角坐標.解：因為直線l的極坐標方程為（R），所以直線l的普通方程為yx.又曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線C的直角坐標方程為yx2（x2，2），聯(lián)立解方程組得或（舍去）.故P點的直角坐標為（0，0）.2. （2017蘇州期末）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為sin24cos 0，已知直線l與曲線C相交于A，B兩點，求線段AB的長.解：因為曲線C的極坐標方程為sin24cos 0，所以2sin24cos ，即曲線C的直角坐標方程為y24x.將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y24x，得4，即t28t0，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.3. 在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C：（s為參數(shù)），直線l：（t為參數(shù)）.設(shè)曲線C與直線l交于A，B兩點，求線段AB的長度.解：由消去s得曲線C的普通方程為yx2；由消去t得直線l的普通方程為y3x2.聯(lián)立直線l的方程與曲線C的方程，即解得交點的坐標分別為（1，1），（2，4）.所以線段AB的長度為.4. （2017南京、鹽城模擬）在平面直角坐標系xOy中，直線l：（t為參數(shù)）與曲線C：（k為參數(shù)）交于A，B兩點，求線段AB的長.解：（解法1）直線l的參數(shù)方程化為普通方程得4x3y4，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y24x.聯(lián)立方程組解得或所以A（4，4），B或A，B（4，4）.所以AB.（解法2）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y24x.將直線l的參數(shù)方程代入拋物線C的方程得4，即4t215t250，所以 t1t2，t1t2.所以AB|t1t2|.1. 在直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）中t的幾何意義是表示在直線上過定點P0（x0，y0）與直線上的任一點P（x，y）構(gòu)成的有向線段P0P的長度，且在直線上任意兩點P1，P2的距離為P1P2|t1t2|.2. 參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)：一要熟練掌握常用技巧（如整體代換）；二要注意變量取值范圍的一致性，這一點最易忽視.備課札記