新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第八章平面解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程考情展望1.考查直線的有關(guān)概念，如直線的傾斜角、斜率、截距等.2.考查不同條件下求直線的方程(點斜式、兩點式及一般式等).3.題型多為客觀題，多與兩直線的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系及圓錐曲線結(jié)合交匯命題一、直線的傾斜角與斜率1直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0，)2斜率公式(1)直線l的傾斜角為90°，則斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.二、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0，A2B20平面內(nèi)所有直線都適用1直線xya0的傾斜角為()A30°B60°C150°D120°【解析】ktan ，且0°180°，60°.【答案】B2已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A1 B1C2或1 D2或1【解析】當a0時，直線方程為y20，不滿足題意，所以a0，所以在x軸上的截距為，在y軸上的截距為2a，則由2a，得a2或a1.【答案】D3已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三點共線，則x_.【解析】由已知得，x3.【答案】34一條直線經(jīng)過點A(2，3)，并且它的傾斜角等于直線yx的傾斜角的2倍，則這條直線的一般式方程是_，斜截式方程是_【解析】直線yx的傾斜角30°，所以所求直線的傾斜角為60°，又該直線過點A(2，3)，故所求直線的方程為y(3)tan 60°(x2)，即xy230，化成斜截式為yx23.【答案】xy230yx235(2009·安徽高考)直線l過點(1,2)且與直線2x3y40垂直，則l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80【解析】可得l斜率為，l：y2(x1)，即3x2y10.【答案】A6(2013·遼寧高考)已知點O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB為直角三角形，則必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0【解析】若以O(shè)為直角頂點，則B在x軸上，則a必為0，此時O，B重合，不符合題意；若A，則ba30.若B，根據(jù)斜率關(guān)系可知a2·1，所以a(a3b)1，即ba30.以上兩種情況皆有可能，故只有C滿足條件【答案】C考向一 136直線的傾斜角和斜率(1) 若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為()A.BCD.(2)直線xcos y20的傾斜角的范圍是()A. B.C. D.【思路點撥】(1)分別設(shè)出P、Q點的坐標，利用中點坐標公式求解(2)根據(jù)cos 的范圍確定直線斜率的范圍，結(jié)合正切函數(shù)圖象求傾斜角的范圍【嘗試解答】(1)設(shè)P(x,1)，Q(7，y)，則1，1，x5，y3，即P(5,1)，Q(7，3)，故直線l的斜率k.(2)設(shè)直線的傾斜角為，則tan cos ，又cos 1,1，tan ，又0，且ytan 在及上均為增函數(shù)，故.【答案】(1)B(2)B規(guī)律方法11.解答本例(2)時極易錯選D，出錯的原因是忽視了正切函數(shù)在和上的變化情況.2.已知傾斜角的范圍，求斜率的范圍，實質(zhì)上是求ktan 的值域問題；已知斜率k的范圍求傾斜角的范圍，實質(zhì)上是在上解關(guān)于正切函數(shù)的三角不等式問題.由于函數(shù)ktan 在上不單調(diào)，故一般運用數(shù)形結(jié)合思想解決此類問題.對點訓(xùn)練若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_【解析】當時，ktan ，當時，ktan ，0)即k，0).【答案】，0)考向二 137求直線的方程已知點A(3,4)，求滿足下列條件的直線方程(1)經(jīng)過點A且在兩坐標軸上截距相等；(2)經(jīng)過點A且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形【思路點撥】(1)分截距等于0和不等于0兩種情況求解(2)直線的斜率為±1，可由點斜式寫出直線方程【嘗試解答】(1)設(shè)直線在x，y軸上的截距均為a.若a0，即直線過點(0,0)及(3,4)直線的方程為yx，即4x3y0.若a0，則設(shè)所求直線的方程為1，又點(3,4)在直線上，1，a7，直線的方程為xy70.綜合可知所求直線方程為4x3y0或xy70.(2)由題意可知，所求直線的斜率為±1，又過點(3,4)由點斜式得y4±(x3)，所求直線的方程為xy10或xy70.規(guī)律方法21.截距不是距離，它可正、可負、可為0，因此在解與截距有關(guān)的問題時，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解.2.求直線方程的一種重要方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫做待定系數(shù)法，運用此方法，注意各種形式的適用條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式至關(guān)重要.對點訓(xùn)練ABC的三個頂點為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC的垂直平分線DE的方程【解】(1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(2,3)兩點，由兩點式得BC的方程為，即x2y40.(2)設(shè)BC中點D的坐標(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過點A(3,0)，D(0,2)兩點，由截距式得AD所在直線方程為1，即2x3y60.(3)BC的斜率k1，則BC的垂直平分線DE的斜率k22，由斜截式得直線DE的方程為y2x2.考向三 138直線方程的綜合應(yīng)用已知直線方程為(2m)x(12m)y43m0.(1)證明：直線恒過定點M；(2)若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A、B兩點，求AOB面積的最小值及此時直線的方程【思路點撥】(1)合并含參數(shù)m項的系數(shù)，依據(jù)多項式恒等求定點M.(2)設(shè)出直線的點斜式方程，分別求出橫縱截距，利用基本不等式求最值【嘗試解答】(1)(2m)x(12m)y43m0可化為(x2y3)m2xy4.由得直線必過定點M(1，2)(2)設(shè)直線的斜率為k(k0)，則其方程為y2k(x1)，|OA|1，|OB|2k，SAOB·|OA|·|OB|(2k).k0，k0，SAOB4.當且僅當k，即k2時取等號，AOB的面積最小值是4，此時直線的方程為y22(x1)，即y2x40.規(guī)律方法31.解答本題的關(guān)鍵是面積最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔細體會此解法.2.利用直線方程解決問題，為簡化運算可靈活選用直線方程的形式：一般地，已知一點通常選擇點斜式；已知斜率選擇斜截式或點斜式；已知截距選擇截距式.對點訓(xùn)練直線l經(jīng)過點P(3,2)且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，OAB的面積為12，求直線l的方程【解】法一設(shè)直線l的方程為1(a0，b0)，A(a,0)，B(0，b)，解得所求直線l的方程為1，即2x3y120.法二設(shè)直線l的方程為y2k(x3)，令y0，得直線l在x軸的正半軸上的截距a3，令x0，得直線l在y軸的正半軸上的截距b23k，(23k)24，解得k，直線l的方程為y2(x3)，即2x3y120.易錯易誤之十五求直線方程忽視零截距1個示范例1個防錯練設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(aR)(1)若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍【解】(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，a2，方程即為3xy0.當直線不經(jīng)過原點時，截距存在且均不為0.a2，即a11.a0，方程即為xy20.(2)將l的方程化為y(a1)xa2，或a1綜上可知a的取值范圍是a1.【防范措施】1.在求與截距有關(guān)的直線方程時，注意對直線的截距是否為零進行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導(dǎo)致產(chǎn)生漏解.2.常見的與截距問題有關(guān)的易誤點有：“截距互為相反數(shù)”；“一截距是另一截距的幾倍”等，解決此類問題時，要先考慮零截距情形.注意分類討論思想的運用.求經(jīng)過點P(3,2)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程【解】設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a0，即l過點(0,0)和(3,2)，l的方程為yx，即2x3y0.若a0，則設(shè)l的方程為1，l過點(3,2)，1，a5，l的方程為xy50，綜上可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系考情展望1.考查由已知兩條直線平行與垂直求參數(shù).2.考查距離的計算及對稱問題.3.本節(jié)內(nèi)容客觀題主要考查基礎(chǔ)知識和基本能力，主觀題主要在知識交匯處命題注重考查分類討論與數(shù)形結(jié)合思想一、兩條直線的位置關(guān)系1兩條直線平行與垂直(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當直線l1、l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.(2)兩條直線垂直：如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1l2.2兩條直線的交點直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解1一般地，與直線AxByC0平行的直線方程可設(shè)為AxBym0；與之垂直的直線方程可設(shè)為BxAyn0.2過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.二、幾種距離1兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|.2點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.3兩條平行線AxByC10與AxByC20(其中C1C2)間的距離d.點到直線與兩平行線間的距離的使用條件：(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等1過點(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10【解析】所求直線與直線x2y20平行，所求直線的斜率為，又直線過(1,0)點，則直線方程為x2y10.【答案】A2已知點(a,2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()A.B2C.1D.1【解析】由題意知1，|a1|，又a0，a1.【答案】C3已知直線l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，則實數(shù)m的值為()A7 B1 C1或7 D.【解析】l1的斜率為，縱截距為，l2的斜率為，縱截距為.又l1l2，由得，m28m70，解得m1或7.m1時，2，l1與l2重合，故舍去；m7時，4，符合題意，故選A.【答案】A4若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，則實數(shù)m_.【解析】直線x2y50與2xmy60互相垂直，×1，m1.【答案】15(2009·上海高考)已知直線l1：(k3)x(4k)y10，與l2：2(k3)x2y30平行，則k的值是()A1或3 B1或5 C3或5 D1或2【解析】當k3時，兩直線平行，當k3時，由兩直線平行，斜率相等，得：k3，解得：k5.【答案】C6(2009·課標全國卷)若直線m被兩平行線l1：xy10與l2：xy30所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是15°30°45°60°75°其中正確答案的序號是_(寫出所有正確答案的序號)【解析】兩平行線間的距離為d，由圖知直線m與l1的夾角為30°，l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°45°75°或45°30°15°.故填寫.【答案】考向一 139兩條直線的平行與垂直已知直線l1：xmy60，直線l2：(m2)x3y2m0，問當m為何值時，l1與l2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？【思路點撥】可用兩直線相交、垂直、平行、重合的充分條件【嘗試解答】(1)3m·(m2)即m22m30，所以m3且m1.當m3且m1時，l1與l2相交(2)要使l1l2，只要1·(m2)m·30即m.當m時，l1l2.(3)要使l1l2，只要當m1時，l1l2.(4)由(3)知，當m3時，l1與l2重合規(guī)律方法1在研究直線平行與垂直的位置關(guān)系時，如果所給直線方程含有字母系數(shù)時，要注意利用兩直線平行與垂直的充要條件：(1)l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)；(2)l1l2A1A2B1B20，這樣可以避免對字母系數(shù)進行分類討論，防止漏解與增根.對點訓(xùn)練(1)a1是直線yax1和直線y(a2)x1垂直的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(2)已知直線xa2y60與直線(a2)x3ay2a0平行，則a的值為()A0或3或1 B0或3C3或1 D0或1【解析】(1)由a(a2)1得a22a10，a1，故a1是直線yax1和直線y(a2)x1垂直的充要條件(2)由3a(a2)a20得a(a22a3)0，a1或0或3.檢驗當a0或1時兩直線平行，當a3時兩直線重合【答案】(1)C(2)D考向二 140兩直線的交點與距離(1)求經(jīng)過直線l1：3x2y10和l2：5x2y10的交點，且垂直于直線l3：3x5y60的直線l的方程(2)已知點P(2，1)，求過點P且與原點距離為2的直線l的方程；求過點P且與原點距離最大的直線l的方程，并求最大距離【思路點撥】(1)可先求出l1與l2的交點，再用點斜式；也可利用直線系方程求解(2)分直線斜率存在和不存在兩種情況求解結(jié)合圖形分析lOP時滿足條件【嘗試解答】(1)法一先解方程組得l1、l2的交點坐標為(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率為，于是由直線的點斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直線系5x3yC0中的一條，而l過l1、l2的交點(1,2)，故5×(1)3×2C0，由此求出C1，故l的方程為5x3y10.法三由于l過l1、l2的交點，故l是直線系3x2y1(5x2y1)0中的一條，將其整理，得(35)x(22)y(1)0，其斜率，解得，代入直線系方程即得l的方程為5x3y10.(2)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x2滿足條件若斜率存在，設(shè)l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.由已知，得2，解得k.此時l的方程為3x4y100.綜上，可得直線l的方程為x2或3x4y100.作圖可得過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，如圖由lOP，得klkOP1，所以kl2.由點斜式得y12(x2)，2xy50.直線2xy50是過P點且與原點O距離最大的直線，最大距離為.規(guī)律方法2求點到直線距離的最值問題的方法：(1)直接利用點到直線的距離公式建立距離關(guān)于斜率k的代數(shù)關(guān)系式求解；(2)從幾何中位置關(guān)系的角度，利用幾何關(guān)系求解.在解決解析幾何問題時，要善于發(fā)現(xiàn)其中包含的幾何關(guān)系，充分利用幾何性質(zhì)進行求解.對點訓(xùn)練直線l經(jīng)過點P(2，5)且與點A(3，2)和點B(1,6)的距離之比為12，求直線l的方程【解】當直線l與x軸垂直時，此時l的方程為x2，A到l的距離為d11，B到l的距離為d23，不符合題意，故直線l的斜率必存在直線l過點P(2，5)，設(shè)直線l的方程為y5k(x2)，即kxy2k50.A(3，2)到直線l的距離d1，B(1,6)到直線l的距離d2.d1d212，k218k170，k11，k217.所求直線方程為xy30和17xy290.考向三 141對稱問題光線由點P(1,3)射出，遇直線l：xy10反射，反射光線經(jīng)過點Q(4，2)，求入射光線與反射光線所在的直線方程【思路點撥】根據(jù)鏡面反射的原理，先求點P關(guān)于l的對稱點P，則直線PQ為反射光線所在直線，點Q關(guān)于l的對稱點為Q，則PQ為入射光線所在直線【嘗試解答】設(shè)P(1,3)關(guān)于直線xy10的對稱點為P(x1，y1)，點Q(4，2)關(guān)于直線xy10的對稱點為Q(x2，y2)所以P(4,0)同理有Q(1，5)這樣，反射光線所在直線為PQ，斜率k1.直線方程為x4y40.入射光線所在直線為PQ，斜率k24，直線方程為4xy10.入射光線直線方程為4xy10，反射光線直線方程為x4y40.規(guī)律方法3(1)求點M(a，b)關(guān)于直線AxByC0(AB0)的對稱點N的方法：,設(shè)N(x，y)，由求出x，y，即得點N的坐標.(2)兩點關(guān)于點對稱，兩點關(guān)于直線對稱的常見結(jié)論有：,點(x，y)關(guān)于x軸、y軸、直線xy0、直線xy0及原點的對稱點分別為(x，y)、(x，y)、(y，x)、(y，x)和(x，y).對點訓(xùn)練已知點A的坐標為(4,4)，直線l的方程為3xy20，求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A的坐標；(2)直線l關(guān)于點A的對稱直線l的方程【解】(1)設(shè)點A的坐標為(x，y)，由題意可知解得x2，y6，A點的坐標為(2,6)(2)法一在直線l上任取一點P(x，y)，其關(guān)于點A(4,4)的對稱點(8x,8y)必在直線l上，即3(8x)(8y)20，即3xy180，所以所求直線的方程為3xy180.法二由題意可知ll，設(shè)l的方程為3xyc0，由題意可知，解得c18或c2(舍)，所以所求直線的方程為3xy180.易錯易誤之十六小視斜率不存在1個示范例1個防錯練已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20.求使l1l2的a的值【解】法一當直線斜率不存在，即a0時，有l(wèi)1：3x50，l2：x20，符合l1l2.當直線斜率存在時，l1l2，a，經(jīng)檢驗，a符合題意故使l1l2的a的值為0或.法二由l1l23·(a)(3a1)·2a0，得a0或a，經(jīng)檢驗，a0或a均符合題意，故使l1l2的a的值為0或.【防范措施】在討論含參數(shù)的兩條直線的位置關(guān)系時，一定不要忘記兩條直線的斜率是否存在的情況，否則會出現(xiàn)漏解.已知直線l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，則實數(shù)a的值是_【解析】因為直線l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，故有a(2a1)a(1)0，可知a的值為0或1.【答案】0或1第三節(jié)圓的方程考情展望1.結(jié)合直線方程，考查運用待定系數(shù)法求圓的方程.2.考查運用圓的幾何性質(zhì)求動點的軌跡方程.3.多以選擇題、填空題形式考查一、圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點集合限定條件標準方程(xa)2(yb)2r2圓心：(a，b)，半徑：rr0一般方程x2y2DxEyF0圓心：，半徑：D2E24F0確定圓的方程時，常用到的三個性質(zhì)(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在任一弦的中垂線上(3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線二、點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系1若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.2若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.3若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.從位置看d，r的關(guān)系判定點與圓的位置關(guān)系還可利用點到圓心的距離d與r的關(guān)系：dr點在圓外；dr點在圓上；dr點在圓內(nèi)1圓的方程為x2y22by2b20，則圓的圓心和半徑分別為()A(0，b)，bB(0，b)，|b|C(0，b)，b D(0，b)，|b|【解析】圓的標準方程為x2(yb)23b2，從而圓的圓心坐標為(0，b)，半徑為|b|.【答案】D2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是()Aa2或a Ba0C2a0 D2a【解析】由題意知a24a24(2a2a1)0，解得2a.【答案】D3若點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da±1【解析】因為點(1,1)在圓的內(nèi)部，(1a)2(1a)24，1a1.【答案】A4已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則C的方程為_【解析】設(shè)圓心坐標為(a,0)，易知，解得a2，圓心為(2,0)，半徑為，圓C的方程為(x2)2y210.【答案】(x2)2y2105(2013·重慶高考)設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動點，Q是直線x3上的動點，則|PQ|的最小值為()A6B4C3D2【解析】如圖，圓心M(3，1)與定直線x3的最短距離為|MQ|3(3)6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為624.【答案】B6(2013·江西高考)過點(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于()A. BC± D【解析】由于y，即x2y21(y0)，直線l與x2y21(y0)交于A，B兩點，如圖所示，SAOB·sin AOB，且當AOB90°時，SAOB取得最大值，此時AB，點O到直線l的距離為，則OCB30°，所以直線l的傾斜角為150°，則斜率為.【答案】B考向一 142求圓的方程求圓心在直線2xy30上，且過點A(5,2)和點B(3，2)的圓的方程【思路點撥】結(jié)合圓的標準方程的特點，只需找到該圓的圓心和半徑即可，可以利用待定系數(shù)法，也可利用圓的性質(zhì)求出圓心坐標和半徑，從而寫出該圓的方程【嘗試解答】法一圓過A(5,2)，B(3，2)兩點，圓心一定在線段AB的垂直平分線上線段AB的垂直平分線方程為y(x4)設(shè)所求圓的圓心坐標為C(a，b)，則有解得C(2,1)，r|CA|.所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則解得圓的方程為(x2)2(y1)210.法三設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則解得D4，E2，F(xiàn)5，所求圓的方程為x2y24x2y50.規(guī)律方法1求圓的方程有兩種方法：(1)代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程.若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組求解.若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組求解.(2)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)，直線和圓的關(guān)系等求出圓心、半徑，進而寫出圓的標準方程.對點訓(xùn)練已知直線l：yxm，mR，若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在y軸上，求該圓的方程【解】法一依題意，點P的坐標為(0，m)，因為MPl，所以×11，解得m2，即點P的坐標為(0,2)，圓的半徑r|MP|2，故所求圓的方程為(x2)2y28.法二設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為(x2)2y2r2，依題意，所求圓與直線l：xym0相切于點P(0，m)，則解得所以所求圓的方程為(x2)2y28.考向二 143與圓有關(guān)的最值問題已知實數(shù)x、y滿足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值【思路點撥】根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合求解【嘗試解答】(1)原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率所以設(shè)k，即ykx.當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時，解得k±.所以的最大值為，最小值為.(2)設(shè)yxb，yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2±.所以yx的最大值為2，最小值為2.(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值又圓心到原點的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.規(guī)律方法2與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：(1)形如u型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和(x，y)的直線的斜率的最值問題；(2)形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；(3)形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的最值問題.對點訓(xùn)練已知圓Q：(x2)2y21，P(x，y)為圓上任一點(1)求的最大、最小值；(2)求x2y的最大、最小值【解】(1)設(shè)k，則kxyk20.由于P(x，y)是圓上任一點，當直線與圓有交點時，如圖所示：兩條切線的斜率分別是最大、最小值由d1，得k.的最大值為，最小值為.(2)令x2ym，同理，兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值由d1，得m2±.x2y的最大值為2，最小值為2.考向三 144與圓有關(guān)的軌跡問題設(shè)定點M(3,4)，動點N在圓x2y24上運動，點O是坐標原點，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡【思路點撥】四邊形MONP為平行四邊形把點P的坐標轉(zhuǎn)移到動點N上而點N在圓上運動，故可求解需注意O、M、N三點共線的情況【嘗試解答】四邊形MONP為平行四邊形，設(shè)點P(x，y)，點N(x0，y0)，則(x，y)(3,4)(x3，y4)又點N在圓x2y24上運動，(x3)2(y4)24.又當OM與ON共線時，O、M、N、P構(gòu)不成平行四邊形故動點P的軌跡是圓且除去點和.規(guī)律方法31.本例中點P是平行四邊形MONP的一個頂點，因此在點M、O、N三點共線時，點P是不存在的，故所求的軌跡中應(yīng)除去兩點2求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法：由題設(shè)直接求出動點坐標所滿足的關(guān)系式(2)定義法：利用定義寫出動點的軌跡方程(3)代入法：若動點P(x，y)隨著圓上的另一動點Q(x1，y1)運動而運動，且x1，y1可用x，y表示，則可用Q點的坐標代入已知圓的方程，即得動點P的軌跡方程對點訓(xùn)練已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x1)2y24上運動，求線段AB的中點M的軌跡【解】設(shè)點M的坐標為(x，y)，點A(x0，y0)因為M是線段AB的中點，且B(4,3)，所以所以又點A在圓(x1)2y24上運動，所以(x01)2y4.把代入，得(2x41)2(2y3)24，整理得221.所以點M的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.規(guī)范解答之十四破解圓的方程綜合問題1個示范例1個規(guī)范練(12分)在平面直角坐標系xOy中，曲線yx26x1與坐標軸的交點都在圓C上(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線xya0交于A，B兩點，且OAOB，求a的值【規(guī)范解答】(1)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(32，0) ，(32，0)故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2)2t2，解得t1.則圓C的半徑為3.所以圓C的方程為(x3)2(y1)29.6分(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判別式5616a4a20.從而x1x24a，x1x2.8分由于OAOB，可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.10分由，得a1，滿足0，故a1.12分【名師寄語】(1)若已知條件容易求出圓心坐標和半徑或需利用圓心坐標列方程，通常選用圓的標準方程；若已知條件為圓經(jīng)過三點，一般采用一般式.(2)解決直線與圓的問題可以借助圓的幾何性質(zhì)；但也要理解掌握一般的代數(shù)法，利用“設(shè)而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.在直角坐標系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線xy40相切(1)求圓的方程；(2)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求·的取值范圍【解】(1)設(shè)圓的方程為x2y2r2，則r2.圓的方程為x2y24.(2)由(1)知A(2,0)，B(2,0)，設(shè)P(x0，y0)，則|PA|，|PO|，|PB|.又|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，|PO|2|PA|·|PB|，即xy，整理得yx2.·(2x0，y0)·(2x0，y0)(x4)y2x6.又點P在圓內(nèi)，xy4.2x3，2·0.第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考情展望1.考查根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.考查通過數(shù)形結(jié)合思想，充分利用圓的幾何性質(zhì)解決圓的切線、圓的弦長問題.3.從考查形式上看，以選擇題、填空題為主，屬中檔題一、判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法1幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr相交；dr相切；dr相離2代數(shù)法：圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0xy0yr2.二、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置關(guān)系 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況相離dr1r2無解外切dr1r2一組實數(shù)解相交|r1r2|dr1r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d|r1r2|(r1r2)無解常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：內(nèi)含時：0條；內(nèi)切：1條；相交：2條；外切：3條；外離：4條(2)當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程1圓x2y24x0在點P(1，)處的切線方程為()Axy20Bxy40Cxy40 Dxy20【解析】圓的方程為(x2)2y24，圓心坐標為(2,0)，半徑為2，點P在圓上，設(shè)切線方程為yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切線方程為y(x1)，即xy20.【答案】D2與圓C1：x2y22x6y260，C2：x2y24x2y40都相切的直線有()A1條B2條 C3條D4條【解析】把已知兩圓化為標準方程，C1：(x1)2(y3)236，C2：(x2)2(y1)21，故圓心分別為C1(1,3)，C2(2，1)兩圓圓心距|C1C2|5，等于兩圓半徑之差，故兩圓相切，它們只有一條公切線【答案】A3若圓x2y21與直線ykx2沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為_【解析】圓心到直線的距離大于半徑即1，k.【答案】(，)4過點(4，8)作圓(x7)2(y8)29的切線，則切線的方程為_【解析】設(shè)切線的方程為y8k(x4)，圓心(7，8)到直線的距離等于半徑即3無解，故切線斜率不存在，x4是切線【答案】x45(2013·陜西高考)已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交C相離 D不確定【解析】由題意知點在圓外，則a2b2>1，圓心到直線的距離d<1，故直線與圓相交【答案】B6(2013·山東高考)過點(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_【解析】設(shè)A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r2，當弦過點A(3,1)且與CA垂直時為最短弦|CA|.半弦長.最短弦長為2.【答案】2考向一 145直線與圓的位置關(guān)系在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線：xy4相切(1)求圓O的方程；(2)若圓O上有兩點M、N關(guān)于直線x2y0對稱，且|MN|2，求直線MN的方程【思路點撥】(1)利用直線與圓相切，求出圓的半徑，寫出圓的方程(2)設(shè)MN的方程為2xym0，利用|MN|2，求m值【嘗試解答】(1)依題意，圓O的半徑r等于原點O到直線xy4的距離，即r2.所以圓O的方程為x2y24.(2)由題意，可設(shè)直線MN的方程為2xym0.則圓心O到直線MN的距離d.由垂徑分弦定理得：()222，即m±.所以直線MN的方程為：2xy0或2xy0.規(guī)律方法11.與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構(gòu)成直角三角形進行求解.2.利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系.對點訓(xùn)練(1)直線xy0繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°所得直線與圓x2y24x10的位置關(guān)系是()A直線與圓相切B直線與圓相交但不過圓心C直線與圓相離D直線過圓心(2)若過點A(4,0)的直線l與曲線(x2)2y21有公共點，則直線l斜率的取值范圍為()A，B(，)C. D.【解析】(1)直線xy0的傾斜角為150°，順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后的傾斜角為120°.旋轉(zhuǎn)后的直線方程為xy0.將圓的方程化為(x2)2y23，圓心的坐標為(2,0)，半徑為，圓心到直線xy0的距離為d圓的半徑，直線和圓相切(2)依題意，設(shè)直線l的方程是yk(x4)，即kxy4k0，由題意得圓心(2,0)到直線l的距離不超過該圓的半徑，即有1，由此解得k，選C.【答案】(1)A(2)C考向二 146圓與圓的位置關(guān)系圓O1的方程為：x2(y1)24，圓O2的圓心坐標為(2,1)(1)若圓O1與圓O2相外切，求圓O2的方程；(2)若圓O1與圓O2相交于A、B兩點，且|AB|2，求圓O2的方程【思路點撥】(1)根據(jù)兩圓外切求出圓O2的半徑，便可寫出圓O2的方程(2)設(shè)出圓O2方程，求出直線AB的方程，根據(jù)點O1到直線AB的距離，列方程求解【嘗試解答】(1)圓O1的方程為：x2(y1)24，圓心O1(0，1)，半徑r12.設(shè)圓O2的半徑為r2，由兩圓外切知|O1O2|r1r2，又|O1O2|2，r2|O1O2|r122，圓O2的方程為(x2)2(y1)2128.(2)設(shè)圓O2的方程為(x2)2(y1)2r，又圓O1的方程為：x2(y1)24，兩式相減得兩圓公共弦AB所在的直線方程為：4x4yr80，作O1HAB于H，則|AH|AB|，r12，|O1H|，又|O1H|，得r4或r20，圓O2的方程為(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.規(guī)律方法21.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關(guān)系.2.若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項即可得到.3.若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦.對點訓(xùn)練(1)(2012·山東高考)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A內(nèi)切B相交C外切D相離(2)若圓x2y24與圓x2y22ay60(a0)的公共弦的長為2，則a_.【解析】(1)兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32<d<32，兩圓相交(2)兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為y，又a0，結(jié)合圖象，再利用半徑、弦長的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知1a1.【答案】(1)B(2)1考向三 147圓的切線與弦長問題已知點M(3,1)，直線axy40及圓(x1)2(y2)24.(1)過M點的圓的切線方程；(2)若直線axy40與圓相切，求a的值；(3)若直線axy40與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，求a的值【思路點撥】(1)設(shè)出圓的切線方程，利用圓的切線性質(zhì)求解，注意檢驗直線斜率不存在時的情況(2)直接利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列式求解(3)利用圓的幾何性質(zhì)：弦長|AB|2(r為半徑，d為弦心距)求解【嘗試解答】(1)圓心C(1,2)，半徑為r2，當直線的斜率不存在時，方程為x3.由圓心C(1,2)到直線x3的距離d312r知，此時，直線與圓相切當直線的斜率存在時，設(shè)方程為y1k(x3)，即kxy13k0.由題意知2，解得k.方程為y1(x3)，即3x4y50.故過M點的圓的切線方程為x3或3x4y50.(2)由題意有2，解得a0或a.(3)圓心到直線axy40的距離為，224，解得a.規(guī)律方法31.過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法,(1)幾何方法：當斜率存在時，設(shè)為k，切線方程為yy0k(xx0)，由圓心到直線的距離等于半徑求解.,(2)代數(shù)方法：當斜率存在時，設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圓方程，得一個關(guān)于x的一元二次方程，由0，求得k，切線方程即可求出.2.求圓的弦長的常用方法：(1)幾何法；(2)代數(shù)方法.對點訓(xùn)練(1)(2013·天津高考)已知過點P(2,2)的直線與圓(x1)2y25相切，且與直線axy10垂直，則a()AB1C2D.(2)(2013·安徽高考)直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長為()A1 B2 C4 D4【解析】(1)由圓的切線與直線axy10垂直，設(shè)切線方程為xayc0，再代入點(2,2)，結(jié)合圓心到切線的距離等于圓的半徑，求出a的值由題意知圓心為(1,0)，由圓的切線與直線axy10垂直，可設(shè)圓的切線方程為xayc0，由切線xayc0過點P(2,2)，c22a，解得a2.(2)先把圓的一般方程化為標準方程，求出圓心和半徑，再在圓中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求弦長圓的方程可化為C：(x1)2(y2)25，其圓心為C(1,2)，半徑R.如圖所示，取弦AB的中點P，連接CP，則CPAB，圓心C到直線AB的距離d|CP|1.在RtACP中，|AP|2，故直線被圓截得的弦長|AB|4.【答案】(1)C(2)C規(guī)范解答之十五與圓有關(guān)的探索問題求解策略1個示范例1個規(guī)范練(12分)已知圓C：x2y22x4y40.問在圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線ykx1對稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由【規(guī)范解答】圓C的方程可化為(x1)2(y2)29，圓心為C(1，2)假設(shè)在圓C上存在兩點A、B滿足條件，則圓心C(1，2)在直線ykx1上，即k1.3分于是可知，kAB1.設(shè)lAByxb，代入圓C的方程，整理得2x22(b1)xb24b40，則4(b1)28(b24b4)0，即b26b90.解得33b33.7分設(shè)點A、B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2b1，x1x2b22b2.由題意知OAOB，則有x1x2y1y20，也就是x1x2(x1b)(x2b)0.2x1x2b(x1x2)b20.10分b24b4b2bb20，化簡得b23b40.解得b4或b1，均滿足0，即直線AB的方程為xy40，或xy10.12分【名師寄語】(1)本題是與圓有關(guān)的