專題7選考模塊一、極坐標(biāo)系1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是什么?把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點,它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)、(,),則x=cos,y=sin,2=x2+y2,tan=yx(x0)(>0,0,2).2.常見的極坐標(biāo)方程有哪些?(1)直線的極坐標(biāo)方程:若直線過點M(0,0),且極軸到此直線的角為,則它的方程為sin(-)=0sin(0-).(2)幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程:直線過極點:=;直線過點M(a,0)(a>0)且垂直于極軸:cos=a;直線過點Mb,2(b>0)且平行于極軸:sin=b.(3)圓的極坐標(biāo)方程:圓心位于極點,半徑為r:=r;圓心位于點M(r,0),半徑為r:=2rcos ;圓心位于點Mr,2,半徑為r:=2rsin .二、參數(shù)方程1.圓、橢圓的參數(shù)方程是什么?(1)圓心在點M(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為x=x0+rcos,y=y0+rsin(為參數(shù),02).(2)橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acos,y=bsin(為參數(shù),02).2.將參數(shù)方程化為普通方程有哪些方法?要注意什么?將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等,一般需要對參數(shù)方程進(jìn)行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.3.直線的參數(shù)方程是什么?你能說出參數(shù)t的幾何意義嗎?經(jīng)過點P0(x0,y0),傾斜角為的直線的參數(shù)方程為x=x0+tcos,y=y0+tsin(t為參數(shù)).設(shè)P是直線上的任意一點,則t表示有向線段P0P的數(shù)量.三、絕對值不等式1.解含有絕對值的不等式有哪些方法?含有絕對值的不等式的解法:(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<-a;(2)|f(x)|<a(a>0)-a<f(x)<a;(3)對形如|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c的不等式,可利用零點分段法求解或構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的圖象求解.2.絕對值不等式的性質(zhì)有哪些?(1)如果a,b是實數(shù),那么|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時,等號成立;(2)如果a,b,c是實數(shù),那么|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時,等號成立.四、不等式證明1.常用基本不等式有哪些?(1)設(shè)a,bR,則a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.(2)如果a,b為正數(shù),那么a+b2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.(3)如果a,b,c為正數(shù),那么a+b+c33abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.(4)(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1,a2,an為正數(shù),則a1+a2+annna1a2an,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時,等號成立.2.常見的不等式證明方法有哪些?(1)比較法:依據(jù)a>ba-b>0;a<ba-b<0來證明不等式.(2)綜合法:從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理以及性質(zhì)等來證明不等式.(3)分析法:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使它成立的充分條件,直到找到使其明顯成立的已知條件或事實.綜合法和分析法經(jīng)常一起使用,分析法找思路,綜合法寫過程.(4)反證法:假設(shè)原命題不成立,通過一系列推理論證得出矛盾,從而否定假設(shè),肯定原命題成立,即正難則反的方法.選考模塊共有坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講這兩個模塊,二選一,共10分,雖然放在第22、23題的位置,但題目難度是中低檔的.坐標(biāo)系與參數(shù)方程這個模塊主要以解答題的形式考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化,利用極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程的方法解決幾何問題;不等式選講這個模塊則主要是解含絕對值的不等式、求含絕對值的函數(shù)的值域、求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍及不等式的證明,常與基本不等式、恒成立問題等結(jié)合考查.一、坐標(biāo)系與參數(shù)方程(一)高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用.1.(2018全國卷T22改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為x+3y-3=0.以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為2cos2+32sin2=3.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)曲線C1和C2交于A,B兩點,求以線段AB為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程.解析(1)曲線cos22+3sin22=3化為直角坐標(biāo)方程為x2+3y2=3,即x23+y2=1.(2)由x2+3y2=3,x=3(1-y),得y2-y=0,解得x=0,y=1或x=3,y=0,即A(0,1),B(3,0),所以|AB|=(0-3)2+(1-0)2=2,線段AB的中點為M32,12,則以線段AB為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為x-322+y-122=1.2.(2015全國卷T23改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為x-12+y2=1,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為2-4sin =3.(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)直線=3與曲線C1,C2分別交于第一象限內(nèi)的A,B兩點,求AB.解析(1)把x=cos,y=sin,代入C1的方程(x-1)2+y2=1,得(cos-1)2+(sin)2=1,化簡得曲線C1的極坐標(biāo)方程為=2cos .由C2的極坐標(biāo)方程2-4sin =3得x2+y2-4y=3,所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y-3=0.(2)依題意可設(shè)A1,3,B2,3,所以1=2cos3=1, 22-42sin3=3,即22-232-3=0,所以2=36.因為點B在一象限,所以2>0,即2=3+6, 所以AB=2-1=3+6-1.(二)參數(shù)方程主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化,常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.3.(2018全國卷T22改編)已知曲線C的參數(shù)方程為x=3cos,y=2sin(為參數(shù)),在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線C經(jīng)過伸縮變換x=23x,y=y后得到曲線C,過點(0,1)且傾斜角為的直線l與C交于A,B兩點.(1)若=23,求弦長|AB|;(2)求線段的AB的中點P的軌跡的參數(shù)方程.解析(1)將x=3cos,y=2sin代入x=23x,y=y,得C的參數(shù)方程為x=2cos,y=2sin(為參數(shù)).所以曲線C的普通方程為x2+y2=4.由已知得直線l的方程為y=-3x+1,圓心(0,0)到直線l的距離d=12,所以弦長|AB|=222-122=15.(2)因為點(0,1)在圓內(nèi),所以l與圓恒相交,0,).直線l的參數(shù)方程為x=tcos,y=1+tsin(t為參數(shù)).把l的參數(shù)方程代入x2+y2=4得t2+2tsin -3=0.設(shè)點A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=tA+tB2,于是tA+tB=-2sin ,tP=-sin .又點P的坐標(biāo)(x,y)滿足x=tPcos,y=1+tPsin,所以點P的軌跡的參數(shù)方程是x=-12sin2,y=12+12cos2(為參數(shù),0,).4.(2017全國卷T22改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)傾斜角為的直線l:x=2+tcos,y=3+tsin(t為參數(shù))與曲線C:x=2cos,y=sin(為參數(shù))相交于不同的兩點A,B.(1)若=3,求線段AB的中點M的坐標(biāo);(2)若|PA|PB|=|OP|2,其中P(2,3),求直線l的斜率.解析(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是x24+y2=1.當(dāng)=3時,設(shè)點M對應(yīng)的參數(shù)為t0,則直線l的方程為x=2+12t,y=3+32t(t為參數(shù)),代入曲線C的普通方程x24+y2=1,得13t2+56t+48=0.設(shè)直線l上的點A,B對應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2,則t0=t1+t22=-2813,代入直線l的參數(shù)方程得點M的坐標(biāo)為1213,-313.(2)將x=2+tcos,y=3+tsin代入曲線C的普通方程x24+y2=1,得(cos2+4sin2)t2+(83sin +4cos )t+12=0.因為|PA|PB|=|t1t2|=12cos2+4sin2,又|OP|2=7,所以12cos2+4sin2=7,化簡得sin2=521,所以tan2=516,解得tan =54或tan =-54.由于=(83sin +4cos )2-48(cos2+4sin2)>0,即cos (23sin -cos )>0,則tan >36.綜上,tan =54,所以直線l的斜率為54.(三)極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合也是高考命題的重點之一,以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式,同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識.5.(2017全國卷T11改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=1+cos,y=sin(為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為x=cos,y=1+sin(為參數(shù)).(1)求曲線C1和曲線C2的極坐標(biāo)方程.(2)以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線l1:=6<<2,將射線l1按順時針方向旋轉(zhuǎn)6得到射線l2:=-6,且射線l1與曲線C1交于O,P兩點,射線l2與曲線C2交于O,Q兩點,求|OP|OQ|的最大值.解析(1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為(x-1)2+y2=1,所以C1的極坐標(biāo)方程為=2cos .將曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程為x2+(y-1)2=1,所以C2的極坐標(biāo)方程為=2sin .(2)設(shè)點P的極坐標(biāo)為(1,),即1=2cos ,設(shè)點Q的極坐標(biāo)為2,-6,即2=2sin-6,則|OP|OQ|=|12|=2cos 2sin-6=4cos 32sin-12cos=23sin cos -2cos2=3sin 2-cos 2-1=2sin2-6-1.因為6<<2,所以6<2-6<56,當(dāng)2-6=2,即=3時,|OP|OQ|取最大值,最大值為1.6.(2016全國卷T23改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為sin=2,M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足OMOP=4.(1)求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程.(2)直線l的參數(shù)方程是x=tcos,y=tsin(t為參數(shù)),其中0<,l與C2交于點A,OA=3,求直線l的斜率.解析(1)設(shè)點P的極坐標(biāo)為(,)(>0),點M的極坐標(biāo)為(1,)(1>0),由題意可知OP=,OM=1=2sin.由OPOM=4得曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2sin >0,點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-1)2=1(y0).(2)(法一)由直線的參數(shù)方程可知,直線l過原點且傾斜角為,則直線l的極坐標(biāo)方程為=,聯(lián)立=,=2sin(>0),點A的極坐標(biāo)為(2sin ,).OA=2sin =3,得sin=32,解得=3或=23,tan =3或tan =-3,直線l的斜率為3或-3.(法二)由題意OA=32分析可知直線l的斜率一定存在,且由直線l的參數(shù)方程可得,直線l過原點.設(shè)直線l的普通方程為y=kx,點(0,1)到l的距離d=11+k2=1-322,可得k=3,直線l的斜率為3或-3.二、不等式選講(一)不等式選講主要有考查解絕對值不等式,求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍,難度不大,主要考查基本運(yùn)算能力、推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.1.(2018全國卷T23改編)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-a|.(1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)>5的解集;(2)對任意實數(shù)x,都有f(x)3成立,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)f(x)=|x+1|+|x-a|,當(dāng)a=2時,f(x)=|x+1|+|x-2|=-2x+1,x<-1,3,-1x2,2x-1,x>2.又f(x)>5,x<-1,-2x+1>5或-1x2,3>5或x>2,2x-1>5,x<-1,x<-2或x或x>2,x>3,x<-2或x>3,f(x)>5的解集為(-,-2)(3,+).(2)f(x)=|x+1|+|x-a|a+1|,當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-a)0時,等號成立,f(x)min=|a+1|.又對任意實數(shù)x,都有f(x)3成立,f(x)min3,|a+1|3,a+13或a+1-3,a2或a-4.故實數(shù)a的取值范圍為(-,-42,+).2.(2018全國卷T23改編)已知函數(shù)fx=2x-1+x-2.(1)在給出的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)fx的圖象,并寫出不等式f(x)3的解集;(不要求寫出解題過程)(2)若不等式fx1m+1n(m,n>0)對任意的xR恒成立,求m+n的最小值.解析(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.從圖中可知,不等式fx3的解集為(-,02,+).(2)由(1)知,f(x)min=32,所以f(x)1m+1n恒成立,即f(x)min1m+1n,所以1m+1n32,所以m+nmn32.因為m,n>0,所以m+n32mn32m+n22,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號.所以m+n83,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=43時,等號成立,故m+n的最小值為83.(二)不等式選講還有考查不等式證明,主要通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法.常與基本不等式、恒成立問題結(jié)合考查.3.(2017全國卷T5改編)設(shè)a>0,b>0,且a2b+ab2=2,求證:(1)a3+b32;(2)(a+b)(a5+b5)4.解析(1)a>0,b>0,a2b+ab2=2,(a3+b3)-2=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)0,a3+b32.(2)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2-2a3b3+a5b+ab5=(a3+b3)2+ab(a4-2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2-b2)2,a>0,b>0,a3+b32,(a+b)(a5+b5)22=4.4.(2016全國卷T24改編)已知函數(shù)f(x)=x-1-x+2.(1)求不等式-2<fx<0的解集A.(2)若m,nA,證明:1-4mn>2m-n.解析(1)依題意得f(x)=|x-1|-x+2=3,x-2,-2x-1,-2<x<1,-3,x1.由-2<-2x-1<0,解得-12<x<12,故A=-12,12.(2)由(1)可知,m2<14,n2<14.因為1-4mn2-4m-n2=(1-8mn+16m2n2)-4(m2-2mn+n2)=(4m2-1)(4n2-1)>0, 所以1-4mn2>4m-n2,即1-4mn>2|m-n|.1.在已知極坐標(biāo)方程求與曲線有關(guān)的交點、距離、線段長等幾何問題時,如果不能直接用極坐標(biāo)解決,或用極坐標(biāo)解決較麻煩,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決.2.過定點P0(x0,y0),傾斜角為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為x=x0+tcos,y=y0+tsin(t為參數(shù)),t的幾何意義是P0P的數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負(fù)之分.使用該式時直線上任意兩點P1,P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為12(t1+t2).3.絕對值不等式的三種常用解法:零點分段法、幾何法(利用絕對值幾何意義)、構(gòu)造函數(shù)法.零點分段法體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4.利用絕對值三角不等式定理|a|-|b|ab|a|+|b|求函數(shù)的最值,要注意其中等號成立的條件,利用基本不等式求最值也必須滿足等號成立的條件.不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決.5.分析法是證明不等式的重要方法,當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系,較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時,可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.