2019高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓10 圓錐曲線中的綜合問題 文.doc
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2019高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓10 圓錐曲線中的綜合問題 文.doc
專題限時集訓(十)圓錐曲線中的綜合問題(建議用時:60分鐘)1(2018北京模擬)已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,且過點.(1)求橢圓C的方程;(2)過橢圓C的左焦點的直線l1與橢圓C交于A,B兩點,直線l2過坐標原點且與直線l1的斜率互為相反數(shù)若直線l2與橢圓交于E,F(xiàn)兩點且均不與點A,B重合,設直線AE與x軸所成的銳角為1,直線BF與x軸所成的銳角為2,判斷1與2的大小關系并加以證明解(1)由題可得解得.所以橢圓C的方程為y21.(2)結(jié)論:12,理由如下:由題知直線l1斜率存在,設l1:yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立,消去y得(12k2)x24k2x2k220,由題易知0恒成立,由根與系數(shù)的關系得x1x2,x1x2,因為l2與l1斜率相反且過原點,設l2:ykx,E(x3,y3),F(xiàn)(x4,y4),聯(lián)立消去y得(12k2)x220,由題易知0恒成立,由根與系數(shù)的關系得x3x40,x3x4,因為E,F(xiàn)兩點不與A,B重合,所以直線AE,BF存在斜率kAE,kBF,則kAEkBFkkk0,所以直線AE,BF的傾斜角互補,所以12.2(2018棗莊模擬)已知拋物線C:y22px(0<p<1)上的點P(m,1)到其焦點F的距離為.(1)求C的方程;(2)已知直線l不過點P且與C相交于A,B兩點,且直線PA與直線PB的斜率之積為1,證明:l過定點解(1)由題意,得2pm1,即m.由拋物線的定義,得|PF|m.由題意,解得p,或p2(舍去)所以C的方程為y2x.(2)證明:設直線PA的斜率為k(顯然k0),則直線PA的方程為y1k(x1),則ykx1k.由消去y并整理得k2x22k(1k)1x(1k)20.設A(x1,y1),由根與系數(shù)的關系,得1x1,即x1.y1kx11kk1k1.所以A.由題意,直線PB的斜率為.同理可得B,即B(k1)2,k1)若直線l的斜率不存在,則(k1)2.解得k1,或k1.當k1時,直線PA與直線PB的斜率均為1,A,B兩點重合,與題意不符;當k1時,直線PA與直線PB的斜率均為1,A,B兩點重合,與題意不符所以,直線l的斜率必存在直線l的方程為y(k1),即yx1.所以直線l過定點(0,1)3(2018鄭州模擬)已知動圓E經(jīng)過點F(1,0),且和直線l:x1相切(1)求該動圓圓心E的軌跡G的方程;(2)已知點A(3,0),若斜率為1的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過坐標原點O和點A),且與曲線G交于B、C兩點,求ABC面積的最大值解(1)由題意可知點E到點F距離等于點E到直線l距離,所以動點E的軌跡是以F(1,0)為焦點,直線x1為準線的拋物線,故:曲線G的方程是y24x.(2)設直線l的方程為yxm,其中3<m<0.聯(lián)立方程組,消去y,得x2(2m4)xm20,(2m4)24m216(1m)恒大于零,設A(x1,y1),B(x2,y2),由求根公式得:x1x242m,x1x2m2,|AB|4,點A到直線l的距離為d,S42(3m)令t(1,2),則m1t2,S2t(4t2)8t2t3,令f(t)8t2t3,f(t)86t2.yf(t)在上遞增,在上遞減yf(t)在t時即m時取得最大值ABC的最大面積為.4(2018江西六校聯(lián)考)已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率與雙曲線1的離心率互為倒數(shù),且過點P.(1)求橢圓C的方程;(2)過P作兩條直線l1,l2與圓(x1)2y2r2(0r)相切且分別交橢圓于M、N兩點求證:直線MN的斜率為定值;求MON面積的最大值(其中O為坐標原點)解(1)可得e,設橢圓的半焦距為c,所以a2c,因為C過點P,所以1,又c2b2a2,解得a2,b,所以橢圓方程為1.(2)證明:顯然兩直線l1,l2的斜率存在,設為k1,k2,M(x1,y1),N(x2,y2),由于直線l1,l2與圓(x1)2y2r2(0r)相切,則有k1k2,直線l1的方程為yk1(x1),聯(lián)立方程組消去y,得x2(4k3)k1(128k1)x(32k1)2120,因為P,M為直線與橢圓的交點,所以x11,同理,當l2與橢圓相交時,x21,所以x1x2,而y1y2k1(x1x2)2k1,所以直線MN的斜率k.設直線MN的方程為yxm,聯(lián)立方程組消去y得x2mxm230,所以|MN|,原點O到直線的距離d,OMN面積為S,當且僅當m22時取得等號經(jīng)檢驗,存在r(0r),使得過點P的兩條直線與圓(x1)2y2r2相切,且與橢圓有兩個交點M,N.所以OMN面積的最大值為.