第九章平面解析幾何第1課時(shí)直線的傾斜角與斜率了解確定直線位置的幾何要素（兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定點(diǎn)和斜率）.對(duì)直線的傾斜角、斜率的概念要理解，能牢記過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式并掌握斜率公式的推導(dǎo)，了解直線的傾斜角的范圍.理解直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，能根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率. 在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素. 理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.1. （原創(chuàng)）設(shè)m為常數(shù)，則過(guò)點(diǎn)A（2，1），B（2，m）的直線的傾斜角是.答案：90解析：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A（2，1），B（2，m）的直線x2垂直于x軸，故其傾斜角為90.2. （必修2P80練習(xí)1改編）若過(guò)點(diǎn)M（2，m），N（m，4）的直線的斜率等于1，則m的值為.答案：1解析：由1，得m24m，解得m1.3. （原創(chuàng)）若直線l的斜率k的變化范圍是1，則它的傾斜角的變化范圍是.答案：解析：由1k，即1tan ， .4. （必修2P80練習(xí)6改編）已知兩點(diǎn)A（4，0），B（0，3），點(diǎn)C（8，a）在直線AB上，則a.答案：3解析：由kABkBC得，解得a3.5. （必修2P80練習(xí)4改編）若直線l沿x軸的負(fù)方向平移2個(gè)單位，再沿y軸的正方向平移3個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置，則直線l的斜率為.答案：解析：設(shè)直線上任一點(diǎn)為（x，y），平移后的點(diǎn)為（x2，y3），利用斜率公式得直線l的斜率為.1. 直線傾斜角的定義在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角，并規(guī)定：與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0；直線的傾斜角的取值范圍是0，）.2. 直線斜率的定義傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示，即ktan .由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，傾斜角不同的直線其斜率也不同.3. 過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線，當(dāng)x1x2時(shí)，斜率公式為ktan ，該公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)；當(dāng)x1x2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90.備課札記,1直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系),1)如果三條直線l1，l2，l3的傾斜角分別為1，2，3，其中l(wèi)1：xy0，l2：x2y0，l3：x3y0，則1，2，3從小到大的排列順序?yàn)?答案：123解析：由tan 1k11>0，所以1.tan 2k2<0，所以2，2>1.tan 3k3<0，所以3，3>1，而<，正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以3>2.綜上，1<2<3.變式訓(xùn)練已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（4，2y1），B（2，3）的直線的傾斜角為，則y的值為.答案：3解析：由y2tan ，得y21，所以y3.,2求直線的傾斜角和斜率),2)已知兩點(diǎn)A（1，5），B（3，2），直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求直線l的斜率.解：設(shè)直線l的傾斜角為，則直線AB的傾斜角為2，由題意可知tan 2， .整理得3tan28tan 30，解得tan 或tan 3. tan 2>0， 0<2<90， 0<<45， tan >0，故直線l的斜率為.變式訓(xùn)練如圖，已知直線l1的傾斜角130，直線l1l2，求直線l1，l2的斜率.解：直線l1的斜率k1tan 1tan 30. 直線l2的傾斜角29030120， 直線l2的斜率k2tan 120tan（18060）tan 60.,3求直線的傾斜角和斜率的取值范圍),3)已知兩點(diǎn)A（3，4），B（3，2），過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線l與線段AB有公共點(diǎn).（1） 求直線l的斜率k的取值范圍；（2） 求直線l的傾斜角的取值范圍.解：如圖，由題意可知，kPA1，kPB1.（1） 要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（，11，）.（2） 由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間.又PB的傾斜角是45，PA的傾斜角是135，所以的取值范圍是45，135.變式訓(xùn)練若直線mxy10與連結(jié)點(diǎn)A （3，2），B （2，3）的線段相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：直線的斜率為km，且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（0，1），因?yàn)橹本€PA，PB的斜率分別為1，2，所以斜率k的取值范圍是（，12，），即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（，21，）.1. 已知A（1，2），B（0，a），C（a，0）三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)所在直線的傾斜角的大小是.答案：120解析：若a0，則點(diǎn)B，C重合，不合題意.由A，B，C三點(diǎn)共線得kABkBC，即，解得a1，所以B（0，）.此三點(diǎn)所在直線的斜率kAB，即tan .又0180，所以120.2. 直線xcos y20的傾斜角的取值范圍是.答案：解析：由直線的方程可知其斜率k.設(shè)直線的傾斜角為，則tan ，且0，），所以.3. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值.解：如圖，由于點(diǎn)（x，y）滿足關(guān)系式2xy8，且2x3可知，點(diǎn)P（x，y）在線段AB上移動(dòng)，并且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分別為A（2，4），B（3，2）.由于的幾何意義是直線OP的斜率，且kOA2，kOB，所以的最大值為2，最小值為.4. 已知直線kxyk0與射線3x4y50（x1）有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：kxyk0k（x1）y0，直線過(guò)定點(diǎn)（1，0）由題意作圖可得：由題意可看出： k.（或者由兩直線方程聯(lián)立，消去y得x1，即0k或k）1. 已知x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)Q（，1）連線所成直線的傾斜角為30，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.答案：（2，0）解析：設(shè)P（x，0），由題意得kPQtan 30，即，解得x2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）.2. 如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則它們的大小關(guān)系為.答案：k1k3k2解析：直線l1的傾斜角1是鈍角，故k10，直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角，且23，所以0k3k2，因此k1k3k2.3. 已知函數(shù)f（x）asin xbcos x.若ff，則直線axbyc0的傾斜角為.答案：解析：由ff知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，所以f（0）f，所以ba，所以直線axbyc0的斜率為1.設(shè)直線axbyc0的傾斜角為，則tan 1，因?yàn)?，），所以，即直線axbyc0的傾斜角為.4. 若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是.答案：解析：如圖，直線l：ykx過(guò)定點(diǎn)P（0，）.又A（3，0），所以kPA，所以直線l的斜率范圍為，由于直線的傾斜角的取值范圍為0，），所以滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是.1. 求斜率要熟記斜率公式：k，該公式與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)（x1x2）時(shí)，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率.當(dāng)x1x2，y1y2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90.2. 要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，傾斜角與斜率的關(guān)系是ktan （90），其中為傾斜角，因此求傾斜角的取值范圍通常需從斜率的范圍入手，而求斜率的范圍則常需考慮傾斜角的取值范圍，但都需要利用正切函數(shù)的性質(zhì)，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，注意直線傾斜角的范圍是0，），而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論.由正切函數(shù)圖象可以看出當(dāng)時(shí)，斜率k0，）；當(dāng)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)時(shí)，斜率k（，0）.第2課時(shí)直線的方程（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)（文）123124頁(yè)、（理）128129頁(yè)）掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式）的特點(diǎn)與適用范圍；能根據(jù)問(wèn)題的具體條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程；了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系. 在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素. 掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.1. （必修2P82練習(xí)1（1）（4）改編）過(guò)點(diǎn)P（2，0），且斜率為3的直線的方程是.答案：y3x6解析：設(shè)所求直線方程為y3xb，由題意可知3（2）b0， b6，故y3x6.2. （必修2P87練習(xí)4改編）如果axbyc0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿足條件.答案：a0且bc0解析：axbyc0表示的直線是y軸，即x0， bc0，a0.3. （必修2P87練習(xí)1改編）直線1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為.答案：1解析：令x0，得y4；令y0，得x3.故直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為431.4. （必修2P85練習(xí)4改編）下列說(shuō)法中正確的是.（填序號(hào)） 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0（x0，y0）的直線都可以用方程yy0k（xx0）表示； 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，b）的直線都可以用方程ykxb表示； 不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程1表示； 經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線都可以用方程（yy1）（x2x1）（xx1）（y2y1）表示.答案：解析：對(duì)于，斜率有可能不存在，對(duì)于，截距也有可能為0.5. （必修2P85練習(xí)2（2）（3）改編）若一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），且在y軸上的截距與直線2xy10在y軸上的截距相等，則該直線的方程是.答案：3xy10解析：直線2xy10在y軸上的截距為1，由題意，所求直線過(guò)點(diǎn)（0，1），又所求直線過(guò)點(diǎn)P（1，2），故由兩點(diǎn)式得直線方程為，即3xy10.1. 直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k（xx1）不含直線xx1斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1（x1x2）和直線yy1（y1y2）截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式AxByC0（A，B不全為0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2. 過(guò)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線方程（1） 當(dāng)x1x2，且y1y2時(shí)，直線垂直于x軸，方程為xx1.（2） 當(dāng)x1x2，且y1y2時(shí)，直線垂直于y軸，方程為yy1.（3） 當(dāng)x1x20，且y1y2時(shí)，直線即為y軸，方程為x0.（4） 當(dāng)x1x2，且y1y20時(shí)，直線即為x軸，方程為y0.（5） 直線的斜率k與傾斜角之間的關(guān)系如下表：0（0，90）90（90，180）k0（0，）不存在（，0）3. 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.,1求直線方程),1)已知直線l過(guò)點(diǎn)P（5，2），分別求滿足下列條件的直線方程.（1） 直線l在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍；（2） 直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.解：（1） 當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為， 直線方程為yx，即2x5y0；當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為1，將x5，y2代入得a， 直線方程為x2y90.綜上，直線l的方程為2x5y0或x2y90.（2） 顯然直線與坐標(biāo)軸不垂直. 直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（5，2），且能與坐標(biāo)軸圍成三角形， 可設(shè)直線l的方程為y2k（x5）（k0），則直線在x軸上的截距為5，在y軸上的截距為25k，由題意，得|5|25k|，即（5k2）25|k|.當(dāng)k>0時(shí)，原方程可化為（5k2）25k，解得k或k；當(dāng)k<0時(shí)，原方程可化為（5k2）25k，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；故直線l的方程為y2（x5）或y2（x5），即x5y50或4x5y100.變式訓(xùn)練求過(guò)點(diǎn)（3，4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12的直線方程.解：由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為1，又直線過(guò)點(diǎn)（3，4），從而1，解得a4或a9.故所求直線方程為4xy160或x3y90.,2含參直線方程問(wèn)題),2)已知直線l：kxy12k0 （kR）.（1） 求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；（2） 若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；（3） 若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.（1） 證明：直線l的方程是k（x2）（1y）0，令解得 無(wú)論k取何值，直線l總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2，1）.（2） 解：由方程知，當(dāng)k0時(shí)直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有解得k>0；當(dāng)k0時(shí)，直線為y1，符合題意，故k0.（3） 解：由l的方程，得A，B（0，12k）.依題意得解得k>0. SOAOB|12k|（224）4，“”成立的條件是k>0且4k，即k， Smin4，此時(shí)l：x2y40.變式訓(xùn)練已知直線l的方程為（m22m3）x（2m2m1）y62m0.（1） 求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2） 若直線l的斜率不存在，求實(shí)數(shù)m的值；（3） 若直線l在x軸上的截距為3，求實(shí)數(shù)m的值；（4） 若直線l的傾斜角是45，求實(shí)數(shù)m的值.解：（1） 當(dāng)x，y的系數(shù)不同時(shí)為零時(shí)，方程表示一條直線，令m22m30，解得m1或m3；令2m2m10解得m1或m.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（，1）（1，）.（2） 由（1）易知，當(dāng)m時(shí)，方程表示的直線的斜率不存在.（3） 依題意，有3，所以3m24m150，所以m3或m，由（1）知所求m.（4） 因?yàn)橹本€l的傾斜角是45，所以斜率為1.由1，解得m或m1（舍去）.所以當(dāng)直線l的傾斜角為45時(shí)，m.,3直線方程的綜合應(yīng)用),3)為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪（如圖），另外EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則E（30，0），F(xiàn)（0，20）， 線段EF的方程為1（0x30）.在線段EF上取點(diǎn)P（m，n），作PQBC于點(diǎn)Q，PRCD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，則SPQPR（100m）（80n）.又1（0m30）， n20. S（100m）（m5）2（0m30）. 當(dāng)m5時(shí)，S有最大值， 當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC，CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)距AD邊5 m時(shí)，草坪面積最大.如圖，互相垂直的兩條道路l1，l2相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P與l1，l2的距離分別為2千米、3千米，過(guò)點(diǎn)P建一條直線道路AB，與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn).（1） 當(dāng)BAO45時(shí)，試求OA的長(zhǎng)；（2） 若使AOB的面積最小，試求OA，OB的長(zhǎng).解：以l1為x軸，l2為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則O（0，0），P（3，2）.（1） 由BAO45知，OAOB，可設(shè)A（a，0），B（0，a）（a0），直線l的方程為1. 直線l過(guò)點(diǎn)P（3，2）， 1a5，即OA5千米.（2） 設(shè)A（a，0），B（0，b）（a0，b0），則直線l的方程為1. 直線l過(guò)點(diǎn)P（3，2）， 1，b（a3）.從而SABOaba，令a3t，t0，則a2（t3）2t26t9，故有SABOt6（t0）.設(shè)f（t）t6，可證f（t）在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，）上單調(diào)遞增， 當(dāng)t3時(shí)，f（t）minf（3）12，此時(shí)a6，b4，直線l的方程為1，即OA6千米，OB4千米.1. 若直線（2m2m3）x（m2m）y4m1 在x軸上的截距為1，則實(shí)數(shù)m的值是.答案：2或解析：令y0，則（2m2m3）x4m1， x1， m2或.2. 若方程（a2a2）x（a2a6）ya10表示垂直于y軸的直線，則a為.答案：1解析：因?yàn)榉匠瘫硎敬怪庇趛軸的直線，所以a2a20且a2a60，解得a1.3. 已知直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)OAOB取得最小值時(shí)，直線l的方程是.答案：xy20解析：設(shè)A（a，0），B（0，b）（a>0，b>0），直線l的方程為1，已知直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），則OAOBab（ab）2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為xy20.4. 已知直線l過(guò)點(diǎn)（0，5），且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則直線l的方程為.答案：5x3y150解析： 直線過(guò)點(diǎn)（0，5）， 直線在y軸上的截距為5. 在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2， 直線在x軸上的截距為3. 直線l的方程為1，即5x3y150.5. 已知在ABC中，A（1，4），B（6，6），C（2，0）.求（1） ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；（2） BC邊的中線所在直線的一般式方程和截距式方程.解：（1） 平行于BC邊的中位線就是AB，AC中點(diǎn)的連線.因?yàn)榫€段AB，AC中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以這條直線的方程為，整理得6x8y130，化為截距式方程為1.（2） 因?yàn)锽C邊上的中點(diǎn)為（2，3），所以BC邊上的中線所在直線的方程為，即7xy110，化為截距式方程為1.1. 若方程（2m2m3）x（m2m）y4m10表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足條件.答案：m1解析：2m2m3，m2m不能同時(shí)為0.2. 若直線（2t3）x2yt0不經(jīng)過(guò)第二象限，則t的取值范圍是.答案：解析：直線方程可化為yx，由題意得解得0t.3. 不論m取何值，直線（m1）xy2m10恒過(guò)定點(diǎn).答案：（2，3）解析：把直線方程（m1）xy2m10，整理得（x2）m（xy1）0，則解得4. 已知直線x2y2與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在線段AB上，則ab的最大值為.答案：解析：由題意知A（2，0），B（0，1），所以線段AB的方程可表示為y1，x0，2.又動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在線段AB上，所以b1，a0，2.又b2，所以12，解得0ab，當(dāng)且僅當(dāng)b，即P時(shí)，ab取得最大值.5. 已知兩直線a1xb1y10和a2xb2y10的交點(diǎn)為P（2，3），求過(guò)兩點(diǎn)Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1a2）的直線方程.解：由題意，知P（2，3）在已知直線上， 2（a1a2）3（b1b2）0，即， 所求直線方程為yb1（xa1）， 2x3y（2a13b1）0，即2x3y10.1. 在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件.用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線.故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；而選用兩點(diǎn)式時(shí)不要忽視與坐標(biāo)軸垂直的情況.2. 解決直線方程的綜合問(wèn)題時(shí)，除靈活選擇方程的形式外，還要注意題目中的隱含條件，若與最值或范圍相關(guān)的問(wèn)題可考慮構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值.備課札記第3課時(shí)直線與直線的位置關(guān)系（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)（文）125126頁(yè)、（理）130131頁(yè)）能熟練掌握兩條直線平行和垂直的條件并靈活運(yùn)用，把研究?jī)蓷l直線的平行或垂直問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓷l直線斜率的關(guān)系問(wèn)題；能判斷兩條直線是否相交并求出交點(diǎn)坐標(biāo)，體會(huì)兩條直線相交與二元一次方程組的關(guān)系；理解兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式證明幾何問(wèn)題；點(diǎn)到直線距離公式的理解與應(yīng)用.1 能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直. 能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 掌握兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.1. （原創(chuàng)）“a3”是“直線ax3y1與直線xy1平行”的條件.答案：充要解析：若a3，直線ax3y1與直線xy1顯然平行；若直線ax3y1與直線xy1平行，由 ，易得a3.2. （必修2P93練習(xí)6改編）過(guò)點(diǎn)P（1，3）且垂直于直線x2y30的直線方程為.答案：2xy10解析：設(shè)直線方程為2xyc0，又直線過(guò)點(diǎn)P（1，3），則23c0，c1，即所求直線方程為2xy10.3. （必修2P95練習(xí)3改編）若三條直線2x3y80，xy10和xky0相交于一點(diǎn)，則k.答案：解析：由解得 點(diǎn)（1，2）在xky0上，即12k0， k.4. （必修2P105練習(xí)1改編）已知點(diǎn)（a，2）（a0）到直線l：xy30的距離為1，則a.答案：1解析：由題意知1， |a1|.又 a0， a1.5. （必修2P106習(xí)題10改編）與直線7x24y5平行，并且距離等于3的直線方程是.答案：7x24y700或7x24y800解析：設(shè)直線方程為7x24yc0，則d3， c70或80.1. 兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程yk1xb1yk2xb2A1xB1yC10（AB0）A2xB2yC20（AB0）相交k1k2A1B2A2B10（當(dāng)A2B20時(shí)，）垂直k1或k1k21A1A2B1B20（當(dāng)B1B20時(shí)，1）平行k1k2且b1b2或（當(dāng)A2B2C20時(shí)，記為）重合k1k2且b1b2A1A2，B1B2，C1C2（0）（當(dāng)A2B2C20時(shí)，記為）2. 兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)坐標(biāo).若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立.若方程組有無(wú)數(shù)組解，則兩條直線重合.3. 幾種距離（1） 兩點(diǎn)間的距離：平面上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）間的距離公式：d（A，B）AB.（2） 點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P（x1，y1）到直線l：AxByC0的距離d.（3） 兩條平行線間的距離：兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d.4. 常見(jiàn)的三大直線系方程（1） 與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0（mR且mC）.（2） 與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0（mR）.（3） 過(guò)直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（R），但不包括l2.5. 中心對(duì)稱（1） 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：若點(diǎn)M（x1，y1）與N（x，y）關(guān)于P（a，b）對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解.（2） 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題的主要解法：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用l1l2，由點(diǎn)斜式得到所求的直線方程.6. 軸對(duì)稱（1） 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）關(guān)于直線l：AxByC0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，且連結(jié)P1P2的直線垂直于對(duì)稱軸l，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)（x2，y2）（其中A0，x1x2）.特別地，若直線l：AxByC0滿足|A|B|，則P1（x1，y1）與P2（x2，y2）坐標(biāo)關(guān)系為（2） 直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行.備課札記,1兩直線的平行與垂直),1)已知兩直線l1：axby40和l2：（a1）xyb0，求滿足下列條件的a，b的值：（1） l1l2，且直線l1過(guò)點(diǎn)（3，1）；（2） l1l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.解：（1） l1l2， a（a1）b0. 直線l1過(guò)點(diǎn)（3，1）， 3ab40.故a2，b2.（2） 直線l2的斜率存在，l1l2， 直線l1的斜率存在. k1k2，即1a. 坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等， l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b.故a2，b2或a，b2.變式訓(xùn)練已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，a），B（a1，2），直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，2），D（2，a2），分別在下列條件下求a的值：（1） l1l2；（2） l1l2.解：設(shè)直線l2的斜率為k2，則k2.（1） 若l1l2，則直線l1的斜率k1.又k1，則，解得a1或a6.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a1或a6時(shí)，l1l2. （2） 若l1l2. 當(dāng)k20時(shí)，此時(shí)a0，k1，不符合題意. 當(dāng)k20時(shí)，直線l2的斜率存在，此時(shí)k1.由k2k11，得1，解得a3或a4.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a3或a4時(shí)，l1l2.,2兩直線的交點(diǎn)),2)已知ABC的頂點(diǎn)B（3，4），AB邊上的高CE所在直線方程為2x3y160，BC邊上的中線AD所在直線方程為2x3y10，求AC的長(zhǎng).解： kCE ，ABCE， kAB， 直線AB的方程為3x2y10.由解得A（1，1），設(shè)C（a，b）， 則D， C點(diǎn)在CE上，BC的中點(diǎn)D在AD上， 得C（5，2），由兩點(diǎn)間距離公式得AC的長(zhǎng)為.變式訓(xùn)練已知ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2xy50，AC邊上的高BH所在直線方程為x2y50，求直線BC的方程.解：依題意知：kAC2，A（5，1）， lAC：2xy110.聯(lián)立lAC，lCM得 C（4，3）.設(shè)B（x0，y0），則AB的中點(diǎn)M為，代入2xy50，得2x0y010， B（1，3）， kBC， 直線BC的方程為y3（x4），即6x5y90.,3點(diǎn)到直線及兩平行直線之間的距離),3)已知點(diǎn)P（2，1）.（1） 求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；（2） 求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？（3） 是否存在過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1） 過(guò)P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），可見(jiàn)，過(guò)P（2，1）且垂直于x軸的直線滿足條件.此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y1k（x2），即kxy2k10.由已知，得2，解得k.此時(shí)l的方程為3x4y100.綜上，直線l的方程為x2或3x4y100.（2） 過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)P點(diǎn)且與OP垂直的直線，由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直線方程的點(diǎn)斜式得y12（x2），即2xy50.即直線2xy50是過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為.（3） 不存在.理由：由（2）可知，過(guò)P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離大于的直線，因此不存在過(guò)P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線.已知直線l經(jīng)過(guò)直線l1：2xy50與l2：x2y0的交點(diǎn).（1） 若點(diǎn)A（5，0）到l的距離為3，求直線l的方程；（2） 求點(diǎn)A（5，0）到直線l的距離的最大值.解：（1） 由直線l經(jīng)過(guò)直線l1與l2交點(diǎn)知，其直線系方程為（2xy5）（x2y）0，即（2）x（12）y50. 點(diǎn)A（5，0）到直線l的距離為3， 3，即22520， 2或， 直線l的方程為x2或4x3y50.（2） 設(shè)直線l1與l2的交為P，由解得P（2，1），如圖，過(guò)點(diǎn)P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則dPA（當(dāng)lPA時(shí)等號(hào)成立）. dmaxPA.,4對(duì)稱問(wèn)題),4)已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A（1，2）.求：（1） 點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2） 直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m的方程；（3） 直線l關(guān)于點(diǎn)A（1，2）對(duì)稱的直線l的方程.解：（1） 設(shè)A（x，y），由已知得解得 A.（2） 在直線m上任取一點(diǎn)，如M（2，0），則M（2，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M（a，b），則解得M.設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由解得N（4，3）. m經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（4，3）， 由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x46y1020.（3） 設(shè)P（x，y）為l上任意一點(diǎn)，則P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（1，2）的對(duì)稱點(diǎn)為P（2x，4y）. P在直線l上， 2（2x）3（4y）10，即2x3y90.光線通過(guò)點(diǎn)A（2，3），在直線l：xy10上反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，1），試求入射光線和反射光線所在直線的方程.解：設(shè)點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A（x0，y0），則解得A（4，3）.由于反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，3）和B（1，1），所以反射光線所在直線的方程為，即4x5y10.解方程組得反射點(diǎn)P.所以入射光線所在直線的方程為，即5x4y20.1. （2016上海卷文）已知平行直線l1：2xy10，l2：2xy10，則l1，l2的距離為.答案：解析：利用兩平行線間距離公式得d.2. 將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（4，0）重合，且點(diǎn)（7，3）與點(diǎn)（m，n）重合，則mn的值是.答案：解析：點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（4，0）關(guān)于y12（x2）對(duì)稱，則點(diǎn)（7，3）與點(diǎn)（m，n）也關(guān)于y12（x2）對(duì)稱，則解得 mn.3. 已知l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A（1，1），B（0，1）兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是.答案：x2y30解析：當(dāng)直線AB與l1，l2垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大.因?yàn)锳（1，1），B（0，1），所以kAB2，所以兩平行直線的斜率為k，所以直線l1的方程是y1（x1），即x2y30.4. 在平面直角坐標(biāo)系中，到點(diǎn)A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是.答案：（2，4）解析：設(shè)P為平面上一點(diǎn)，則由三角形兩邊之和大于第三邊知PAPCAC，PBPDBD，所以四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)到四點(diǎn)距離之和最小，直線AC的方程為y22（x1），直線BD的方程為y5（x1），由得交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）.5. ABC的兩條高所在直線的方程分別為2x3y10和xy0，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），求BC邊所在直線的方程.解：可以判斷A不在所給的兩條高所在的直線上，則可設(shè)AB，AC邊上的高所在直線的方程分別為2x3y10，xy0，則可求得AB，AC邊所在直線的方程分別為y2（x1），y2x1，即3x2y70，xy10.由得B（7，7），由得C（2，1），所以BC邊所在直線的方程為2x3y70.1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：（2k1）xky10，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為.答案：解析：直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，2），原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值即為OP.2. 若過(guò)點(diǎn)P（1，2）作一直線l，使點(diǎn)M（2，3）和點(diǎn)N（4，1）到直線l的距離相等，則直線l的方程為.答案：2xy40或x2y50解析：當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)時(shí)，其方程為x2y50；當(dāng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線平行于直線l時(shí)，直線l的方程為2xy40.3. 已知直線ykx2k1與直線yx2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.答案：解析：由方程組解得（若2k10，即k，則兩直線平行） 交點(diǎn)坐標(biāo)為. 交點(diǎn)位于第一象限， 解得k. 實(shí)數(shù)k的取值范圍是.4. 已知直線l1：2xy20和直線l2：x2y10關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的斜率為.答案：3或解析：（解法1）在直線l上任取一點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離相等.，整理得，直線l的方程為3xy30或x3y10，所以直線l的斜率為3或.（解法2）設(shè)l1的傾斜角為.因?yàn)閘1l2，所以l的傾斜角為，所以直線l的斜率為tan.因?yàn)閠an 2，所以tan3，tan，所以直線l的斜率為3或.1. 在兩條直線的位置關(guān)系中，討論最多的還是平行與垂直，它們是兩條直線的特殊位置關(guān)系.解題時(shí)認(rèn)真畫(huà)出圖形，有助于快速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.判斷兩直線平行與垂直時(shí)，不要忘記考慮斜率不存在的情形，利用一般式則可避免分類討論.2. 運(yùn)用公式d求兩平行直線間的距離時(shí)，一定要把x，y項(xiàng)系數(shù)化為相等的系數(shù).3. 對(duì)稱思想是高考熱點(diǎn)，主要分為中心對(duì)稱和軸對(duì)稱兩種，關(guān)鍵要把握對(duì)稱問(wèn)題的本質(zhì)，必要情況下可與函數(shù)的對(duì)稱軸建立聯(lián)系.備課札記第4課時(shí)圓 的 方 程（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)（文）127128頁(yè)、（理）132133頁(yè)）了解確定圓的幾何要素（圓心、半徑、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)等）；掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.能根據(jù)問(wèn)題的條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程；理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系并會(huì)進(jìn)行互化.1. （必修2P111練習(xí)4改編）圓x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是.答案：（2，3）解析：由（x2）2（y3）213知，圓心坐標(biāo)為（2，3）.2. （必修2P111習(xí)題7改編）已知圓C經(jīng)過(guò)A（5，1），B（1，3）兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案：（x2）2y210解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），易知，解得a2， 圓心為（2，0），半徑為， 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x2）2y210.3. （必修2P111練習(xí)6改編）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（1，1），B（1，4），C（4，2）的圓的一般方程為.答案：x2y27x3y20解析：設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0.將A，B，C三點(diǎn)代入，整理得方程組解得 所求圓的一般方程為x2y27x3y20.4. 已知點(diǎn)P（1，1）在圓x2y2ax2ay40的內(nèi)部，則a的取值范圍是.答案：（，2）解析：由圓的一般方程知aR，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓內(nèi)，所以11a2a4<0，解得a<2.5. （原創(chuàng)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2（y3）24，則（x3）2（y1）2的最大值為.答案：49解析：（x3）2（y1）2表示圓x2（y3）24上一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（3，1）的距離d的平方，因?yàn)閳A心（0，3）到點(diǎn)（3，1）的距離為5，所以d的最大值為527，所以d2的最大值為49.1. 圓的定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓.確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑.2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1） 以（a，b）為圓心，r （r>0）為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（xa）2（yb）2r2.（2） 特殊的，x2y2r2（r>0）的圓心為（0，0），半徑為r.3. 圓的一般方程方程x2y2DxEyF0變形為.（1） 當(dāng)D2E24F>0時(shí)，該方程表示以為圓心，為半徑的圓；（2） 當(dāng)D2E24F0時(shí)，該方程表示一個(gè)點(diǎn)；（3） 當(dāng)D2E24F0時(shí)，該方程不表示任何圖形.4. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M（x0，y0）與圓（xa）2（yb）2r2的位置關(guān)系：（1） 若M（x0，y0）在圓外，則（x0a）2（y0b）2>r2.（2） 若M（x0，y0）在圓上，則（x0a）2（y0b）2r2.（3） 若M（x0，y0）在圓內(nèi)，則（x0a）2（y0b）2<r2.備課札記1確定圓的方程)1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，4），且與直線l：x3y260相切于點(diǎn)B（8，6）的圓的方程.解：（解法1）設(shè)圓心為C，所求圓的方程為x2y2DxEyF0，則圓心C， kCB. 圓C與直線l相切， kCBkl1，即1.又有（2）2（4）22D4EF0，又82628D6EF0.聯(lián)立，可得D11，E3，F(xiàn)30， 所求圓的方程為x2y211x3y300.（解法2）設(shè)圓的圓心為C，則CBl，可得CB所在直線的方程為y63（x8），即3xy180.由A（2，4），B（8，6），得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）.又kAB1， AB的垂直平分線的方程為y1（x3），即xy40.由聯(lián)立，解得即圓心坐標(biāo)為. 所求圓的半徑r， 所求圓的方程為.變式訓(xùn)練圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3）和B（2，5）.（1） 若圓的面積最小，求圓的方程；（2） 若圓心在直線x2y30上，求圓的方程.解：（1） 要使圓的面積最小，則AB為圓的直徑，圓心C（0，4），半徑rAB，所以所求圓的方程為x2（y4）25.（2） 因?yàn)閗AB，AB中點(diǎn)為（0，4），所以AB中垂線方程為y42x，即2xy40，解方程組得所以圓心為（1，2）.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑r，因此，所求的圓的方程為（x1）2（y2）210.已知一圓的圓心在原點(diǎn)，且圓周被直線3x4y150分成12兩部分，求圓的方程.解：如圖，因?yàn)閳A周被直線3x4y150分成12兩部分，所以AOB120，而圓心O（0，0）到直線3x4y150的距離d3，在AOB中，可求得OA6，所以所求圓的方程為x2y236.,2與參數(shù)有關(guān)的圓方程問(wèn)題),2)已知圓C的方程x2y22ax2ya10.（1） 若圓C上任意點(diǎn)A關(guān)于l：x2y50的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上，求實(shí)數(shù)a的值；（2） 求圓心C到直線axya20的距離的取值范圍.解：（1） 將圓C的方程配方得（xa）2（y1）2a2a.由題意知圓心C（a，1）在直線l：x2y50上，即a250，所以a7.（2） 由圓方程可知， a2a0，解得a1或a0.由方程得圓心C （a，1）到直線axya20的距離d.因?yàn)閍1或a0，所以1，所以0d1，所以所求距離的取值范圍為（0，1）.變式訓(xùn)練已知圓C：（xa）2（yb）21，設(shè)平面區(qū)域：若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2b2的最大值為.答案：37解析：作出可行域，如圖，由題意知，圓心為C（a，b），半徑r1，且圓C與x軸相切，所以b1.而直線y1與可行域邊界的交點(diǎn)為A（6，1），B（2，1），目標(biāo)函數(shù)za2b2表示點(diǎn)C到原點(diǎn)距離的平方，所以當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，z取到最大值，zmax37.設(shè)ABC頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，a），B（，0），C（，0），其中a>0，圓M為ABC的外接圓.（1） 求圓M的方程；（2） 當(dāng)a變化時(shí)，圓M是否過(guò)某一定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1） 設(shè)圓M的方程為x2y2DxEyF0. 圓M過(guò)點(diǎn)A（0，a），B（，0），C（，0） 解得 圓M的方程為x2y2（3a）y3a0.（2） 圓M的方程可化為（3y）a（x2y23y）0.由解得 圓M過(guò)定點(diǎn)（0，3）.,3圓方程的應(yīng)用),3)如圖，某市有一條東西走向的公路l，現(xiàn)欲經(jīng)過(guò)公路l上的O處鋪設(shè)一條南北走向的公路m.在施工過(guò)程中發(fā)現(xiàn)在O處的正北1百米的A處有一漢代古跡.為了保護(hù)古跡，該市決定以A為圓心，1百米為半徑設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).為了連通公路l，m，欲再新建一條公路PQ，點(diǎn)P，Q分別在公路l，m上（點(diǎn)P，Q分別在點(diǎn)O的正東，正北方向上），且要求PQ與圓A相切.（1） 當(dāng)點(diǎn)P距O處2百米時(shí)，求OQ的長(zhǎng)；（2） 當(dāng)公路PQ長(zhǎng)最短時(shí)，求OQ的長(zhǎng).解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，直線l，m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)PQ與圓A相切于點(diǎn)B，連結(jié)AB，以1百米為單位長(zhǎng)度，則圓A的方程為x2（y1）21.（1） 由題意可設(shè)Q（0，q），則直線PQ的方程為1，即qx2y2q0（q>2）. PQ與圓A相切， 1，解得q，故當(dāng)P距O處2百米時(shí)，OQ的長(zhǎng)為百米.答：當(dāng)P距O處2百米時(shí)，OQ的長(zhǎng)為百米.（2） 設(shè)P（p，0），則直線PQ的方程為1，即qxpypq0（p>1，q>2）. PQ與圓A相切， 1，化簡(jiǎn)得p2，則PQ2p2q2q2.令f（q）q2（q>2）， f（q）2q（q>2）.當(dāng)2<q<時(shí)，f（q）<0，即f（q）在上單調(diào)遞減；當(dāng)q>時(shí)，f（q）>0，即f（q）在上單調(diào)遞增， f（q）在q時(shí)取得最小值，故當(dāng)公路PQ長(zhǎng)最短時(shí)，OQ的長(zhǎng)為百米.答：當(dāng)公路PQ長(zhǎng)最短時(shí)， OQ的長(zhǎng)為百米.變式訓(xùn)練有一種大型商品，A，B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后，運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A，B兩地相距10 km，顧客選A或B地購(gòu)買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求A，B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn).解：如圖，以A，B所確定的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（5，0），B（5，0）.設(shè)某地P的坐標(biāo)為（x，y），且P地居民選擇A地購(gòu)買商品便宜，并設(shè)A地運(yùn)費(fèi)為3a元/km，B地運(yùn)費(fèi)為a元/km，價(jià)格QA地運(yùn)費(fèi)價(jià)格QB地運(yùn)費(fèi)， 3aa. a>0， 3，兩邊平方得9（x5）29y2（x5）2y2