第三章三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形第1課時(shí)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 了解任意角的概念；了解終邊相同的角的意義. 了解弧度的意義，并能進(jìn)行弧度與角度的互化. 理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；了解有向線段的概念，會(huì)利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切 能進(jìn)行角度與弧度的互化. 能判斷角所在的象限，會(huì)判斷半角和倍角所在的象限. 準(zhǔn)確理解任意角的三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào)1. (必修4P10習(xí)題9改編)小明從家步行到學(xué)校需要15 min，則這段時(shí)間內(nèi)鐘表的分針走過(guò)的角度是_答案：90解析：利用定義得分針是順時(shí)針走的，形成的角是負(fù)角又周角為360，所以1590，即分針走過(guò)的角度是90.2. (必修4P10習(xí)題4改編)若角的終邊與角的終邊相同，則在0，2)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角的集合為_(用列舉法表示)答案：解析：由題意2k(kZ)， k(kZ)由0<2，即0k<2知k<，kZ. k0或1.故在0，2)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角的集合為.3. (必修4P9例3改編)已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為_答案：6解析：設(shè)扇形的半徑為R，則R22， R242.而R21， R1， 扇形的周長(zhǎng)為2RR246.4. 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(8，m1)，且sin ，則m_答案：5解析：sin ，解得m5.5. 函數(shù)ylg(2cos x1)的定義域?yàn)開答案：(kZ)解析： 2cos x10， cos x.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)， x(kZ)1. 任意角(1) 角的概念的推廣 按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角 按終邊位置不同分為象限角和軸線角(2) 終邊相同的角終邊與角相同的角可寫成k360(kZ)(3) 弧度制 1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角 規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|，l是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑 弧度與角度的換算：3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad度 弧長(zhǎng)公式：l|r扇形面積公式：S扇形lr|r22. 任意角的三角函數(shù)(1) 任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)P(x，y)是角終邊上任意一點(diǎn)，且|PO|r(r0)，則有sin ，cos ，tan ，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)(2) 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的正值口訣是：全正、正弦、正切、余弦(3) 特殊角的三角函數(shù)值角弧度數(shù)sin cos tan 0001030451609010/120續(xù)表角弧度數(shù)sin cos tan 135115018001027010/3. 三角函數(shù)線設(shè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直x軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M是點(diǎn)P在x軸上的正射影由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T，則tan AT我們把有向線段OM，MP，AT叫做的余弦線、正弦線、正切線三角函數(shù)線備課札記,1象限角及終邊相同的角),1)(1) 已知2 017，則與角終邊相同的最小正角為_，最大負(fù)角為_(2) (必修4P10習(xí)題12改編)已知角是第三象限角，試判斷： 是第幾象限角？ 是第幾象限角？ 2的終邊在什么位置？(1) 答案：143217解析：可以寫成6360143的形式，則與終邊相同的角可以寫成k360143(kZ)的形式當(dāng)k0時(shí)，可得與角終邊相同的最小正角為143，當(dāng)k1時(shí)，可得最大負(fù)角為217.(2) 解： 是第三象限角， 2k<<2k，kZ. 2k<<2k，kZ. 是第四象限角 k<<k，kZ， 是第二或第四象限角 4k2<2<4k3，kZ， 2的終邊在第一或第二象限或y軸非負(fù)半軸上變式訓(xùn)練(必修4P10習(xí)題5改編)終邊在直線yx上的角的集合可表示為_答案：解析：直線yx 經(jīng)過(guò)第一象限、第三象限，直線的傾斜角為，則終邊在該直線上的角的集合為x|xk，kZ,2三角函數(shù)的定義),2)(1) 點(diǎn)P是始邊與x軸的正半軸重合、頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角的終邊上的一點(diǎn)，若|OP|2，60，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_；(2) (2017泰州模擬)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為_答案：(1) (1，)(2) 解析：(1) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由三角函數(shù)的定義，得sin 60，cos 60，所以x2cos 601，y2sin 60，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)(2) r， cos ， m0， ，即m.變式訓(xùn)練(2017無(wú)錫期末)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，則sin tan _答案：解析：由OP2y21，得y2，y.當(dāng)y時(shí)，sin ，tan ，此時(shí)sin tan .當(dāng)y時(shí)，sin ，tan ，此時(shí)sin tan .,3三角函數(shù)的符號(hào)及判定),3)點(diǎn)A(sin 2 017，cos(2 017)位于第_象限答案：三解析：因?yàn)? 0175360217是第三象限角，所以sin 2 0170.又2 0176360143是第二象限角，所以cos(2 017)0，所以點(diǎn)A(sin 2 017，cos(2 017)位于第三象限變式訓(xùn)練下列判斷正確的是_(填序號(hào)) sin 3000； cos(305)0； tan0； sin 100.答案：解析：30036060，則300是第四象限角；30536055，則305是第一象限角；8，則是第二象限角；因?yàn)?10，所以10是第三象限角故sin 3000，cos(305)0，tan0，sin 100，正確,4弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式),4)扇形AOB的周長(zhǎng)為8 cm.(1) 若這個(gè)扇形的面積為3 cm2，求圓心角的大??；(2) 求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r cm，弧長(zhǎng)為l cm，圓心角為，(1) 由題意可得解得或 或6.(2) 2rl8， S扇lrl2r4(cm2)，當(dāng)且僅當(dāng)2rl，即2時(shí)，扇形面積取得最大值， r2， 弦長(zhǎng)AB22sin 14sin 1(cm)已知扇形的周長(zhǎng)是4 cm，則扇形面積最大時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是_；扇形的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為_cm.答案： 22sin 1解析：設(shè)此扇形的半徑為r cm，弧長(zhǎng)為l cm，則2rl4，面積Srlr(42r)r22r(r1)21，故當(dāng)r1時(shí)S最大，這時(shí)l42r2 cm.從而2.扇形的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2sin 1 cm.1. 若tan(45)<0，則sin ，cos ，sin 2，cos 2中一定為負(fù)數(shù)的是_答案：cos 2解析： tan(45)<0， k180135<<k18045， k360270<2<k36090， cos 2<0.2. (2017蘇州期末)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，m)，且sin ，則m_答案：3解析：sin ，解得m3.3. 若k360，m360(k，mZ)，則下列關(guān)于角與的終邊的位置關(guān)系的說(shuō)法正確的是_(填序號(hào)) 重合； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 關(guān)于x軸對(duì)稱； 關(guān)于y軸對(duì)稱答案：解析：顯然角與角的終邊相同，角與角的終邊相同，而與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，故說(shuō)法正確的是.4. 已知一扇形的圓心角為 (>0)，扇形所在圓的半徑為R.(1) 若90，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；(2) 若扇形的周長(zhǎng)是一定值C cm(C>0)，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？解：(1) 設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，又90，R10，則l105(cm)，S弓S扇S三角形5101022550 (cm2)(2) 扇形周長(zhǎng)C2Rl(2RR)cm， Rcm， S扇R2.當(dāng)且僅當(dāng)24，即2時(shí)，扇形面積有最大值 cm2.1. 給出下列命題： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角； 不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所在半徑的大小無(wú)關(guān)； 若sin sin ，則與的終邊相同； 若cos <0，則是第二或第三象限的角其中正確的命題是_(填序號(hào))答案：解析：由于第一象限角370大于第二象限角100，故錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯(cuò)；正確；正弦值相等，但角的終邊不一定相同，故錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，cos 1<0，既不是第二象限角，也不是第三象限角，故錯(cuò)綜上可知，只有正確2. 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2_答案：解析：取終邊上一點(diǎn)(a，2a)(a0)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos ，故cos 22cos21.3. (2017揚(yáng)州一中月考改編)已知角的終邊與單位圓x2y21交于點(diǎn)P，則cos _答案：解析： r1， cos .4. (2017蘇北四市期末)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a9，a2)，且cos 0，sin >0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：(2，3解析： cos 0，sin >0， 角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上 2<a3.1. (1) 要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再根據(jù)條件解方程或不等式(2) 已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求相關(guān)問(wèn)題若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角2. 已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解的三角函數(shù)值3. 弧度制下的扇形的弧長(zhǎng)與面積公式，比角度制下的扇形的弧長(zhǎng)與面積公式要簡(jiǎn)潔得多，用起來(lái)也方便得多因此，我們要熟練地掌握弧度制下扇形的弧長(zhǎng)與面積公式4. 利用單位圓解有關(guān)三角函數(shù)的不等式(組)的一般步驟(1) 用邊界值定出角的終邊位置(2) 根據(jù)不等式(組)定出角的范圍(3) 求交集，找單位圓中公共的部分(4) 寫出角的表達(dá)式第2課時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與 誘導(dǎo)公式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)5152頁(yè)) 會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明. 能運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2cos21，tan . 理解正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式2k(kZ)，1. 已知sin ，且，則tan _答案：解析：由sin ，得cos ，則tan .2. (必修4P20練習(xí)2改編)sin(585)的值為_答案：解析：sin(585)sin 585sin(360225)sin 225sin(18045)sin 45.3. (2017蘇北四市摸底)已知sin，則cos 的值為_答案：解析： sinsincos ， cos .4. (必修4P23習(xí)題11改編)已知tan 2，則_答案：1解析：因?yàn)閠an 2，所以1.5. (必修4P21例4改編)若sin，則coscos2_答案：解析： sin ， sin， cos . cos21sin21sin21sin21. coscos2.1. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1) 平方關(guān)系：sin2cos21(2) 商數(shù)關(guān)系：tan_. 2. 誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限k(kZ)與的三角函數(shù)關(guān)系的記憶規(guī)律：奇變偶不變，符號(hào)看象限,1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式),1)(必修4P23習(xí)題20改編)已知<x<0，sin xcos x.(1) 求sin2xcos2x的值；(2) 求的值解：由sin xcos x，得12sin xcos x，則2sin xcos x. <x<0， sin x<0，cos x>0，即sin xcos x<0.則sin xcos x.(1) sin2xcos2x(sin xcos x)(sin xcos x).(2) 由得則tan x.即.變式訓(xùn)練(2017鹽城模擬)已知sin cos ，且<<，則cos sin 的值為_答案：解析： <<， cos <0，sin <0，且cos >sin ， cos sin >0.又(cos sin )212sin cos 12， cos sin .,2)(必修4P23習(xí)題12(2)改編)化簡(jiǎn)：()()解：原式()()若為第二象限角，則cos sin _答案：0解析：原式cos sin cos sin .因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以sin 0，cos 0，所以cos sin 110，即原式等于0.,2誘導(dǎo)公式及其運(yùn)用),3)已知sin，則sinsin2的值為_答案：解析：由誘導(dǎo)公式得sin sin，sin2cos2，則sinsin2.變式訓(xùn)練已知cosa(|a|1)，則cossin_答案：0解析：由題意知，coscoscosa.sinsincosa， cossin0.,3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用),4)(1) 設(shè)tan(5)m，求的值；(2) 在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三個(gè)內(nèi)角解：(1) 由tan(5)m，得tan m， .(2) 由已知得22得2cos2A1，即cos A.() 當(dāng)cos A時(shí)，cos B.又 A，B是三角形的內(nèi)角， A，B， C(AB).() 當(dāng)cos A時(shí)，cos B.又 A，B是三角形的內(nèi)角， A，B，不合題意綜上知，A，B，C.變式訓(xùn)練(1) (2017江西聯(lián)考)已知tan()，且，求的值；(2) 在ABC中，若sin(3A)sin(B)，coscos(B)試判斷三角形的形狀解：(1) 由已知得tan ，.(2) 由題設(shè)條件，得sin Asin B，sin Acos B， sin Bcos B， tan B1. B(0，)， B， sin A1.又A(0，)， A， C. ABC是等腰直角三角形1. 已知cos 31a，則sin 239tan 149的值是_答案：解析：sin 239tan 149sin(27031)tan(18031)(cos 31)(tan 31)sin 31.2. 已知為銳角，且tan()30，則sin 的值是_答案：解析：(解法1)由tan()30，得tan 3，即3，sin 3cos ，所以sin29(1sin2)，10sin29，sin2.因?yàn)闉殇J角，所以sin .(解法2)因?yàn)闉殇J角，且tan()30，所以tan 30即tan 3.在如圖所示的直角三角形中，令A(yù)，BC3，則AC1，所以AB，故sin .3. (2017南通調(diào)研)已知sin cos ，則sin cos _答案：解析： sin cos ， 2sin cos ， (sin cos )212sin cos ， sin cos 或. ， sin <cos ， sin cos .4. 已知2，則(cos 3)(sin 1)的值為_答案：4解析：因?yàn)?，所以sin242cos 2，即cos22cos 30，解得cos 1或cos 3(舍去)由cos 1得sin 0，故(cos 3)(sin 1)4.1. 已知sin(3)2sin，則sin cos _答案：解析：因?yàn)閟in(3)sin()2sin，所以sin 2cos ，所以tan 2，所以sin cos .2. 已知cos(80)k，那么tan 100_答案：解析：因?yàn)閏os(80)cos 80k，所以sin 80.所以tan 100tan 80.3. (2017鹽城調(diào)研)若3sin cos 0，則_答案：解析： 3sin cos 0，且cos 0， tan ， .4. (2017南京、鹽城模擬)已知cos，且<<，則cos_答案：解析：因?yàn)?，所以cossinsin.因?yàn)椋?又cos0，所以，所以sin.1. 利用平方關(guān)系解決問(wèn)題時(shí)，要注意開方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，需要根據(jù)角的范圍進(jìn)行確定2. 應(yīng)熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟： 負(fù)角變正角，再寫成2k(kZ)，02的形式； 轉(zhuǎn)化為銳角3. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系可用于統(tǒng)一函數(shù)；誘導(dǎo)公式主要用于統(tǒng)一角，其主要作用是進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明，如已知一個(gè)角的某一三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意平方關(guān)系的使用4. 三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有： 弦切互化法：主要利用公式tan x進(jìn)行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等類型可進(jìn)行弦化切 和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin cos )212sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化 注意變角技巧：如為或2等 巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan5. 在ABC中常用到以下結(jié)論：sin(AB)sin(C)sin C，cos(AB)cos(C)cos C，tan(AB)tan(C)tan C，sinsincos，coscossin .備課札記第3課時(shí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)5355頁(yè)) 知道三角函數(shù)yAsin(x)，yAcos(x)的周期為T. 能根據(jù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0，2上，正切函數(shù)在上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等). 會(huì)用“五點(diǎn)法”畫出yAsin(x)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖，能由正弦曲線ysin x通過(guò)相位、周期和振幅變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象 了解三角函數(shù)的周期性. 能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，并能根據(jù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0，2上，正切函數(shù)在上的性質(zhì). 了解三角函數(shù) yAsin(x)的實(shí)際意義及其參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響1. (2017南京期初)若函數(shù)f(x)sin(0)的最小正周期為，則f的值是_答案：解析：由題意，得，所以2，f(x)sin.因此fsinsin .2. 將函數(shù)f(x)2sin 2x的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，則g(x)_答案：2sin解析：將函數(shù)f(x)2sin 2x的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)2sin 22sin的圖象本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換(平移變換)3. 已知函數(shù)y2cos x的定義域?yàn)?，值域?yàn)閍，b，則ba的值是_答案：3解析：因?yàn)閤，所以cos x，所以y2cos x的值域?yàn)?，1，所以ba3.4. 函數(shù)f(x)sin的單調(diào)遞增區(qū)間為_答案：(kZ)解析：由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)5. (必修4P45習(xí)題9改編)電流強(qiáng)度I(A)隨時(shí)間t(s)變化的函數(shù)IAsin(t)的部分圖象如圖所示，則當(dāng)t s時(shí)，電流強(qiáng)度是_A.答案：5解析：由圖象知A10， 100. I10sin(100t).為五點(diǎn)中的第二個(gè)點(diǎn)， 100. . I10sin(100t)，當(dāng)t s時(shí)，I5 A.1. 周期函數(shù)的定義周期函數(shù)的概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(xT)f(x)都成立，那么稱yf(x)為周期函數(shù)；函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的周期均為T；函數(shù)yAtan(x)的周期為T.2. 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RR值域和最值1，1最大值：1最小值：11，1最大值：1最小值：1R無(wú)最值周期22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱單調(diào)區(qū)間在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在(k，k)(kZ)上單調(diào)遞增3. “五點(diǎn)法”作圖在確定正弦函數(shù)ysin x在0，2上的圖象形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是(0，0)，(，0)，(2，0)余弦函數(shù)呢？4. 函數(shù) yAsin(x)的特征若函數(shù)yAsin(x) (A0，0，x(，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，則A叫做振幅，T叫做周期，f叫做頻率，x叫做相位，叫做初相備課札記,1“五點(diǎn)法”與“變換法”作圖),1)(必修4P40練習(xí)7改編)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(0)的周期為.(1) 用“五點(diǎn)法”作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；(2) 說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到解： T， ，即2. f(x)2sin.(1) 令X2x，則y2sin2sin X.列表如下：xX02ysin X01010y2sin02020圖象如圖：(2) (解法1)把ysin x的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin的圖象；再把ysin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin的圖象；最后把ysin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖象(解法2)將ysin x的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到y(tǒng)2sin的圖象已知f(x)cos(x)的最小正周期為，且f.(1) 求和的值；(2) 在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在0，上的圖象；(3) 若f(x)>，求x的取值范圍解：(1) 周期T， 2. fcoscossin .又<<0， .(2) 由(1)得f(x)cos，列表如下：x02x0f(x)1010圖象如圖：(3) cos>， 2k<2x<2k， 2k<2x<2k， k<x<k，kZ， x的取值范圍是.,2三角函數(shù)的性質(zhì))已知函數(shù)f(x)sin1.(1) 求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值；(3) 求f(x)圖象的一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，使得它們到y(tǒng)軸的距離分別最小【思維導(dǎo)圖】【規(guī)范解答】解：(1) 函數(shù)f(x)的最小正周期為T.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2) 當(dāng)x時(shí)，2x.由正弦函數(shù)ysin x在上的圖象知，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取最大值1；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取最小值0.綜上，f(x)在上的最大值為1，最小值為0.(3) 令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以當(dāng)k0時(shí)，直線x是所有對(duì)稱軸中最靠近y軸的令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以當(dāng)k0時(shí)，是所有對(duì)稱中心中最靠近y軸的，所以所求的對(duì)稱軸為直線x，對(duì)稱中心為.【精要點(diǎn)評(píng)】 對(duì)于三角函數(shù)f(x)Asin(x)的性質(zhì)(定義域、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值或值域等)問(wèn)題，通常用換元的方法，令tx，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)yAsin t，再進(jìn)行其性質(zhì)的研究總結(jié)歸納解有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，通常需先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)Asin(x)的形式，再用研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域的方法利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)處理若<0，還需先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為f(x)Asin(x)(>0)的形式，再將x看成整體，利用正弦函數(shù)ysin x的性質(zhì)進(jìn)行求解題組練透1. 將函數(shù)ysin 2x的圖象向左平移(0)個(gè)單位，若所得的圖象過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_答案：解析：易知ysin 2(x)，即ysin(2x2) 圖象過(guò)點(diǎn)， sin， 22k或22k，kZ，即k或k，kZ. >0， 的最小值為.2. 設(shè)函數(shù)ysin(0x)，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，y取得最大值，則正數(shù)的值為_答案：2解析：當(dāng)x時(shí)，令x，則正數(shù)2.3. 函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為_答案：解析：由已知x，得2x，所以sin，故函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.4. 設(shè)函數(shù)f(x)2sin的最小正周期為，且滿足f(x)f(x)(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 當(dāng)x時(shí)，試求yf的最值，并寫出取得最值時(shí)自變量x的值解：(1) 因?yàn)閒(x)的最小正周期為，所以T，解得2.又f(x)f(x)，所以f(0)0，所以sin0.又|，所以，所以2，所以f(x)2sin 2x.則2x(kZ)，解得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2) 當(dāng)x時(shí)，2x，yf2sin 22sin.當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最大值2；當(dāng)2x，即x0時(shí)，f(x)取得最小值.,3根據(jù)圖象和性質(zhì)確定函數(shù)yAsin(x)的解析式),3)設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，xR)的部分圖象如圖所示(1) 求函數(shù)yf(x)的解析式；(2) 當(dāng)x時(shí)，求f(x)的取值范圍解：(1) 由圖象知，A2.又，0，所以T2，得1.所以f(x)2sin(x)，將點(diǎn)代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)又，所以.所以f(x)2sin.(2) 當(dāng)x時(shí)，x，所以sin，即f(x)，2變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)2sin(0，0)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1) 求f的值；(2) 將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的解析式，并寫出g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間解：(1) f(x)為偶函數(shù)， k，kZ，解得k，kZ. 0， .由題意得2，解得2.故f(x)2cos 2x，f2cos .(2) 將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到f的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f的圖象，所以g(x)f()2cos2cos.當(dāng)2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為4k，4k(kZ),4三角函數(shù)的應(yīng)用),4)(必修4P42例2改編)如圖，一個(gè)水輪的半徑為4 m，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時(shí)間(1) 將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；(2) 點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間？解：(1) 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)角是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為.則OP在t(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為t.由題意可知水輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，得z4sin2.當(dāng)t0時(shí)，z0，得sin ，即.故所求函數(shù)解析式為z4sin2.(2) 令z4sin26，得sin1.令t，得t4，故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要4 s.如圖為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m，且60 s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為h.(1) 求h與之間的函數(shù)解析式；(2) 設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t s后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少解：(1) 以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為， h5.64.8sin.(2) 點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是 rad/s，故t s轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為t， h5.64.8sin，t0，)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h10.4 m.由sin1，得t， t30 s， 纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的最少時(shí)間為30 s.1. 已知函數(shù)f(x)2sin(x)的最小正周期為，且它的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為_答案：解析：f(x)2sin(x) 的最小正周期為，則2，所以f(x)2sin(2x)，它的圖象過(guò)點(diǎn)，則sin，故.2. 函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象如圖所示若A，B兩點(diǎn)之間的距離AB5，則的值為_答案：解析：AB5，|yAyB|4，則|xAxB|3，則T6，則6，.3. 將函數(shù)ysin(2x)(0<<)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則_答案：解析：由題意得平移以后的函數(shù)為ysin，因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以2k(kZ)，解得k(kZ)因?yàn)?<<，所以.4. 函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示(1) 求及圖中x0的值；(2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解：(1) 由圖可知，f(0)f(x0)，即cos ，cos(x0).又，x0>0，所以，x0.(2) 由(1)可知f(x)cos.因?yàn)閤，所以x.所以當(dāng)x0，即x時(shí)，f(x)取得最大值1；當(dāng)x，即x時(shí)，f(x)取得最小值0.1. (2017南師附中、淮陰中學(xué)、海門中學(xué)、天一中學(xué)四校聯(lián)考)將函數(shù)ysin(2x)(0<<)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)yf(x)的圖象，若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，則_答案：解析：將函數(shù)ysin(2x)(0<<)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)f(x)sinsin的圖象，若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，則f(0)sin0，k，kZ，k，kZ.又0<<，則.2. 若函數(shù)ysin(x)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則，的值分別是_答案：2，解析：由題圖可知，T2，所以2.又sin0，所以k(kZ)，即k(kZ)而|<，所以.3. (2017第三次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷)將函數(shù)f(x)sin(2x)的圖象向右平移(0<<)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若f(x)，g(x)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則的值為_答案：解析：由題意，可得sin .因?yàn)?，所?因?yàn)間(x)sin，所以sin.又因?yàn)?，所以2，2，.4. 已知函數(shù)f(x)sin 2x2cos2xm在區(qū)間上的最大值為3，則(1) m_；(2) 當(dāng)f(x)在a，b上至少含20個(gè)零點(diǎn)時(shí)，ba的最小值為_答案：(1) 0(2) 解析：(1) f(x) sin 2x2cos2xmsin 2x1cos 2xm2sin m1.因?yàn)?x，所以2x.所以sin1，f(x)max2m13m3， m0.(2) 由(1)得f(x)2sin1，周期T，在長(zhǎng)為的閉區(qū)間內(nèi)有2個(gè)或3個(gè)零點(diǎn)由2sin10，得sin，2x2k，kZ或2x2k，kZ，所以xk或xk，kZ.不妨設(shè)a，則當(dāng)b9時(shí)，f(x)在區(qū)間a，b上恰有19個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)b9時(shí)恰有20個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)ba的最小值為9.1. 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角函數(shù)不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解2. 求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型： 形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)； 形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)； 形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin xcos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)3. 對(duì)于形如yAsin(x)k函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等)，可以通過(guò)換元的方法令tx，將其轉(zhuǎn)化為研究ysin t的性質(zhì)4. 求函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的解析式，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)確定A，由周期確定，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定，但由條件求得yAsin(x)(A0，0)的解析式一般不惟一，只有限定的取值范圍，才能得出惟一解5. 由ysin x的圖象變換到y(tǒng)Asin(x)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個(gè)單位原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于x加減多少值備課札記第4課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和 正切公式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)5658頁(yè))掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式，能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明 了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程. 能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦、兩角和與差的正弦、兩角和與差的正切公式，體會(huì)化歸思想的應(yīng)用1. 設(shè)，若sin ，則cos_答案：解析： ，且sin ， cos . coscos cos sin sin.2. (必修4P106練習(xí)4改編)sin 20cos 10 cos 160sin 10_答案：解析：sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.3. (必修4P109練習(xí)8改編)函數(shù)ysin xcos x的值域是_答案：2，2解析：ysin xcos x2sin2，24. (必修4P118習(xí)題9改編)若，則(tan 1)(tan 1)的值是_答案：2解析：(tan 1)(tan 1)tan tan tan tan 1tan tan tan()(1tan tan )1tan tan tan (1tan tan )12.5. (必修4P110例6改編)已知sin()，sin()，則的值為_答案：解析：(解法1)從而5.(解法2)設(shè)x， 5， 5. x，即 .1. 兩角差的余弦公式推導(dǎo)過(guò)程設(shè)單位圓上兩點(diǎn)P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )，則P1OP2(>)向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，則ab|a|b|cos()cos()，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可知abcos cos sin sin ，因而cos()cos cos sin sin .2. 公式之間的關(guān)系及導(dǎo)出過(guò)程3. 公式cos()cos_cos_sin_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；tan()；tan()4. asin bcos sin()，其中cos ，sin ，tan .的終邊所在象限由a，b的符號(hào)來(lái)決定5. 常用公式變形tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)；sin cos sin；sin cos sin.備課札記,1利用角的和、差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值或證明),1)(1) 求值：_；(2) (原創(chuàng))化簡(jiǎn)：tan(18)tan(18)tan(12)_答案：(1) (2) 1解析：(1) 原式.(2) 原式tan(18)tan(18)tan(12)tan(18)tan(12)tan(18)(12)1tan(18)tan(12)tan(18)tan(12)1tan(18)tan(12)1.變式訓(xùn)練(1) (改編題)求4(cos 24cos 26cos 66sin 26)tan 40的值；(2) 化簡(jiǎn)：sin(75)cos(45)cos(15)解：(1) 原式4(sin 66cos 26cos 66sin 26)tan 404sin 40.(2) 原式sin(45)30cos(45)cos(45)30sin(45)cos(45)cos(45)cos(45)sin(45)0.,2給值求值、求角問(wèn)題)典型示例,2)已知0，tan7，cos().(1