專題39 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除性問題、歸納猜想證明等本專題主要舉例說明利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題.1、數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍：關(guān)于正整數(shù)的命題（例如數(shù)列，不等式，整除問題等），則可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明2、第一數(shù)學(xué)歸納法：通過假設(shè)成立，再結(jié)合其它條件去證成立即可.證明的步驟如下：（1）歸納驗證：驗證（是滿足條件的最小整數(shù)）時，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)成立，證明當(dāng)時，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時，命題均成立3、第一歸納法要注意的地方：（1）數(shù)學(xué)歸納法所證命題不一定從開始成立，可從任意一個正整數(shù)開始，此時歸納驗證從開始 （2）歸納假設(shè)中，要注意，保證遞推的連續(xù)性（3）歸納假設(shè)中的，命題成立，是證明命題成立的重要條件.在證明的過程中要注意尋找與的聯(lián)系4、第二數(shù)學(xué)歸納法：在第一數(shù)學(xué)歸納法中有一個細(xì)節(jié)，就是在假設(shè)命題成立時，可用的條件只有，而不能默認(rèn)其它的時依然成立.第二數(shù)學(xué)歸納法是對第一歸納法的補(bǔ)充，將歸納假設(shè)擴(kuò)充為假設(shè)，命題均成立，然后證明命題成立.可使用的條件要比第一歸納法多，證明的步驟如下：（1）歸納驗證：驗證（是滿足條件的最小整數(shù)）時，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)成立，證明當(dāng)時，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時，命題均成立.5.注意點(diǎn)：對于歸納猜想證明類問題，有三個易錯點(diǎn).一是歸納結(jié)論不正確；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，確認(rèn)n的初始值n0不準(zhǔn)確；三是在第二步證明中，忽視應(yīng)用歸納假設(shè).【經(jīng)典例題】例1.【2018屆重慶市第一中學(xué)5月月考】已知為正項數(shù)列的前項和，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為_.【答案】【解析】分析：由題意首先求得，然后利用題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定最小值即可.詳解：由題意結(jié)合，以下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時，結(jié)論是成立的，假設(shè)當(dāng)時，數(shù)列的通項公式為：，則，由題意可知：，結(jié)合假設(shè)有：，解得：，綜上可得數(shù)列的通項公式是正確的.據(jù)此可知：，利用等差數(shù)列前n項和公式可得：，則，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或時，取得最小值，當(dāng)時，當(dāng)時，由于，據(jù)此可知的最小值為.點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于合理利用歸納推理得到數(shù)列的通項公式.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法例2. 設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，滿足Sn2an2 (nN*)（1）求的值，并由此猜想數(shù)列an的通項公式an；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（）中的猜想【答案】（1）；（2）見解析.當(dāng)n4時，a1a2a3a4S42a42，a416. 由此猜想： (nN*) (2)證明：當(dāng)n1時，a12，猜想成立 假設(shè)nk(k1且kN*)時，猜想成立，即， 那么nk1時，ak1Sk1Sk2ak12ak ak1=2ak， 這表明nk1時，猜想成立，由知猜想 成立點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.例3已知數(shù)列滿足：，.（）試求數(shù)列，的值；（）請猜想的通項公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明之.【答案】（） ， ， . （），證明見解析.由此猜想. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之： 當(dāng) 時，結(jié)論成立； 假設(shè)時，結(jié)論成立，即有， 則對于時， 當(dāng)時，結(jié)論成立.綜上，可得對， 成立點(diǎn)睛：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題的步驟及其需要注意的問題：1、第一步：歸納奠基（即驗證時成立）；第二步：歸納遞推（即假設(shè)時成立，驗證時成立）； 3、兩個條件缺一不可，在驗證時成立時一定要用到歸納假設(shè)時的結(jié)論，最后得到的形式應(yīng)與前面的完全一致.例4.【2018屆浙江省溫州市高三9月一?！恳阎獢?shù)列中，（）（1）求證：；（2）求證：是等差數(shù)列；（3）設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求證： 【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法可證明；（2）化簡，由可得是等差數(shù)列；（3）由（2）可得，從而可得，先證明，利用放縮法及等比數(shù)列求和公式可證結(jié)論.（2）由，得，所以，即，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列（3）由（2）知，因此，當(dāng)時，即時，所以時，顯然，只需證明，即可當(dāng)時， 例5.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處切線斜率為，已知，求證：（2）在（1）的條件下，求證：【答案】見解析下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，成立假設(shè)成立，則時 時，不等式成立（2）由（1）可知 例6【浙江省紹興市2018屆5月調(diào)測】已知數(shù)列中.（1）證明：；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：【答案】（1）見解析；（2）見解析詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時，顯然有.假設(shè)當(dāng)，結(jié)論成立，即，那么，即，綜上所述成立. （2）由（1）知：，即 ，； 點(diǎn)睛：解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條件，綜合函數(shù)與不等式的知識求解；數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)例7【福建省南平市2018屆5月檢查】己知函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)的最小值為-1，數(shù)列滿足，記，表示不超過的最大整數(shù)證明：【答案】（）見解析; （）見解析.詳解：（）函數(shù)的定義域為.1、當(dāng)時，即在上為增函數(shù)；2、當(dāng)時，令得，即在上為增函數(shù)；同理可得在上為減函數(shù).（）Q有最小值為-1，由（）知函數(shù)的最小值點(diǎn)為，即，則，令，當(dāng)時，故在上是減函數(shù)所以當(dāng)時，.（未證明，直接得出不扣分）則.由得，從而.，.猜想當(dāng)時，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.1、當(dāng)時，猜想正確.2、假設(shè)時，猜想正確.即時，.當(dāng)時，有，由（）知是上的增函數(shù)，則，即，例8.已知函數(shù)，在原點(diǎn)處切線的斜率為，數(shù)列滿足為常數(shù)且，（1）求的解析式；（2）計算，并由此猜想出數(shù)列的通項公式；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想【答案】（1）；（2） ；（3）證明見解析（2），則，由此猜想數(shù)列的通項公式應(yīng)為（3）當(dāng)時，猜想顯然成立，假設(shè)時，猜想成立，即，則當(dāng)時，即當(dāng)時，猜想成立由知，對一切正整數(shù)都成立例9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，. (1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的通項 (其中且)記是數(shù)列的前項和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，,當(dāng)時，證明見解析.詳解：(1) 設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得,bn=3n2 .(2)證明：由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1 的大小比較(1+1)(1+)(1+)與的大小 取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推測 (1+1)(1+)(1+) (*) 當(dāng)n=1時，已驗證(*)式成立 假設(shè)n=k(k1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)則當(dāng)n=k+1時， ,即當(dāng)n=k+1時，(*)式成立由知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立 于是，當(dāng)a1時，Snlogabn+1 ,當(dāng) 0a1時，Snlogabn+1 .例10.【2018年浙江省高考模擬】已知數(shù)列滿足： .證明：當(dāng)時，（1）；（2）；（3）.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析由數(shù)列的遞推式，以及（2）的結(jié)論可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可證明，再結(jié)合已知可得，即可證明不等式成立.詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時， 成立假設(shè)時，成立，那么時，假設(shè)，則，矛盾所以，故得證所以，故（2）由得 設(shè)則 （3）由（2）得，則 所以又，所以，所以，故所以，所以【精選精練】1用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由時等式成立推證時，左邊應(yīng)增加的項為_ .【答案】點(diǎn)睛：項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.2用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為_【答案】【解析】試題分析：由題意得：“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，首項為8，公差為6，因此第n項為 x+kw3已知數(shù)列中，且.（1）求，；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想出的一個通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（3）若，且，求.【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）.（2）由此猜想. 下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：當(dāng)時，由（1）知成立； 假設(shè)，結(jié)論成立，即成立.則當(dāng)時，有，即 即時，結(jié)論也成立； 由可知，的通項公式為. （3）由（2）知， .4已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（1）計算，根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】分析：（1）計算，根據(jù)計算結(jié)果，猜想. （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.由此猜想，（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，顯然成立，假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，由題意得，當(dāng)時猜想也成立，由和，可知猜想成立，即.點(diǎn)睛：（1）在利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題時，一定要注意利用前面的時的假設(shè)，否則就是偽數(shù)學(xué)歸納法，是錯誤的.（2）看到或，要注意聯(lián)想到項和公式解題.5已知數(shù)列滿足，.（1）計算，根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.由此猜想；（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，顯然成立，假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，由題意得，當(dāng)時猜想也成立；由和，可知猜想成立，即.6已知數(shù)列滿足且.（1）計算、的值，由此猜想數(shù)列的通項公式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法對你的結(jié)論進(jìn)行證明【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由,，將代入上式計算出、的值，根據(jù)共同規(guī)律猜想即可；（2）對于，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.當(dāng)時，證即當(dāng)時，結(jié)論也成立， 由得，數(shù)列的通項公式為.7在數(shù)列中， （）計算，的值（）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明【答案】（1），；（2），證明見解析.（）由（）可猜想：，證明：當(dāng)時，等式成立，假設(shè)時，等式成立，即，則當(dāng)時， ，即當(dāng)時，等式也成立，綜上所述，對任意自然數(shù)，8已知數(shù)列數(shù)列an的通項公式an(1)n(2n1)(nN*)，Sn為其前n項和(1)求S1，S2，S3，S4的值；(2)猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論【答案】(1)S11，S22，S33，S44；(2)答案見解析.【解析】試題分析：()根據(jù)，代入計算，可求的值；()由()猜想的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明，檢驗時等式成立，假設(shè)時命題成立，證明時命題也成立即可.試題解析：(1)依題意可得S11，S2132，S31353，S413574；(2)猜想：Sn(1)nn.證明：當(dāng)n1時，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk時，猜想成立，即Sk(1)kk，那么當(dāng)nk1時，Sk1(1)kkak1(1)kk(1)k1(2k1)(1)k1(k1)即nk1時，猜想也成立故由和可知，猜想成立.【方法點(diǎn)睛】本題考查歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題.由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識功能，對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)十分有用,觀察、實驗、對有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學(xué)研究的最基本的方法之一.通過不完全歸納法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法加以證明才能應(yīng)用.9設(shè)， ，令， ， .（1）寫出， ， 的值，并猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【答案】(1)a11，a2，a3；a4，猜想an （nN+）；(2)證明見解析.試題解析：（1）a11，a2f（a1）f（1），a3f（a2）；a4f（a3），猜想an （nN+）；（2）證明：易知，n1時，猜想正確. 假設(shè)nk時猜想正確，即ak，則ak1f（ak）=.這說明nk1時猜想正確. 由知，對于任何nN+，都有an.點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)10.【2017浙江，22】已知數(shù)列xn滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）證明：當(dāng)時，（）0xn+1xn；（）2xn+1 xn；（）xn【答案】（）見解析；（）見解析；（）見解析【解析】（）由得【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，不等式及其應(yīng)用，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題本題主要應(yīng)用：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）由遞推關(guān)系證明11【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考】已知無窮數(shù)列的首項， .（）證明： ；（） 記， 為數(shù)列的前項和，證明：對任意正整數(shù)， .【答案】()見解析；()見解析.【解析】試題分析; （I）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法推理論證，（）由已知，即，可得數(shù)列為遞增數(shù)列.又 ，易知為遞減數(shù)列，試題解析：（）證明：當(dāng)時顯然成立；假設(shè)當(dāng) 時不等式成立，即，那么當(dāng)時， ，所以，即時不等式也成立.綜合可知， 對任意成立. （），即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列.又 ，易知為遞減數(shù)列，所以也為遞減數(shù)列，所以當(dāng)時， 所以當(dāng)時， 當(dāng)時， ，成立；當(dāng)時， 綜上，對任意正整數(shù)， 12已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若是展開式中所有無理項的二項式系數(shù)和，數(shù)列是各項都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué)歸納法證明:.【答案】（1）. （2）165.（3）見解析.所以 .（3）因為，所以要得無理項，必為奇數(shù)，所以， 要證明，只要證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（）當(dāng)時，左邊=右邊，當(dāng)時，時，不等式成立. 綜合（）（）可知對一切均成立.不等式成立 . 點(diǎn)睛：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用、初等函數(shù)求導(dǎo)公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于難題.利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的步驟是:(1)驗證時結(jié)論成立；（2）假設(shè)時結(jié)論正確，證明時結(jié)論正確（證明過程一定要用假設(shè)結(jié)論）；（3）得出結(jié)論.