專(zhuān)題10等腰三角形探究 等腰 邊 三角形是最常見(jiàn)的特殊三角形 在各類(lèi)測(cè)試卷中 常常以它為載體 與其他知識(shí)結(jié)合編制成綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題 是中考中必考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題 往往在綜合題中出現(xiàn) 涉及函數(shù) 方程與幾何的綜合運(yùn)用 形式廣泛 在中考命題中?？汲Ｐ?一是將它與圖形的軸對(duì)稱(chēng) 旋轉(zhuǎn)等變換結(jié)合探究數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論的問(wèn)題 二是將它與反比例函數(shù) 二次函數(shù)等函數(shù)結(jié)合探究函數(shù) 方程思想的應(yīng)用問(wèn)題 三是將它與運(yùn)動(dòng)問(wèn)題結(jié)合 涉及三角形全等 三角形相似 特殊四邊形等知識(shí) 探究等腰三角形的存在性問(wèn)題 等腰三角形存在性問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類(lèi)思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類(lèi) 3 在 ABC中 ABC 30 BAC 70 在 ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線(xiàn) 將 ABC分割成兩個(gè)三角形 使其中的一個(gè)是等腰三角形 則這樣的直線(xiàn)最多可畫(huà) A 7條B 8條C 9條D 10條 C 4 在 ABC中 C是最小內(nèi)角 若過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線(xiàn)把這個(gè)三角形分成兩個(gè)三角形 其中一個(gè)為等腰三角形 另一個(gè)為直角三角形 則稱(chēng)這條直線(xiàn)為 ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線(xiàn) 例如 如圖1 ABC中 A 90 C 20 若過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D 且 DBC 20 則直線(xiàn)BD是 ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線(xiàn) 1 如圖2 ABC中 C 20 ABC 110 請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出 ABC關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線(xiàn) 并注明角度 2 ABC中 設(shè) B的度數(shù)為y 最小內(nèi)角 C的度數(shù)為x 試探索y與x應(yīng)滿(mǎn)足什么要求時(shí) ABC存在關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線(xiàn) 由于等腰三角形邊或角的不確定性 在沒(méi)有明確哪兩條邊是腰 哪兩個(gè)角是底角時(shí) 就需要分類(lèi) 一般分類(lèi)時(shí)可以按邊分類(lèi) 5 如圖 正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16 點(diǎn)E在邊AB上 AE 3 點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 把 EBF沿EF折疊 點(diǎn)B落在B 處 若 CDB 恰為等腰三角形 求DB 的長(zhǎng) 解析 若 CDB 恰為等腰三角形 判斷以CD為腰或?yàn)榈走叿譃槿N情況 DB DC CB CD CB DB 針對(duì)每一種情況利用正方形和折疊的性質(zhì)進(jìn)行分析求解 解 若 CDB 恰為等腰三角形需分三種情況討論 1 若DB DC時(shí) 則DB 16 易知點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C B重合 2 當(dāng)CB CD時(shí) EB EB CB CB 點(diǎn)E C在BB 的垂直平分線(xiàn)上 EC垂直平分BB 由折疊可知點(diǎn)F與點(diǎn)C重合 不符合題意 舍去 1 求AE和BE的長(zhǎng) 2 如圖 將 ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 0 180 記旋轉(zhuǎn)中的 ABE為 A BE 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 設(shè)A E 所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)AD交于點(diǎn)P 與直線(xiàn)BD交于點(diǎn)Q 是否存在這樣的P Q兩點(diǎn) 使 DPQ為等腰三角形 若存在 求出此時(shí)DQ的長(zhǎng) 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 畫(huà)出各種變化中的圖形 以邊或角進(jìn)行分類(lèi) 探究等腰三角形存在的可能 7 2017 預(yù)測(cè) 如圖 拋物線(xiàn)y ax2 bx過(guò)A 4 0 B 1 3 兩點(diǎn) 點(diǎn)C B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng) 過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BH x軸 交x軸于點(diǎn)H 1 求拋物線(xiàn)的表達(dá)式 2 若點(diǎn)M在直線(xiàn)BH上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng) 當(dāng)以點(diǎn)C M N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí) 請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí) CMN的面積 解析 第 2 題分別以點(diǎn)C M N為直角頂點(diǎn)分三類(lèi)進(jìn)行討論 利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長(zhǎng) 利用面積公式進(jìn)行計(jì)算 用代數(shù)法探求等腰三角形分三步 先分類(lèi) 按腰相等分三種情況 再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程 然后解方程并檢驗(yàn) 9 如圖 在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中 請(qǐng)畫(huà)出以A為一個(gè)頂點(diǎn) 另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上 且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形 要求 只要畫(huà)出示意圖 并在所畫(huà)等腰三角形長(zhǎng)為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3 解析 利用等腰三角形的性質(zhì) 分別以長(zhǎng)度為3的邊為等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)進(jìn)行分類(lèi) 解 滿(mǎn)足條件的所有等腰三角形如下圖所示 10 在等腰Rt ABC中 C 90 AC 1 過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l AB F是l上的一點(diǎn) 且AB AF 求點(diǎn)F到直線(xiàn)BC的距離 轉(zhuǎn)化為圖形 通過(guò)畫(huà)圖 找出存在等腰三角形的所有可能情況 11 2017 預(yù)測(cè) 如圖 已知拋物線(xiàn)y ax2 bx c a 0 經(jīng)過(guò)A 1 0 B 3 0 C 0 3 三點(diǎn) 直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸 1 求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式 2 點(diǎn)M是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn) 且 MAC為等腰三角形 求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo) 解析 由于 MAC的腰和底沒(méi)有明確 因此要分三種情況來(lái)討論 MA AC MA MC AC MC 可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo) 然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示 MAC的三邊長(zhǎng) 再按上面的三種情況列式求解 12 2017 預(yù)測(cè) 如圖1 拋物線(xiàn)y ax2 6x c與x軸交于點(diǎn)A 5 0 B 1 0 與y軸交于點(diǎn)C 0 5 點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn) 連結(jié)PA PC PC與x軸交于點(diǎn)D 1 求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式 2 過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交x軸于點(diǎn)H 交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E 如圖2 APE能否為等腰三角形 若能 請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不能 請(qǐng)說(shuō)明理由 解 1 設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y a x 5 x 1 把C 0 5 代入得a 5 1 5 解得a 1 所以?huà)佄锞€(xiàn)解析式為y x 5 x 1 即y x2 6x 5 1 確定定點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)方向 即弄清楚三角形中 哪些點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn) 哪些點(diǎn)是定點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)在哪條線(xiàn)上運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)方向是怎樣的 2 畫(huà)出動(dòng)態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖 動(dòng) 中取 靜 按照運(yùn)動(dòng)時(shí)間先后的順序 往往存在三種情況 3 在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上 利用勾股定理 銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度 點(diǎn)的坐標(biāo)等 通常轉(zhuǎn)化為方程解決