第一講直線與圓年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學(xué)科素養(yǎng)2018卷圓的弦長問題T15命題分析1.近兩年圓的方程成為高考全國課標卷命題的熱點，需重點關(guān)注此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上學(xué)科素養(yǎng)通過考查直線與圓的位置關(guān)系，著重考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).卷直線與拋物線位置關(guān)系及圓的方程求法T20卷直線與圓的位置關(guān)系及面積問題T82017卷探索性問題與圓的弦長問題T202016卷直線與圓的位置關(guān)系及圓的面積問題T15直線方程與應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第42頁悟通方法結(jié)論1兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在2求直線方程要注意幾種直線方程的局限性點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線3兩個距離公式(1)兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d.(2)點(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離公式d.4與已知直線l：AxByC0(A0，B0)平行的直線可改為AxBym0(mC)，垂直的直線可設(shè)為BxAym0.5直線l1：A1xB1yC10，直線l2：A2xB2yC20，當(dāng)l1l2時，有A1A2B1B20，當(dāng)l1l2時，A1B2A2B10且A1C2A2C10.全練快速解答1(2018洛陽一模)已知直線l1：xmy10，l2：nxyp0，則“mn0”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：若mn0，當(dāng)mn0時，直線l1：x10與直線l2：yp0互相垂直；當(dāng)mn0時，直線l1的斜率為，直線l2的斜率為n，(n)m1，l1l2.當(dāng)l1l2時，若m0，l1：x10，則n0，此時mn0；若m0，則(n)1，即nm，有mn0.故選C.答案：C2已知直線l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若l1l2，則實數(shù)a的值為()A B0 C或0 D2解析：若a0，則由l1l2，得，所以2a21，即a；若a0，則l1：x10，l2：x0，互相平行答案：C3若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為()A. B. C. D.解析：由l1l2，得(a2)a13，且a2a36，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1與l2間的距離為d.答案：B4過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為_解析：由得l1與l2的交點為(1,2)當(dāng)所求直線斜率不存在，即直線方程為x1時，顯然不滿足題意當(dāng)所求直線斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y2k(x1)，即kxy2k0，點P(0,4)到直線的距離為2，2，k0或k.直線方程為y2或4x3y20.答案：y2或4x3y20【類題通法】1求直線方程時易忽視斜率k不存在情形2利用斜率與截距判斷兩線平行或垂直關(guān)系時易忽視斜率不存在情形3有關(guān)截距問題易忽視截距為零這一情形圓的方程及應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁悟通方法結(jié)論1圓的標準方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當(dāng)圓心在原點時，方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F>0，表示以為圓心、為半徑的圓全練快速解答1已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程是()A(x1)2y22B(x1)2y28C(x1)2y22D(x1)2y28解析：直線xy10與x軸的交點坐標為(1,0)，因為圓C與直線xy30相切，所以半徑為圓心到切線的距離，即rd，則圓C的方程為(x1)2y22，故選A.答案：A2(2018長沙模擬)與圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析：圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需圓心關(guān)于直線對稱即可由題意知已知圓的圓心坐標為(2,0)，半徑為2，設(shè)所求圓的圓心坐標為(a，b)，則解得所以所求圓的圓心坐標為(1，)，半徑為2.從而所求圓的方程為(x1)2(y)24.答案：D3(2018廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x24y的焦點，且該圓與直線yx3相切，則該圓的標準方程是_解析：拋物線x24y的焦點為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標準方程是x2(y1)2r2(r0)，因為該圓與直線yx3相切，所以r，故該圓的標準方程是x2(y1)22.答案：x2(y1)22【類題通法】用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟(1)選用圓的方程兩種形式中的一種，若知圓上三個點的坐標，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標軸間的關(guān)系，通常選用標準方程；(2)根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)或a，b，r的方程組；(3)解方程組，求出D，E，F(xiàn)或a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求圓的方程.直線與圓的位置關(guān)系授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁悟通方法結(jié)論1直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法直線l：AxByC0(A2B20)與圓：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置關(guān)系如表.方法 幾何法：根據(jù)d與r的大小關(guān)系代數(shù)法：消元得一元二次方程，根據(jù)判別式的符號判斷相交dr>0相切dr0相離dr<02.弦長與切線長的計算方法(1)弦長的計算：直線l與圓C相交于A，B兩點，則|AB|2(其中d為弦心距)(2)切線長的計算：過點P向圓引切線PA，則|PA|(其中C為圓心)(2017高考全國卷)(12分)已知拋物線C：y22x，為直徑的圓(1)證明：坐標原點O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點P(4，2)，求學(xué)審題條件信息想到方法注意什么信息中過定點的直線l直線l的方程的設(shè)法數(shù)形結(jié)合分析，靈活設(shè)l：xmy2.注意斜率是否存在信息中AB為直徑抓住圓的幾何性質(zhì)坐標化條件OAOBx1x2y1y20信息中求圓的方程確定圓心與半徑是求圓方程關(guān)鍵設(shè)出圓心坐標，注意多解規(guī)范解答(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2. (1分)由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24. (3分)因此OA的斜率與OB的斜率之積為1，所以O(shè)AOB.故坐標原點O在圓M上 (5分)(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圓心M的坐標為(m22，m)，圓M的半徑r. (8分)由于圓M過點P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m. (10分)當(dāng)m1時，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標為 ，圓M的半徑為，圓M的方程為22. (12分)【類題通法】1圓上的點到直線的距離的化歸思想(1)轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離以及直線與圓的交點個數(shù)求解(2)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系求解(3)直接設(shè)點，利用方程思想解決2數(shù)形結(jié)合思想在求解與圓有關(guān)的最值問題中是關(guān)鍵點練通即學(xué)即用1(2018銀川九中五模)直線l：kxy40(kR)是圓C：x2y24x4y60的一條對稱軸，過點A(0，k)作斜率為1的直線m，則直線m被圓C所截得的弦長為()A.B.C.D2解析：圓C：x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，表示以C(2,2)為圓心，為半徑的圓由題意可得，直線l：kxy40經(jīng)過圓心C(2,2)，所以2k240，解得k3，所以點A(0,3)，故直線m的方程為yx3，即xy30，則圓心C到直線m的距離d，所以直線m被圓C所截得的弦長為2 .故選C.答案：C2(2018高考全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6B4,8C，3D2，3解析：設(shè)圓(x2)2y22的圓心為C，半徑為r，點P到直線xy20的距離為d，則圓心C(2,0)，r，所以圓心C到直線xy20的距離為2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知條件可得AB2，所以ABP面積的最大值為ABdmax6，ABP面積的最小值為ABdmin2.綜上，ABP面積的取值范圍是2,6故選A答案：A3已知圓C：x2y22x4ym0.(1)若圓C與坐標軸有3個交點，求m的值；(2)若圓C與直線x2y40的兩個交點為M，N，且滿足0(其中O為坐標原點)，求此時m的值解析：(1)由x2y22x4ym0配方得(x1)2(y2)25m.由題意，可得圓C與x軸相切或過原點時，圓C與坐標軸有三個交點，所以5m4，或145m，解得m1或m0.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則(x1，y1)，(x2，y2)由0，得x1x2y1y20.由消x，得(42y)2y22(42y)4ym0.整理得5y216y8m0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，y1y2，y1y2.由x142y1，x242y2，x1x2168(y1y2)4y1y2.由x1x2y1y20，得0，解得m.由知16220(8m)0，即m，故m滿足題意，因此m為所求授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第129頁一、選擇題1“ab4”是“直線2xay10與直線bx2y20平行”的()A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件解析：因為兩直線平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又當(dāng)a1，b4時，滿足ab4，但是兩直線重合，故選C.答案：C2已知圓(x1)2y21被直線xy0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為()A12B13C14D15解析：(x1)2y21的圓心為(1,0)，半徑為1.圓心到直線的距離d，所以較短弧所對的圓心角為，較長弧所對的圓心角為，故兩弧長之比為12，故選A.答案：A3(2018臨沂模擬)已知直線3xay0(a0)被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則a的值為()A.B.C2D2解析：由已知條件可知，圓的半徑為2，又直線被圓所截得的弦長為2，故圓心到直線的距離為，即，得a.答案：B4(2018濟寧模擬)已知圓C過點A(2,4)，B(4,2)，且圓心C在直線xy4上，若直線x2yt0與圓C相切，則t的值為()A62B62C26D64解析：因為圓C過點A(2,4)，B(4,2)，所以圓心C在線段AB的垂直平分線yx上，又圓心C在直線xy4上，聯(lián)立，解得xy2，即圓心C(2,2)，圓C的半徑r2.又直線x2yt0與圓C相切，所以2，解得t62.答案：B5(2018南昌第一次模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y2x1與圓x2y24相交于A，B兩點，則cosAOB()A.BC.D解析：因為圓x2y24的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y2x1的距離d，所以弦長|AB|22.在AOB中，由余弦定理得cosAOB.答案：D6(2018合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：當(dāng)直線l的斜率不存在時，計算出弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為ykx3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有1，解得k ，綜上，直線l的方程為x0或3x4y120，故選B.答案：B7已知圓O：x2y21，點P為直線1上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經(jīng)過定點()A(，)B(，)C(，0)D(0，)解析：因為點P是直線1上的一動點，所以設(shè)P(42m，m)因為PA，PB是圓x2y21的兩條切線，切點分別為A，B，所以O(shè)APA，OBPB，所以點A，B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即弦AB是圓O和圓C的公共弦因為圓心C的坐標是(2m，)，且半徑的平方r2，所以圓C的方程為(x2m)2(y)2，又x2y21，所以得，(2m4)xmy10，即公共弦AB所在的直線方程為(2xy)m(4x1)0，所以由得所以直線AB過定點(，)故選B.答案：B8若過點A(1,0)的直線l與圓C：x2y26x8y210相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，l與直線x2y20的交點為N，則|AM|AN|的值為()A5B6C7D8解析：圓C的方程化成標準方程可得(x3)2(y4)24，故圓心為C(3,4)，半徑為2，則可設(shè)直線l的方程為kxyk0(k0)，由得N，又直線CM與l垂直，得直線CM的方程為y4(x3)由得M，則|AM|AN|.6.故選B.答案：B二、填空題9(2018高考全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點，則|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圓心C(0，1)，半徑r2.圓心C(0，1)到直線xy10的距離d，|AB|222.答案：210(2018江蘇三市三模)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，2)，點B(1，1)，P為圓x2y22上一動點，則的最大值是_解析：設(shè)動點P(x，y)，令t(t0)，則t2，整理得，(1t2)x2(1t2)y22x(24t2)y24t20，(*)易知當(dāng)1t20時，(*)式表示一個圓，且動點P在該圓上，又點P在圓x2y22上，所以點P為兩圓的公共點，兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線l的方程為x(12t2)y23t20，所以圓心(0,0)到直線l的距離d，解得0t2，所以的最大值為2.答案：2三、解答題11已知圓C過點P(1,1)，且圓C與圓M：(x2)2(y2)2r2(r0)關(guān)于直線xy20對稱(1)求圓C的方程；(2)設(shè)Q為圓C上的一個動點，求的最小值解析：(1)設(shè)圓心C(a，b)，則解得則圓C的方程為x2y2r2，將點P的坐標代入得r22，故圓C的方程為x2y22.(2)設(shè)Q(x，y)，則x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2，令xcos ，ysin ，則xy2(sin cos )22sin2，所以的最小值為4.12已知圓C：x2y22x4y30.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值時點P的坐標解析：(1)圓C的標準方程為(x1)2(y2)22.當(dāng)此切線在兩坐標軸上的截距為零時，設(shè)此切線方程為ykx，由，得k2，此切線方程為y(2)x.當(dāng)此切線在兩坐標軸上的截距不為零時，設(shè)此切線方程為xya0，由，得|a1|2，即a1或a3.此切線方程為xy10或xy30.綜上，此切線方程為y(2)x或y(2)x或xy10或xy30.(2)由|PO|PM|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2，即xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130，即點P在直線l：2x4y30上，當(dāng)|PM|取最小值時，|PO|取最小值，此時直線POl，直線PO的方程為2xy0.解方程組得故使|PM|取得最小值時，點P的坐標為.