4.1曲線與方程課后訓(xùn)練案鞏固提升1.下列命題正確的是()A.方程=1表示斜率為1,在y軸上的截距是2的直線B.ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,3),B(-2,0),C(2,0),則中線AO的方程是x=0C.到x軸距離為5的點(diǎn)的軌跡方程是y=5D.曲線2x2-3y2-2x+m=0通過(guò)原點(diǎn)的充要條件是m=0解析:選項(xiàng)A中直線不過(guò)(0,2)點(diǎn);選項(xiàng)B中中線AO是線段;選項(xiàng)C中軌跡方程應(yīng)是y=5.故選項(xiàng)A,B,C都錯(cuò)誤,選D.答案:D2.已知P1(x1,y1)是直線l:f(x,y)=0上的一點(diǎn),P2(x2,y2)是直線l外一點(diǎn),則方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直線l與直線l的位置關(guān)系是()A.平行B.重合C.垂直D.斜交解析:點(diǎn)P1(x1,y1)在直線l:f(x,y)=0上,f(x1,y1)=0.f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即l為f(x,y)=-f(x2,y2).又點(diǎn)P2(x2,y2)在直線l外,則f(x2,y2)=k0.l為f(x,y)=-k,即f(x,y)+k=0.答案:A3.ABCD的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(3,-1),(2,-3),頂點(diǎn)D在直線3x-y+1=0上移動(dòng),則頂點(diǎn)B滿足的方程為()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-12=0D.3x-y-9=0解析:設(shè)AC,BD交于點(diǎn)P,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(3,-1),(2,-3),P點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)B為(x,y),則D為(5-x,-4-y),點(diǎn)D在直線3x-y+1=0上,15-3x+4+y+1=0,即3x-y-20=0.答案:A4.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲線是()A.一個(gè)點(diǎn)B.兩條互相平行的直線C.兩條互相垂直的直線D.兩條相交但不垂直的直線解析:4x2-y2+4x+2y=0,(2x+1)2-(y-1)2=0,2x+1=(y-1),2x+y=0或2x-y+2=0,這兩條直線相交但不垂直.答案:D5.已知A(-1,0),B(1,0),且=0,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=1(x1)D.x2+y2=2(x2)解析:設(shè)M(x,y),則=(-1-x,-y),=(1-x,-y),由=0,得(-1-x)(1-x)+y2=0,即x2+y2=1.答案:A6.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P滿足的方程的曲線所圍成的圖形的面積為()A.B.4C.8D.9解析:設(shè)P為(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2,即(x-2)2+y2=4,點(diǎn)P滿足的方程的曲線是以2為半徑的圓,其面積為4.答案:B7.已知0<2,點(diǎn)P(cos ,sin )在曲線(x-2)2+y2=3上,則的值為.解析:(cos -2)2+sin2=3,得cos =,所以=.答案:8.導(dǎo)學(xué)號(hào)90074081已知O的方程是x2+y2-2=0,O的方程是x2+y2-8x+10=0,由動(dòng)點(diǎn)P向O和O所引的切線長(zhǎng)相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.解析:由O:x2+y2=2,O:(x-4)2+y2=6,知兩圓相離.設(shè)由動(dòng)點(diǎn)P向O和O所引的切線與O和O的切點(diǎn)分別為T,Q,則|PT|=|PQ|,而|PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO|2-6,|PO|2-2=|PO|2-6.設(shè)P(x,y),即得x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,即x=.答案:x=9.如圖,已知定圓F1:x2+y2+10x+24=0,定圓F2:x2+y2-10x+9=0,動(dòng)圓M與定圓F1,F2都外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解圓F1:(x+5)2+y2=1,圓心F1(-5,0),半徑r1=1.圓F2:(x-5)2+y2=42,圓心F2(5,0),半徑r2=4.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R,則有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為=1.10.過(guò)點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1,l2,l1交x軸于點(diǎn)A,l2交y軸于點(diǎn)B,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解法一如圖,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).M為線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2y).l1l2,且l1,l2過(guò)點(diǎn)P(2,4),PAPB,kPAkPB=-1.而kPA=(x1),kPB=2-y,=-1(x1).整理,得x+2y-5=0(x1).當(dāng)x=1時(shí),A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,4),線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),也滿足方程x+2y-5=0.綜上所述,點(diǎn)M的軌跡方程是x+2y-5=0.解法二如圖,設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0),(0,2y),連接PM.l1l2,2|PM|=|AB|.而|PM|=,|AB|=,2,化簡(jiǎn),得x+2y-5=0為所求軌跡方程.解法三如圖,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),連接PM,OM.由l1l2,知A,O,B,P四點(diǎn)共圓,AB為圓的直徑,M為圓心,則有|OM|=|MP|.=.化簡(jiǎn),得x+2y-5=0為所求軌跡方程.