第二講三角恒等變換與解三角形年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學(xué)科素養(yǎng)2018卷利用正、余弦定理解三角形T16命題分析三角變換及解三角形是高考考查的熱點(diǎn)，然而單獨(dú)考查三角變換的題目較少，題目往往以解三角形為背景，在應(yīng)用正弦定理、余弦定理的同時，經(jīng)常應(yīng)用三角變換進(jìn)行化簡，綜合性比較強(qiáng)，但難度不大學(xué)科素養(yǎng)三角變換及解三角形在學(xué)生能力考查中主要考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大素養(yǎng)，通過三角恒等變換及正、余弦定理來求解相關(guān)問題.卷二倍角公式應(yīng)用及余弦定理解三角形T7卷三角變換求值T14解三角形T112017卷三角變換求值T15正弦定理解三角形T11卷三角函數(shù)求值T4正弦定理解三角形T152016卷利用余弦定理解三角形T4卷利用正弦定理解三角形T15卷三角恒等變換求值問題T6解三角形T9三角恒等變換授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第23頁悟通方法結(jié)論三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45等；(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦全練快速解答1(2018合肥模擬)sin 18sin 78cos 162cos 78()ABC.D.解析：sin 18sin 78cos 162cos 78sin 18sin 78cos 18cos 78cos(7818)cos 60，故選D.答案：D2(2018高考全國卷)若sin ，則cos 2()ABCD解析：sin ，cos 212sin2122.故選B.答案：B3(2018沈陽模擬)已知tan 2，則sin2的值為()A.B.C.D.解析：原式sin2，將tan 2代入，得原式，故選C.答案：C4(2017高考全國卷)已知(0，)，tan 2，則cos()_.解析：(0，)，tan 2，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin ().答案：【類題通法】三角函數(shù)式的化簡方法及基本思路(1)化簡方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪，“1”的代換，輔助角公式等(2)化簡基本思路“一角二名三結(jié)構(gòu)”，即：一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理地拆分，從而正確使用公式；二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”，關(guān)于sin cos 的齊次分式化切等；三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被開方式為完全平方式”等解三角形的基本問題及應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第23頁悟通方法結(jié)論正、余弦定理、三角形面積公式(1)2R(R為ABC外接圓的半徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABCabsin Cacsin Bbcsin A.(1)(2017高考全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()A.B.C.D.解析：因?yàn)閟in Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0，因?yàn)閟in C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因?yàn)锳(0，)，所以A，由正弦定理得sin C，又0<C<，所以C.答案：B(2)(2018高考全國卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB()A4B.C.D2解析：cos，cos C2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，AB4.故選A.答案：A(3)(2018福州模擬)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時14 s，則這輛汽車的速度約為_m/s(精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：1.414，2.236.解析：因?yàn)樾∶髟贏處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45.設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.答案：22.6【類題通法】1解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則考慮兩個定理都有可能用到2關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角恒等變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”練通即學(xué)即用1(2018南昌模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos 2Asin A，bc2，則ABC的面積為()ABC1D2解析：由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，解得sin A(負(fù)值舍去)，由bc2，可得ABC的面積Sbcsin A2.答案：A2(2018廣州模擬)在ABC中，ACB60，BC>1，ACAB，當(dāng)ABC的周長最短時，BC的長是_解析：設(shè)ACb，ABc，BCa，ABC的周長為l，由bc，得labca2c.又cos 60，即aba2b2c2，得aa22c2，即c.la2ca33，當(dāng)且僅當(dāng)a1時，ABC的周長最短，此時a1，即BC的長是1.答案：1解三角形的綜合問題授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第24頁悟通方法結(jié)論三角形中的常用結(jié)論(1)ABC，.(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(A，B，C)(2017高考全國卷)(12分)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)；(2)若，求b. 學(xué)審題條件信息想到方法注意什么信息：兩角和與半角的三角等式關(guān)系三角形內(nèi)角和定理及倍角公式(1)三角形中的三角恒等關(guān)系式化簡時，三角形內(nèi)角和定理及倍角公式的正確使用(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體代入思想在解題過程中的應(yīng)用信息：求cos B化已知條件為cos B的關(guān)系式信息：ac6尋找平方后與余弦定理中a2c2的關(guān)系式信息：三角形面積為2利用面積公式來求ac的值規(guī)范解答(1)由題設(shè)及ABC得sin B8sin2， (2分)即sin B4(1cos B)， (3分)故17cos2B32cos B150， (4分)解得cos B，cos B1(舍去) (6分)(2)由cos B，得sin B， (7分)故SABCacsin Bac. (8分)又SABC2，則ac. (9分)由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B) (10分)3624. (11分)所以b2. (12分)【類題通法】1與三角形面積有關(guān)的問題的解題模型2學(xué)科素養(yǎng)：通過三角恒等變換與利用正、余弦定理著重考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大素養(yǎng)練通即學(xué)即用(2018長郡中學(xué)模擬)在銳角ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且4sin Acos2Acos(BC)sin 3A.(1)求A的大??；(2)若b2，求ABC面積的取值范圍解析：(1)ABC，cos(BC)cos A，3A2AA，sin 3Asin(2AA)sin 2Acos Acos 2Asin A，又sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，將代入已知，得2sin 2Acos Acos Asin 2Acos Acos 2Asin A，整理得sin Acos A，即sin，又A，A，即A.(2)由(1)得BC，CB，ABC為銳角三角形，B且B，解得B，在ABC中，由正弦定理得，c1，又B，c(1,4)，SABCbcsin Ac，SABC.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第115頁一、選擇題1(2018合肥調(diào)研)已知x，且cossin2x，則tan等于()A.BC3D3解析：由cossin2x得sin 2xsin2x，x(0，)，tan x2，tan.答案：A2(2018成都模擬)已知sin ，則cos的值為()A.B.C.D.解析：sin ，cos ，sin 22sin cos 2，cos 212sin21221，cos.答案：A3(2018昆明三中、五溪一中聯(lián)考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為S，且2S(ab)2c2，則tan C等于()ABCD解析：因?yàn)?S(ab)2c2a2b2c22ab，由面積公式與余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)答案：C4在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若<cos A，則ABC為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形解析：根據(jù)正弦定理得<cos A，即sin C<sin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)<sin Bcos A，整理得sin Acos B<0.又三角形中sin A>0，cos B<0，<B<，ABC為鈍角三角形答案：A5.如圖，在ABC中，C，BC4，點(diǎn)D在邊AC上，ADDB，DEAB，E為垂足若DE2，則cos A等于()A.B.C.D.解析：依題意得，BDAD，BDCABDA2A.在BCD中，即，由此解得cos A.答案：C6(2018高考全國卷)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()ABCD1解析：由cos 2，得cos2sin2，即，tan ，即，|ab|.故選B.答案：B7. (2018武漢調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動，距風(fēng)暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為()A14 hB15 hC16 hD17 h解析：記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置(圖略)，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根據(jù)余弦定理得6002400t2220t6004502，即4t2120t1 5750，解得t，所以t15(h)，故選B.答案：B8(2018武漢調(diào)研)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a2bsin C，則 tan Atan Btan C的最小值是()A4B3C8D6解析：由a2bsin C得sin A2sin Bsin C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，即tan Btan C2tan Btan C.又三角形中的三角恒等式tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Btan C，tan Atan Btan Ctan A，令tan A2t，得tan Atan Btan Ct48，當(dāng)且僅當(dāng)t， 即t2，tan A4 時，取等號答案：C二、填空題9(2018廣西三市一聯(lián))在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asin Bsin C，cos C，ABC的面積為4，則c_.解析：由asin Bsin C，得abc，由cos C，得sin C，則SABCabsin Cc4，解得c6.答案：610(2018皖南八校聯(lián)考)若，cos2cos 2，則sin 2_.解析：由已知得(cos sin )2(cos sin )(cos sin )，所以cos sin 0或cos sin ，由cos sin 0得tan 1，因?yàn)?，所以cos sin 0不滿足條件；由cos sin ，兩邊平方得 1sin 2，所以sin 2.答案：11已知ABC中，ABAC6，BC4，D為BC的中點(diǎn)，則當(dāng)AD最小時，ABC的面積為_解析：AC2AD2CD22ADCDcosADC，且AB2AD2BD22ADBDcosADB，即AC2AD2224ADcosADC，且(6AC)2AD2224ADcosADB，ADBADC，AC2(6AC)22AD28，AD2，當(dāng)AC2時，AD取最小值，此時cosACB，sinACB，ABC的面積SACBCsinACB.答案：12(2018成都模擬)已知ABC中，AC，BC，ABC的面積為.若線段BA的延長線上存在點(diǎn)D，使BDC，則CD_.解析：因?yàn)镾ABCACBCsinBCA，即sinBCA，所以sinBCA.因?yàn)锽AC>BDC，所以BCA，所以cosBCA.在ABC中，AB2AC2BC22ACBCcosBCA2622，所以AB，所以ABC，在BCD中，即，解得CD.答案：三、解答題13(2018武漢調(diào)研)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足cos 2Acos 2B2coscos0.(1)求角A的值；(2)若b且ba，求a的取值范圍解析：(1)由cos 2Acos 2B2coscos0，得2sin2B2sin2A20，化簡得sin A，又ABC為銳角三角形，故A.(2)ba，ca，C<，<B，<sin B.由正弦定理，得，a，由sin B得a，3)14(2018唐山模擬)在ABC中，AB2AC2，AD是BC邊上的中線，記CAD，BAD.(1)求sin sin ；(2)若tan sin BAC，求BC.解析：(1)AD為BC邊上的中線，SACDSABD，ACADsin ABADsin ，sin sin ABAC21.(2)tan sin BACsin()，sin sin()cos ，2sin sin()cos ，2sin()sin()cos ，sin()cos 2cos()sin ，sin()2cos()tan ，又tan sin BACsin()0，cos()cos BAC，在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos BAC3，BC.15(2018廣州模擬)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的對邊，且3cos Bcos C23sin Bsin C2cos2A.(1)求角A的大??；(2)若ABC的面積S5，b5，求sin Bsin C的值解析：(1)由3cos Bcos C23sin Bsin C2cos2A，得3cos(BC)22cos2A，即2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因?yàn)?<A<，所以A.(2)由Sbcsin Abc5，得bc20，因?yàn)閎5，所以c4.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a2251622021，故a.根據(jù)正弦定理，得sin Bsin Csin Asin A.16(2018山西八校聯(lián)考)在ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且(ac)2b23ac.(1)求角B的大小；(2)若b2，且sin Bsin(CA)2sin 2A，求ABC的面積解析：(1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，0<B<，B.(2)在ABC中，ABC，即B(AC)，故sin Bsin(AC)，由已知sin Bsin(CA)2sin 2A可得sin(AC)sin(CA)2sin 2A，sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A，整理得cos Asin C2sin Acos A. 若cos A0，則A，由b2，可得c，此時ABC的面積Sbc.若cos A0，則sin C2sin A，由正弦定理可知，c2a，代入a2c2b2ac，整理可得3a24，解得a，c，此時ABC的面積Sacsin B.綜上所述，ABC的面積為.17(2018常德市模擬)已知函數(shù)f(x)sin xmcos x(0，m0)的最小值為2，且圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為.(1)求和m的值；(2)若f，求f的值解析：(1)易知f(x)sin(x)(為輔助角)，f(x)min2，m.由題意知函數(shù)f(x)的最小正周期為，2.(2)由(1)得f(x)sin 2xcos 2x2sin，f2sin，sin.，cos，sin sinsincos cos sin ，f2sin2sin2cos 22(12sin2)2.