專題突破練16空間中的垂直與幾何體的體積1.(2018江蘇卷,15)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求證:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.2.如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)證明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點,且AEEC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.3.(2018江西南昌三模,文18)如圖,多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為正方形,AB=2,AE=3,DE=,EF=,cosCDE=,且EFBD.(1)證明:平面ABCD平面EDC;(2)求三棱錐A-EFC的體積.4.如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱錐D-ABCFE的體積.5.(2018河南鄭州三模,文19)如圖,四棱錐E-ABCD中,ADBC,AD=AB=AE=BC=1,且BC底面ABE,M為棱CE的中點,(1)求證:直線DM平面CBE;(2)當四面體D-ABE的體積最大時,求四棱錐E-ABCD的體積.6.如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面ACFD;(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.7.(2018全國卷3,文19)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點.(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)在線段AM上是否存在點P,使得MC平面PBD?說明理由.8.如圖(1),在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=6,CEAD于點E,把DEC沿CE折到DEC的位置,使DA=2,如圖(2).若G,H分別為DB,DE的中點.(1)求證:GHDA;(2)求三棱錐C-DBE的體積.參考答案專題突破練16空間中的垂直與幾何體的體積1.證明 (1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因為AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因為AA1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,因此AB1A1B.又因為AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因為A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因為AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.2.(1)證明 取AC的中點O,連接DO,BO.因為AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.從而AC平面DOB,故ACBD.(2)解 連接EO.由(1)及題設知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由題設知AEC為直角三角形,所以EO=AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.故E為BD的中點,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.3.(1)證明 AB=2,AE=3,DE=,由勾股定理得ADDE.又正方形ABCD中ADDC,且DEDC=D,AD平面EDC.AD面ABCD,平面ABCD平面EDC.(2)解 由已知cosCDE=,連接AC交BD于G.作OECD于O,則OD=DEcosCDE=1,OE=2.又由(1)知,平面ABCD平面EDC,平面ABCD平面EDC=CD,OE平面EDC,得OE面ABCD.由EFBD,EF=,知四邊形DEFG為平行四邊形,即DEFG,而VA-EFC=VE-AFC,進而VA-EFC=VE-AFC=VD-AFC=VF-ADC.又由EFBD,VF-ADC=VE-ADC=222=,所以,三棱錐A-EFC的體積為.4.(1)證明 由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)解 由EFAC得.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以,OD平面ABC.又由得EF=.五邊形ABCFE的面積S=68-3=.所以五棱錐D-ABCFE的體積V=2.5.解 (1)AE=AB,設N為EB的中點,ANEB.又BC平面AEB,AN平面AEB,BCAN.又BCBE=B,AN平面BCE.MNBC,MN=BC,ADMN.四邊形ANMD為平行四邊形,DMAN,DM平面CBE.(2)設EAB=,AD=AB=AE=1,且AD底面ABE,則四面體D-ABE的體積V=AEABsin AD=sin ,當=90,即AEAB時體積最大.又BC平面AEB,AE平面AEB,AEBC,BCAB=B,AE平面ABC,VE-ABCD=(1+2)11=.6.(1)證明 延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.因為平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因為EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點,則BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解 因為BF平面ACK,所以BDF是直線BD與平面ACFD所成的角.在RtBFD中,BF=,DF=,得cosBDF=,所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為.7.解 (1)由題設知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因為BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因為M為上異于C,D的點,且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)當P為AM的中點時,MC平面PBD.證明如下:連接AC交BD于O.因為ABCD為矩形,所以O為AC中點.連接OP,因為P為AM中點,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.8.(1)證明 連接BE,GH,AC,在AED中,ED2=AE2+AD2,可得ADAE.又DC=2,AC=2,可得AC2+AD2=CD2,可得ADAC.因為AEAC=A,所以AD平面ABCE,所以ADBE.又G,H分別為DB,DE的中點,所以GHBE,所以GHDA.(2)解 設三棱錐C-DBE的體積為V,則V=SBCEAD=222.