2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題(重點(diǎn))3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則(xiE(X)2描述了xi(i1,2，n)相對于均值E(X)的偏離程度，而D(X)為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(2)意義：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小2隨機(jī)變量的方差與樣本方差的關(guān)系隨機(jī)變量的方差是總體的方差，它是一個(gè)常數(shù)，樣本的方差則是隨機(jī)變量，是隨樣本的變化而變化的對于簡單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差3服從兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，則D(X)np(1p)4離散型隨機(jī)變量方差的線性運(yùn)算性質(zhì)設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aXb)a2D(X)基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)離散型隨機(jī)變量的期望E()反映了取值的概率的平均值；()(2)離散型隨機(jī)變量的方差D()反映了取值的平均水平；()(3)離散型隨機(jī)變量的方差D()反映了取值的波動水平()(4)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定()解析(1)因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量的期望E()反映了取值的平均水平(2)因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量的方差D()反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度(3)由方差的意義可知(4)離散型隨機(jī)變量的方差越大，說明隨機(jī)變量的穩(wěn)定性越差，方差越小，穩(wěn)定性越好答案(1)(2)(3)(4)2若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率P0.5，則E(X)和D(X)分別為() 【導(dǎo)學(xué)號：95032190】A0.250.5B0.50.75C0.50.25 D10.75CE(X)0.5，D(X)0.5(10.5)0.25.3已知隨機(jī)變量，D()，則的標(biāo)準(zhǔn)差為_的標(biāo)準(zhǔn)差.4已知隨機(jī)變量的分布列如下表：101P則的均值為_，方差為_. 【導(dǎo)學(xué)號：95032191】均值E()x1p1x2p2x3p3(1)01；方差D()(x1E()2p1(x2E()2p2(x3E()2p3.合 作 探 究攻 重 難求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差已知X的分布列如下：X101Pa(1)求X2的分布列；(2)計(jì)算X的方差；(3)若Y4X3，求Y的均值和方差解(1)由分布列的性質(zhì)，知a1，故a，從而X2的分布列為X201P(2)法一：(直接法)由(1)知a，所以X的均值E(X)(1)01.故X的方差D(X).法二：(公式法)由(1)知a，所以X的均值E(X)(1)01，X2的均值E(X2)01，所以X的方差D(X)E(X2)E(X)2.(3)因?yàn)閅4X3，所以E(Y)4E(X)32，D(Y)42D(X)11.規(guī)律方法方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)！在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式D(X)E(X2)E(X)2不失為一種比較實(shí)用的方法另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aXb)a2D(X)跟蹤訓(xùn)練1已知的分布列為：010205060P(1)求的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)Y2E()，求D(Y)解(1)E()01020506016，D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，8.(2)Y2E()，D(Y)D(2E()22D()43841 536.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差設(shè)X的分布列為P(Xk)C(k0,1,2,3,4,5)，則D(3X)() 【導(dǎo)學(xué)號：95032192】A10B30C15 D5A由P(Xk)C(k0,1,2,3,4,5)可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布XB所以D(X)5，D(3X)9D(X)10.母題探究：1.(變換條件、改變問法)本例題改為隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，且E(3X2)9.2，D(3X2)12.96，求二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值解由E(3X2)9.2，D(3X2)12.96及XB(n，p)知即解得所以二項(xiàng)分布的參數(shù)n6，p0.4.2(改變問法)本例題條件不變，求E(3X2)解由例題可知XB所以E(X)5.故E(3X2)3E(X)27.規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)注點(diǎn)(1)寫出離散型隨機(jī)變量的分布列(2)正確應(yīng)用均值與方差的公式進(jìn)行計(jì)算(3)對于二項(xiàng)分布，關(guān)鍵是通過題設(shè)環(huán)境確定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，然后直接應(yīng)用公式計(jì)算均值、方差的實(shí)際應(yīng)用探究問題1A，B兩臺機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表：A機(jī)床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求E(X1)，E(X2)提示E(X1)00.710.220.0630.040.44.E(X2)00.810.0620.0430.100.44.2在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？提示不能因?yàn)镋(X1)E(X2)3在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A、B兩臺機(jī)床加工質(zhì)量？提示利用樣本的方差方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：95032193】思路探究(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出，的分布列(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的均值，然后再看其方差值解(1)由題意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分別為10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()>E()，D()<D()，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好規(guī)律方法利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問題的步驟1比較均值離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問題中，需先計(jì)算均值，看一下誰的平均水平高2在均值相等的情況下計(jì)算方差方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度通過計(jì)算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定3下結(jié)論依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2有甲、乙兩名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時(shí)，各自的成績在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分?jǐn)?shù)X8090100概率P0.20.60.2乙：分?jǐn)?shù)Y8090100概率P0.40.20.4試分析兩名學(xué)生的成績水平解因?yàn)镋(X)800.2900.61000.290，D(X)(8090)20.2(9090)20.6(10090)20.240，E(Y)800.4900.21000.490，D(Y)(8090)20.4(9090)20.2(10090)20.480，即E(X)E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲生與乙生的成績均值一樣，甲的方差較小，因此甲生的學(xué)習(xí)成績較穩(wěn)定當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1設(shè)隨機(jī)變量XB，則D的值等于()A1B2C. D4C隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布所以DD(X)82已知X的分布列為X101P0.50.30.2則D(X)等于() 【導(dǎo)學(xué)號：95032194】A0.7 B0.61C0.3 D0BE(X)10.500.310.20.3，D(X)0.5(10.3)20.3(00.3)20.2(10.3)20.61.3已知隨機(jī)變量X，D(10X)，則X的方差為_D(10X)100D(X)，D(X).4有兩臺自動包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1，X2，已知E(X1)E(X2)，D(X1)>D(X2)，則自動包裝機(jī)_的質(zhì)量較好乙因?yàn)镋(X1)E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包裝機(jī)的質(zhì)量穩(wěn)定5為防止風(fēng)沙危害，某地政府決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，已知E(X)4，D(X)，求n，p的值. 【導(dǎo)學(xué)號：95032195】解由題意知，X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，由E(X)np4，D(X)np(1p)，得1p，p，n6.