第1課時(shí)余弦定理及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法.2.會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題知識點(diǎn)一余弦定理在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有余弦定理語言敘述三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá)a2b2c22bccos A，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC推論cosA，cosB，cosC思考在a2b2c22bccosA中，若A90，公式會變成什么？答案a2b2c2，即勾股定理知識點(diǎn)二余弦定理可以用于兩類解三角形問題(1)已知三角形的兩邊和它們的夾角，求三角形的第三邊和其他兩個(gè)角(2)已知三角形的三邊，求三角形的三個(gè)角1在ABC中，已知兩邊及夾角時(shí)，ABC不一定唯一()2在ABC中，三邊一角隨便給出三個(gè)，可求其余一個(gè)()3在ABC中，若a2b2c20，則角C為直角()4在ABC中，若a2b2c2>0，則角C為鈍角()題型一用余弦定理解三角形命題角度1已知兩邊及其夾角例1在ABC中，a1，b2，cosC，則c；sinA.答案2解析根據(jù)余弦定理，得c2a2b22abcosC12222124，解得c2.由a1，b2，c2，得cosA，所以sinA.反思感悟已知三角形兩邊及其夾角時(shí)，應(yīng)先從余弦定理入手求出第三邊跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.解由余弦定理，得c2a2b22abcosC84，所以c.由正弦定理，得sinA，因?yàn)閎>a，所以B>A，所以A為銳角，所以A30.命題角度2已知三邊例2在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.解根據(jù)余弦定理，得cos A.A(0，)，A，cos C，C(0，)，C.BAC，A，B，C.反思感悟已知三邊求三角，可利用余弦定理的推論先求一個(gè)角跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，sinAsinBsinC245，判斷三角形的形狀解因?yàn)閍bcsinAsinBsinC245，所以可令a2k，b4k，c5k(k>0)c最大，cosC<0，所以C為鈍角，從而三角形為鈍角三角形題型二余弦定理的證明例3已知鈍角ABC，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，試借助三角函數(shù)定義用a，b，C表示邊c.解不妨設(shè)A為鈍角如圖，作BDCA，交CA延長線于點(diǎn)D.由三角函數(shù)定義，sinC，cosC，BDasinC，CDacosC.ADCDCAacosCb.c2BD2AD2a2sin2C(acosCb)2a2sin2Ca2cos2Cb22abcosCa2b22abcosC.引申探究注意到|b，|a，的夾角為C，恰好可以作為一組基底，能否用平面向量完成例3?解，|2()2222，即c2a2b22abcosC.反思感悟所謂證明，就是在新舊知識間架起一座橋梁橋梁架在哪兒，要勘探地形，證明一個(gè)公式，要觀察公式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識，看有沒有相似的地方跟蹤訓(xùn)練3用解析幾何的兩點(diǎn)間距離公式來證明余弦定理解如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，BC2b2cos2A2bccosAc2b2sin2A，即a2b2c22bccosA.同理可證b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.合理探究運(yùn)算思路典例在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，則AC邊上的中線長為答案7解析方法一由條件知cos A，設(shè)中線長為x，由余弦定理，知x22AB22ABcos A429224949，所以x7.所以AC邊上的中線長為7.方法二設(shè)AC中點(diǎn)為M，連接BM(圖略)則()，2(222)(92722|cosABC)由余弦定理，得2|cosABC|2|2|2927282，|2(9272927282)49.BM7，即AC邊上的中線長為7.素養(yǎng)評析數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的一個(gè)重要表現(xiàn)就是探究運(yùn)算思路，探究運(yùn)算思路最主要的是弄清楚3個(gè)問題：我有什么？我要什么？怎樣以我有達(dá)到我要？在本例中，我有三角形三邊長由此可求三角我要求中線長，由于M為中點(diǎn)，在ABM中，我有AB，AM，A(兩邊夾角)由此可求BM，思路貫通在方法二中，我有()我要|，只要平方平方后2，2都是已知的，只要求.我們知道要求數(shù)量積只需求出模和夾角模|，|已知，cosABC可求，由此思路貫通從以上分析可以看出，探究運(yùn)算思路始終圍繞三個(gè)問題進(jìn)行構(gòu)思、選擇、排除.1一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是，則三角形的第三條邊長為()A52B2C16D4答案B解析設(shè)第三條邊長為x，則x2523225352，x2.2在ABC中，a7，b4，c，則ABC的最小角為()A.B.C.D.答案B解析a>b>c，C為最小角且C為銳角，由余弦定理，得cosC.又C為銳角，C.3如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為()A.B.C.D.答案D解析設(shè)頂角為C，周長為l，因?yàn)閘5c，所以ab2c，由余弦定理，得cosC.4在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2b2c2ac，則角B為()A.B.C.或D.或答案A解析a2b2c2ac，cosB，又角B為ABC的內(nèi)角，B.5(2018青島模擬)如圖所示，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長為_答案解析sinBACsin(90BAD)cosBAD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcosBAD，BD21892333，BD.1余弦定理與勾股定理的關(guān)系：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例2利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知兩邊和夾角，解三角形(2)已知三邊求三角形的任意一角一、選擇題1在ABC中，已知B120，a3，c5，則b等于()A4B.C7D5答案C解析b2a2c22accos B3252235cos 12049，b7.2在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若abc357，則C的大小是()A.B.C.D.答案B解析abc357，設(shè)a3k，b5k，c7k，k>0，由余弦定理得cos C，又0<C<，C.3邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是()A90B120C135D150答案B解析設(shè)中間角為，則為銳角，cos，60，18060120為所求4在ABC中，已知b2ac且c2a，則cosB等于()A.B.C.D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，cosB.5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a3，b2，cos(AB)，則c等于()A4B.C3D.答案D解析由三角形內(nèi)角和定理可知cosCcos(AB)，又由余弦定理得c2a2b22abcosC9423217，所以c.6在ABC中，若滿足sin2Asin2BsinBsinCsin2C，則A等于()A30B60C120D150答案D解析設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C，由正弦定理得a2b2c2bc，cos A，又0<A<180，A150.7在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b3，c4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,7) B(1,5) C(，5) D(，5)答案C解析b3，c4，且ABC是銳角三角形，cosA>0，且cosC>0，7<a2<25，<a<5.8在ABC中，AB3，BC，AC4，則邊AC上的高為()A.B.C.D3答案B解析由余弦定理，得cosA，從而sinA，則AC邊上的高h(yuǎn)ABsinA3.二、填空題9在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a，且b2c23bc，則角A的大小為答案60解析a，且b2c23bc，b2c2a2bc，b2c2a2bc，cosA，0<A<180，A60.10在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2b2<c2，且sinC，則C.答案解析因?yàn)閍2b2<c2，所以cos C<0，所以三角形是鈍角三角形，且C>.又因?yàn)閟in C，所以C.11在ABC中，A60，最大邊長與最小邊長是方程x29x80的兩個(gè)實(shí)根，則邊BC的長為答案解析設(shè)內(nèi)角B，C所對的邊分別為b，c.A60，可設(shè)最大邊與最小邊分別為b，c.由條件可知bc9，bc8，BC2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A922828cos 6057，BC.三、解答題12在ABC中，已知A120，a7，bc8，求b，c.解由余弦定理，得a2b2c22bccosA(bc)22bc(1cosA)，所以49642bc，即bc15, 由解得或13.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從點(diǎn)O沿OD走到點(diǎn)D用了2min，從點(diǎn)D沿DC走到點(diǎn)C用了3min.若此人步行的速度為50m/min，求該扇形的半徑解依題意得OD100m，CD150m，連接OC，易知ODC180AOB60，因此由余弦定理，得OC2OD2CD22ODCDcosODC，即OC2100215022100150，解得OC50(m)14若ABC的三邊長分別為AB7，BC5，CA6，則的值為()A19B14C18D19答案D解析設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，依題意得a5，b6，c7.|cos(B)accos B.由余弦定理得b2a2c22accos B，accos B(b2a2c2)(625272)19，19.15已知a，b，c是ABC的三邊長，若直線axbyc0與圓x2y21無公共點(diǎn)，則ABC的形狀是()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不能確定答案B解析直線axbyc0與圓x2y21無公共點(diǎn)，圓心(0,0)到直線axbyc0的距離d>1，即a2b2c2<0，cos C<0，又C(0，)，C為鈍角故ABC為鈍角三角形