專題能力訓練22坐標系與參數(shù)方程(選修44)一、能力突破訓練1.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為x=1+3cost,y=-2+3sint(t為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為2sin-4=m(mR).(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程;(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值.2.在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=-8+t,y=t2(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x=2s2,y=22s(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值.3.(2018全國,理22)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cos,y=4sin(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos,y=2+tsin(t為參數(shù)).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.4.已知曲線C:x24+y29=1,直線l:x=2+t,y=2-2t(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.5.(2018全國,理22)在平面直角坐標系xOy中,O的參數(shù)方程為x=cos,y=sin(為參數(shù)),過點(0,-2)且傾斜角為的直線l與O交于A,B兩點.(1)求的取值范圍;(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.6.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=acost,y=1+asint(t為參數(shù),a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=4cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;(2)直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.7.在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為sin2-cos=0,點M1,2.以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.斜率為-1的直線l過點M,且與曲線C交于A,B兩點.(1)求出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程;(2)求點M到A,B兩點的距離之積.二、思維提升訓練8.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3+12t,y=32t(t為參數(shù)),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,C的極坐標方程為=23sin .(1)寫出C的直角坐標方程;(2)P為直線l上一動點,當點P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.9.已知直線l的參數(shù)方程為x=1+2t,y=2t(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是=sin1-sin2.(1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程;(2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出點P的坐標.10.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3cos,y=sin(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為sin+4=42.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程;(2)設(shè)P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值,并求此時點P的坐標.專題能力訓練22坐標系與參數(shù)方程(選修44)一、能力突破訓練1.解 (1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9.由2sin-4=m,得sin -cos -m=0.所以直線l的直角坐標方程為x-y+m=0.(2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2,即|1-(-2)+m|2=2,解得m=-322.2.解 直線l的普通方程為x-2y+8=0.因為點P在曲線C上,設(shè)P(2s2,22s),從而點P到直線l的距離d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45.當s=2時,dmin=455.因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值455.3.解 (1)曲線C的普通方程為x24+y216=1.當cos 0時,l的普通方程為y=tan x+2-tan ,當cos =0時,l的普通方程為x=1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0,因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以有兩個解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直線l的斜率k=tan =-2.4.解 (1)曲線C的參數(shù)方程為x=2cos,y=3sin(為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點P(2cos ,3sin )到l的距離為d=55|4cos +3sin -6|,則|PA|=dsin30=255|5sin(+)-6|,其中為銳角,且tan =43.當sin(+)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為2255.當sin(+)=1時,|PA|取得最小值,最小值為255.5.解 (1)O的普通方程為x2+y2=1.當=2時,l與O交于兩點.當2時,記tan =k,則l的方程為y=kx-2,l與O交于兩點當且僅當21+k2<1,解得k<-1或k>1,即4,2或2,34.綜上,的取值范圍是4,34.(2)l的參數(shù)方程為x=tcos,y=-2+tsint為參數(shù),4<<34.設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=tA+tB2,且tA,tB滿足t2-22tsin +1=0.于是tA+tB=22sin ,tP=2sin .又點P的坐標(x,y)滿足x=tPcos,y=-2+tPsin.所以點P的軌跡的參數(shù)方程是x=22sin2,y=-22-22cos2為參數(shù),4<<34.6.解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為2-2sin +1-a2=0.(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組2-2sin+1-a2=0,=4cos.若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上,所以a=1.7.解 (1)x=cos ,y=sin ,由sin2-cos =0,得2sin2=cos .所以y2=x即為曲線C的直角坐標方程.點M的直角坐標為(0,1),直線l的傾斜角為34,故直線l的參數(shù)方程為x=tcos34,y=1+tsin34(t為參數(shù)),即x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù)).(2)把直線l的參數(shù)方程x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù))代入曲線C的方程得1+22t2=-22t,即t2+32t+2=0,=(32)2-42=10>0.設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-32,t1t2=2.又直線l經(jīng)過點M,故由t的幾何意義得點M到A,B兩點的距離之積|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2.二、思維提升訓練8.解 (1)由=23sin ,得2=23sin ,從而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)設(shè)P3+12t,32t,又C(0,3),則|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,故當t=0時,|PC|取得最小值,此時,點P的直角坐標為(3,0).9.解 (1)由x=1+2t,y=2t,得x-y=1,故直線的極坐標方程為cos -sin =1,即2coscos4-sinsin4=1,即2cos+4=1.=sin1-sin2,=sincos2,cos2=sin ,(cos )2=sin ,即曲線C的直角坐標方程為y=x2.(2)設(shè)P(x0,y0),y0=x02,則P到直線l的距離d=|x0-y0-1|2=|x0-x02-1|2=-x0-122-342=x0-122+342.當x0=12時,dmin=328,此時P12,14.當點P的坐標為12,14時,P到直線l的距離最小,最小值為328.10.解 (1)由曲線C1:x=3cos,y=sin(為參數(shù)),得x3=cos,y=sin(為參數(shù)),兩式兩邊平方相加,得x32+y2=1,即曲線C1的普通方程為x23+y2=1.由曲線C2:sin+4=42,得22(sin +cos )=42,即sin +cos =8,所以x+y-8=0,即曲線C2的直角坐標方程為x+y-8=0.(2)由(1)知,橢圓C1與直線C2無公共點,橢圓上的點P(3cos ,sin )到直線x+y-8=0的距離d=|3cos+sin-8|2=2sin+3-82,所以當sin+3=1時,d的最小值為32,此時點P的坐標為32,12.