選修42矩陣與變換第1課時線性變換、二階矩陣及其乘法1. 已知矩陣A，B滿足AXB，求矩陣X.解：設(shè)X，由得解得所以X.2. 已知變換矩陣A：平面上的點P(2，1)，Q(1，2)分別變換成點P1(3，4)，Q1(0，5)，求變換矩陣A.解：設(shè)所求的變換矩陣A，依題意，可得 及 ，即解得所以所求的變換矩陣A.3. 已知M，N，求二階矩陣X，使MXN.解：設(shè)X，由題意有，根據(jù)矩陣乘法法則有解得 X.4. 曲線x24xy2y21在二階矩陣M的作用下變換為曲線x22y21，求實數(shù)a，b的值解：設(shè)P(x，y)為曲線x22y21上任意一點，P(x，y)為曲線x24xy2y21 上與P對應(yīng)的點，則，即代入x22y21得(xay)22(bxy)21，整理得(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21，又x24xy2y21，所以解得5. (2017揚州中學期初)已知點M(3, 1)繞原點按逆時針旋轉(zhuǎn)90后，在矩陣A對應(yīng)的變換作用下，得到點N(3，5)，求a，b的值解：由題意，又，所以解得6. 已知曲線C: y22x在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到曲線C1，C1在矩陣N對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2，求曲線C2的方程解：設(shè)ANM，則A，設(shè)P(x，y)是曲線C上任一點，在兩次變換作用下，在曲線C2上的對應(yīng)點為P(x, y)，則 ， 即 又點P(x，y)在曲線C: y22x上， 22y，即曲線C2的方程為yx2.7. 設(shè)曲線2x22xyy21在矩陣A(a0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2y21.求實數(shù)a，b的值解：設(shè)曲線2x22xyy21上任一點P(x，y)在矩陣A對應(yīng)變換作用下得到點P(x，y)，則，所以因為x2y21，所以(ax)2(bxy)21，即(a2b2)x22bxyy21，所以解得8. 求圓C：x2y21在矩陣A對應(yīng)的變換作用下所得的曲線的方程解：設(shè)圓C上任一點(x1，y1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點(x，y)，則，則x1，y1，代入x2y21得所求曲線的方程為1.9. 已知矩陣A，B.若矩陣AB對應(yīng)的變換把直線l：xy20變?yōu)橹本€l，求直線l的方程解： A，B， AB.在直線l上任取一點P(x，y)，設(shè)它是由l上的點P0(x0，y0)經(jīng)矩陣AB所對應(yīng)的變換作用所得， 點P0(x0，y0)在直線l：xy20上， x0y020.又AB，即， .將代入得xyy20，即4xy80， 直線l的方程為4xy80.10. 在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點P(x，3)在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到點Q(y4，y2)，求M2.解：依題意，即解得M2，所以M2.11. 已知曲線C1：x2y21，對它先作矩陣A對應(yīng)的變換，再作矩陣B對應(yīng)的變換，得到曲線C2：y21，求實數(shù)m的值解：BA，設(shè)P(x0，y0)是曲線C1上的任一點，它在矩陣BA變換作用下變成點P(x，y)，則，則即又點P在曲線C1上，則y21，所以m21，所以m1.第2課時逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量1. 已知變換T：，試寫出變換T對應(yīng)的矩陣A，并求出其逆矩陣A1. 解：由T：，得A.設(shè)A1，則AA1，所以解得所以A1.2. (2017蘇北四市期末)已知矩陣A的一個特征值為2，其對應(yīng)的一個特征向量為.求實數(shù)a，b的值解：由條件知，A2，即2，即，所以 解得3. (2017揚州期末)已知a，bR，若點M(1，2)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點N(2，7)，求矩陣A的特征值解：由題意得，即解得所以A，所以矩陣A的特征多項式為f()2815.令f()0，解得5或3，即矩陣A的特征值為5和3.4. 已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值11的一個特征向量為1，屬于特征值24的一個特征向量為2，求矩陣A.解：由特征值、特征向量定義可知，A111，即1，得同理可得解得因此矩陣A.5. 已知矩陣A，A的逆矩陣A1，求A的特征值解：AA1 , ，則解得 A ，A的特征多項式f()(3)(1)令f()0，解得3或1. A的特征值為3和1.6. 已知矩陣A.若矩陣A屬于特征值3的一個特征向量為，求該矩陣的另一個特征值解：因為3，則解得所以A.由f()(1)240，所以(1)(3)0，解得11，23.所以另一個特征值是1.7. 已知a，bR，矩陣A，若矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為1，屬于特征值5的一個特征向量為2.求矩陣A，并寫出A的逆矩陣解：由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為1，得， 3ab3.由矩陣A屬于特征值5的一個特征向量為2，得5， ab5.聯(lián)立，解得即A. A的逆矩陣A1.8. 設(shè)是矩陣M的一個特征向量(1) 求實數(shù)a的值；(2) 求矩陣M的特征值 解：(1) 設(shè)是矩陣M屬于特征值的一個特征向量，則，故解得 a1.(2) 令f()(1)(2)60，解得 14，21.9. 已知矩陣A將直線l：xy10變換成直線l.(1) 求直線l的方程；(2) 判斷矩陣A是否可逆若可逆，求出矩陣A的逆矩陣A1；若不可逆，請說明理由解：(1) 在直線l上任取一點P(x0，y0)，設(shè)它在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镼(x，y) ， 即 點P(x0，y0)在直線l：xy10上， 10，即直線l的方程為4xy70.(2) det(A)70， 矩陣A可逆設(shè)A1， AA1，解得 A1.10. 在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點P(x，5)在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到點Q(y2，y)，求M1.解：依題意，即解得由逆矩陣公式知，矩陣M的逆矩陣M1，所以M1.11. (2017南通、泰州期末)已知向量是矩陣A屬于特征值1的一個特征向量在平面直角坐標系xOy中，點P(1，1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(3，3)，求矩陣A.解：設(shè)A，因為向量是矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量，所以(1).所以因為點P(1，1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(3，3)，所以，所以解得所以A.