1.2.1 函數(shù)的概念
【雙向目標(biāo)】
課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念．
B.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．
C.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段)．
a數(shù)學(xué)抽象：數(shù)學(xué)集合概念的理解、描述法表示集合的方法
b邏輯推理：集合的互異性的辨析與應(yīng)用
c數(shù)學(xué)運(yùn)算：集合相等時(shí)的參數(shù)計(jì)算，集合的描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時(shí)的運(yùn)算
d 直觀想象：利用數(shù)軸表示數(shù)集、集合的圖形表示
e 數(shù)學(xué)建模：用集合思想對(duì)實(shí)際生活中的對(duì)象進(jìn)行判斷與歸類
【課標(biāo)知識(shí)】
知識(shí)提煉
基礎(chǔ)過關(guān)
知識(shí)1：函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,其集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
知識(shí)2:函數(shù)的表示方法
(1)解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法．
(2)圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法．
(3)列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法．
知識(shí)3：構(gòu)成函數(shù)的三要素
(1)函數(shù)的三要素是：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域；
(2)兩個(gè)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等．
知識(shí)4：分段函數(shù)
若函數(shù)在定義域的不同子集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同，這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)，它是一類重要的函數(shù)．
知識(shí)5：映射的概念
一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．
知識(shí)6：復(fù)合函數(shù)
一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)
(1)對(duì)于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)函數(shù)y＝()2與y＝是同一個(gè)函數(shù)．( )
(3)定義域與值域均相同的兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)．( )
(4)分段函數(shù)不是一個(gè)函數(shù)，而是多個(gè)函數(shù)．( )
(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對(duì)應(yīng)是從A到B的映射．( )
2.函數(shù)f(x)＝ln＋x的定義域?yàn)?( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
3.設(shè)f(x)＝則f(f(－2))等于( )
A．－1 B.
C.D.
4.(2015全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)
f(x)＝
則f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
5.(2015全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖象過點(diǎn)(－1，4)，則a＝________.
6.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，
則實(shí)數(shù)a＝________，b＝________.
基礎(chǔ)過關(guān)參考答案：
1. 【解析】 (1)錯(cuò)誤．值域是集合B的子集．
【答案】B
3.【解析】因?yàn)椋?<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝.
故選C.
【答案】C
4.【解析】解：由條件得f(－2)＝1＋log24＝3，因?yàn)閘og212>1，所以f(log212)＝2(log212)－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.故選C.
【答案】C
5.【解析】由題意知點(diǎn)(－1，4)在函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖象上，所以4＝－a＋2，則a＝－2.故填－2.
【答案】－2．
6.【解析】因?yàn)閒(x)－f(a)＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝
x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，
所以
解得a＝－2，b＝1.
【答案】－2；1.
【能力素養(yǎng)】
探究一 求函數(shù)的定義域
函數(shù)定義域即自變量的取值范圍，是研究函數(shù)的首要考慮因素。
例1．函數(shù)f(x)＝＋lg的定義域?yàn)? )
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
【分析】確定函數(shù)的定義域首先根據(jù)所給的函數(shù)解析式特點(diǎn)（即包含的運(yùn)算）來建立不等式，求解；
【答案】 C
【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)定義域的原則：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實(shí)數(shù)x的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在x軸上的投影所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的集合；當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用解析法表示時(shí)，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合，一般通過列不等式(組)求其解集．常見的條件有：分式的分母不等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下的被開方數(shù)大于或等于0等．若已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)y＝f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出．
【變式訓(xùn)練】
1．函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】 要使函數(shù)有意義，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－3)∪(1，＋∞)．
【答案】 D
2.若函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為________．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2x2+2ax - a－1≥0對(duì)x∈R恒成立，則x2＋2ax－a≥0恒成立．
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.故填[－1，0]．
【答案】[－1，0]
3.若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[1，2 019]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是________．
【解析】因?yàn)閥＝f(x)的定義域?yàn)閇1，2 019]，所以g(x)有意義，應(yīng)滿足
所以0≤x≤2 018，且x≠1.因此g(x)的定義域?yàn)閧x|0≤x≤2 018，且x≠1}．故填{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
【答案】{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
探究二 求函數(shù)的值域
求函數(shù)的值域是個(gè)較復(fù)雜的問題，它比求函數(shù)的定義域難度要大，而單調(diào)性法，即根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性求函數(shù)的值域是較為簡單且常用的方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握．
例2：求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝； (2)y＝2x＋； (3)y＝2x＋；
(4)y＝； (5)若x，y滿足3x2＋2y2＝6x，求函數(shù)z＝x2＋y2的值域；
(6)f(x)＝－.
(2)(代數(shù)換元法) 令t＝(t≥0)，所以x＝1－t2，
所以y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋.
因?yàn)閠≥0，所以y≤，故函數(shù)的值域?yàn)?
(3)(三角換元法) 令x＝cost(0≤t≤π)，所以y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ).
因?yàn)?≤t≤π，所以φ≤t＋φ≤π＋φ，所以sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1,故函數(shù)的值域?yàn)閇－2，]．
(4)解法一：(不等式法) 因?yàn)閥＝＝＝(x－1)＋，
又因?yàn)閤＞1時(shí)，x－1＞0，x＜1時(shí)，x－1＜0，
所以當(dāng)x>1時(shí)，y＝(x－1)＋≥2＝4，且當(dāng)x＝3，等號(hào)成立；
當(dāng)x<1時(shí)，y＝－≤－4，且當(dāng)x＝－1，等號(hào)成立．
所以函數(shù)的值域?yàn)?－∞，－4]∪[4，＋∞)．
解法二：(判別式法) 因?yàn)閥＝，所以x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，
所以當(dāng)x＝0時(shí)，z有最小值0，當(dāng)x＝2時(shí)，z有最大值4，
故所求函數(shù)的值域?yàn)閇0，4]．
(6)(圖象法) f(x)＝
作出其圖象，可知函數(shù)f(x)的值域是.
【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)值域的常用方法：①單調(diào)性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分離常數(shù)法，如(1)；④數(shù)形結(jié)合法；⑤換元法(包括代數(shù)換元與三角換元)，如(2)，(3)；⑥判別式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧導(dǎo)數(shù)法，主要是針對(duì)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)；⑨圖象法，求分段函數(shù)的值域通常先作出函數(shù)的圖象，然后由函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的值域，如(6)；對(duì)于二元函數(shù)的值域問題，如(5)，其解法要針對(duì)具體題目的條件而定，有些題目可以將二元函數(shù)化為一元函數(shù)求值域，有些題目也可用不等式法求值域．
【變式訓(xùn)練】
1.函數(shù)y＝的值域?yàn)開_______．
【解析】y＝＝＝1－，因?yàn)椤?，且可取除0外的一切實(shí)數(shù)，所以1－≠1，
且可取除1外的一切實(shí)數(shù)．故函數(shù)的值域是{y|y∈R且y≠1}．故填{y|y∈R且y≠1}．
【答案】{y|y∈R且y≠1}
2.函數(shù)f(x)＝x＋的值域?yàn)開_______．
【解析】(代數(shù)換元法)函數(shù)的定義域?yàn)椋?
令t＝(t≥0)，則x＝.
所以y＝＋t＝－(t－1)2＋1(t≥0)，
故當(dāng)t＝1(即x＝0)時(shí)，y有最大值1，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，1]．故填(－∞，1]．
【答案】(－∞，1]．
3.函數(shù)y＝的值域是________．
【答案】[1，5]．
探究三 求函數(shù)解析式
求函數(shù)解析式是根據(jù)條件求解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，方法眾多，技巧性強(qiáng)，體現(xiàn)較強(qiáng)的方程思想。
例3：(1)已知f＝lg x，則f(x)＝________.
(2)已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)＝________.
(3)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2f－1，則f(x)＝________.
【解析】 (1)令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝lg ，又x>0，所以t>1.
(3)在f(x)＝2f－1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，
由得f(x)＝＋.
【答案】 (1)lg(x>1) (2)x2＋x(x∈R) (3)＋
【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)解析式的四種常見方法
1．待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法．
2．換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍．
3．配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的
解析式．
4.消去法：已知f(x)與f或f(－x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
【變式訓(xùn)練】
1．已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________.
【解析】(換元法)令＋1＝t，則x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．故填x2－1(x≥1)．
【答案】x2－1(x≥1)
2.已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________.
【解析】(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以 解得 所以f(x)＝2x＋7.故填2x＋7.
【答案】2x＋7.
3.已知f＝x2＋，則f(x)＝________.
【解析】(配湊法)f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2)．
故填x2－2(|x|≥2)．
【答案】x2－2(|x|≥2)．
4．已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________.
【解析】 以代替x得2f＋f(x)＝，由得f(x)＝2x－(x≠0)．
【答案】 2x－(x≠0)
探究四 分段函數(shù)
分段函數(shù)是高考的熱點(diǎn)，考查方向主要是：（1）．根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值；（2）．已知函數(shù)值(或函數(shù)值的范圍)求自變量的值(或范圍)。
例4：（1）(2015全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】 C
（2）設(shè)函數(shù)f(x)＝若f＝4，則b＝( )
A．1 B.
C. D.
【解析】 f＝3－b＝－b，若－b<1，即b>，則3－b＝－4b＝4，解得b＝，
不符合題意，舍去；若－b≥1，即b≤，則2－b＝4，解得b＝.
【答案】 D
【點(diǎn)評(píng)】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)形如f(f(x0))的求值問題時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．
【變式訓(xùn)練】
1.設(shè)f(x)＝則f(f(－2))＝( )
A．－1 B. C. D.
【解析】 因?yàn)椋?<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f＝1－＝1－＝.
【答案】 C
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))＝2，則a＝________.
【解析】 若a＞0，則f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝.
若a≤0，則f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解．
【答案】
3．(2014全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________．
【答案】 (－∞，8]
4．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【解析】 f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a))≤2時(shí)，得f(a)≥－2，而滿足f(a)≥－2時(shí)，得a≤.
【答案】 (－∞，]
【課時(shí)作業(yè)】
課標(biāo) 素養(yǎng)
數(shù)學(xué)
抽象
邏輯
推理
數(shù)學(xué)
運(yùn)算
直觀
想象
數(shù)學(xué)
建模
數(shù)據(jù)
分析
A
2,6
1,2,3,4,
2,4
3
B
7,8,9,10
5,6,7,8
5,6,7,8,13
10,
9,13
C
11,14,15,
16
10,12,14,
15,16
10,11,12,14,
15,16
一、選擇題
1．(2016全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝
【解析】函數(shù)y＝10lgx的定義域、值域均為(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定義域均為R，排除A，C；y＝lgx的值域?yàn)镽，排除B.故選D.
【答案】D
2．有以下判斷：
①f(x)＝與g(x)＝表示同一函數(shù)； ②函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)；
③f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0.
其中正確的有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
系均相同，所以是同一函數(shù)，③正確；對(duì)于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1，④錯(cuò)誤．
綜上可知，正確的判斷是②③.故選B.
【答案】B
3．設(shè)M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，則y＝f(x)的圖象可以是( )
【解析】A項(xiàng)定義域?yàn)閇－2，0]，D項(xiàng)值域不是[0，2]，C項(xiàng)對(duì)定義域中除2以外的任一x均有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，故A，C，D均不符合條件．故選B.
【答案】B
4．函數(shù)y＝的定義域?yàn)? )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 由題意知即故C正確．
【答案】 C
5．設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)＝ln 的定義域?yàn)镸，則?RM＝( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]
【答案】 C
6．已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2＋1，則f＋f的值為( )
A．2 B．－2 C．0 D．2log2
【解析】 f＝＋log2，f＝＋log23，所以f＋f＝2.
【答案】 A
7．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】 因?yàn)閒(1)＝21＝2，且f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－2.因?yàn)閤>0時(shí)，f(x)>1，
所以a≤0，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.
【答案】 A
8.已知函數(shù)f(x)＝ 若f(a)＝5，則a的取值集合為( )
A．{－2，3，5} B．{－2，3} C．{－2，5} D．{3，5}
【解析】令3＋log2(a－1)＝5，得a＝5，令a2－a－1＝5，得a＝3(舍)或a＝－2，故a∈{－2，5}．或由f(－2)＝(－2)2－(－2)－1＝5，f(3)＝3＋log22＝4，f(5)＝3＋log24＝5，所以排除A，B，D.故選C.
【答案】 C
9．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數(shù))．已知該工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
【解析】 因?yàn)榻M裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，所以＝15， ① 所以必有4
0時(shí)，由題意得－(x－1)2≥－1，解得0
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