課時作業(yè)45 圓的方程
[基礎達標]
一、選擇題
1．經過點(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點的圓的方程為( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：由得
即所求圓的圓心坐標為(1,1)，
又由該圓過點(1,0)，得其半徑為1，
故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.
答案：B
2．圓(x＋2)2＋y2＝5關于原點O(0,0)對稱的圓的方程為( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：圓上任一點(x，y)關于原點的對稱點(－x，－y)在圓(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
3．[2019湖南五校聯(lián)考]圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點有( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝＝2，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點有2個．故選B.
答案：B
4．[2019福州質檢]設圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，
即>，所以原點在圓外．
答案：B
5．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓有最大的面積，則取最大面積時，該圓的圓心的坐標為( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(0，－1)
解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圓的半徑r＝＝，
當k＝0時，rmax＝＝1，
此時圓的方程為x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圓心為(0，－1)．
答案：D
二、填空題
6．[2016天津卷]已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________．
解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a,0)，且a>0，
所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝，
解得a＝2，
所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3，
所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
7．已知點P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上運動，則的最大值與最小值分別為________．
解析：設＝k，則k表示點P(x，y)與點(2,1)連線的斜率．當該直線與圓相切時，k取得最大值與最小值．
由＝1，解得k＝.
答案：；－
8．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是________．
解析：∵圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圓心為(－1,2)，且5－a>0，
即a<5.
又圓關于直線y＝2x＋b成軸對稱，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
答案：(－∞，1)
三、解答題
9．已知圓心為C的圓經過點A(0，－6)，B(1，－5)，且圓心在直線l：x－y＋1＝0上，求圓的標準方程．
解析：解法一 設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則圓心坐標為.
由題意可得
消去F得，
解得，代入求得F＝－12，
所以圓的方程為x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
標準方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
解法二 因為A(0，－6)，B(1，－5)，
所以線段AB的中點D的坐標為，
直線AB的斜率kAB＝＝1，
因此線段AB的垂直平分線l的方程是
y＋＝－，
即x＋y＋5＝0.
圓心C的坐標是方程組的解，
解得，
所以圓心C的坐標是(－3，－2)．
圓的半徑長
r＝|AC|＝＝5，
所以，圓心為C的圓的標準方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
10．已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值．
解析：(1)因為x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圓心C(2,7)，半徑r＝2，設m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程，
因為該直線與圓有公共點，
所以圓心到直線的距離d＝≤2，
解上式得，16－2≤t≤16＋2，
所以所求的最大值為16＋2.
(2)記點Q(－2,3)，
因為表示直線MQ的斜率k，
所以直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直線MQ與圓C有公共點，
得≤2.
可得2－≤k≤2＋，所以的最大為2＋，最小值為2－.
[能力挑戰(zhàn)]
11．已知圓M過兩點C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圓M的方程；
(2)設P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值．
解析：(1)設圓M的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
根據題意，得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因為四邊形PAMB的面積S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM||PA|＋|BM||PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四邊形PAMB面積的最小值為
S＝2＝2＝2.