17直線方程與圓的方程1.已知三點A(1,-2),B(a,-1),C(-b, 0)共線,則1+2aa+2+bb(a>0,b>0)的最小值為().A.11B.10C.6D.4解析由題意知,kAB=kBC,所以2a+b=1,所以1+2aa+2+bb=3+1a+2b=3+1a+2b(2a+b)=3+4+4ab+ba7+24abba=11,當(dāng)且僅當(dāng)a=14,b=12時等號成立,故選A.答案A2.圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=33x對稱的圓的方程是().A.(x-3)2+(y-1)2=4B.(x-2)2+(y-2)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-3)2=4解析設(shè)所求圓的圓心為(a,b),則b2=33a+22,ba-2=-3,所以a=1,b=3,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=4,故選D.答案D3.若圓x2+y2+4x-2y-a2=0截直線x+y+5=0所得弦的長度為2,則實數(shù)a=().A.2B.-2C.4D.4解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-1)2=5+a2,則圓心坐標(biāo)為(-2,1),半徑r=a2+5.所以圓心到直線x+y+5=0的距離為|-2+1+5|2=22.由1+(22)2=5+a2,得a=2,故選A.答案A4.已知AB為圓C:x2+y2-2y=0的直徑,點P為直線y=x-1上任意一點,則|PA|2+|PB|2的最小值為.解析圓心C(0,1),設(shè)PCA=,|PC|=m,則|PA|2=m2+1-2mcos ,|PB|2=m2+1-2mcos(-)=m2+1+2mcos ,|PA|2+|PB|2=2m2+2.又點C到直線y=x-1的距離d=|0-1-1|2=2,即m的最小值為2,|PA|2+|PB|2的最小值為2(2)2+2=6.答案6能力1會用直線方程判斷兩條直線的位置關(guān)系【例1】已知直線l1:(3+m)x+4y=5-3m與l2:2x+(m+5)y=8,則“l(fā)1l2”是“m<-1”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若l1l2,則(3+m)(5+m)=42,解得m=-1或m=-7,經(jīng)檢驗,當(dāng)m=-1時,l1與l2重合,m=-7,故“l(fā)1l2”是“m<-1”的充分不必要條件,故選A.答案A(1)當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時,若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.(2)在判斷兩條直線的平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.設(shè)aR,則“a=1”是“直線ax+y-1=0與直線x+ay+1=0平行”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若兩條直線平行,則a1=1a-11,解得a2=1,且a-1,所以a=1,即“a=1”是“直線ax+y-1=0與直線x+ay+1=0平行”的充要條件,故選C.答案C能力2會結(jié)合平面幾何知識求圓的方程【例2】若圓心在y軸上且通過點(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是().A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0解析設(shè)圓心為(0,b),半徑為r,則r=|b|,故圓的方程為x2+(y-b)2=b2.點(3,1)在圓上,9+(1-b)2=b2,解得b=5.圓的方程為x2+y2-10y=0,故選B.答案B確定圓心位置的方法:(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上;(2)圓心在任一弦的中垂線上;(3)兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心三點共線.點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是().A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1解析設(shè)圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),則x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2.因為點Q在圓x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡得(x-2)2+(y+1)2=1,故選A.答案A能力3會用幾何法求直線與圓中的弦長問題【例3】若直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,則直線l的方程是().A.x=0B.y=1C.x+y-1=0D.x-y+1=0解析依題意,直線l:y=kx+1過定點P(0,1),圓C:x2+y2-2x-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4,故圓心為C(1,0),半徑r=2,則易知定點P(0,1)在圓內(nèi),由圓的性質(zhì)可知當(dāng)PCl時,此時直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦長最短.因為kPC=1-00-1=-1,所以直線l的斜率k=1,即直線l的方程是x-y+1=0,故選D.答案D有關(guān)弦長問題的兩種求法:如圖所示,設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB,圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d,則有關(guān)系式:|AB|=2r2-d2若斜率為k的直線與圓相交于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點,則|AB|=1+k2(xA+xB)2-4xAxB=1+1k2(yA+yB)2-4yAyB,其中k0.特別地,當(dāng)k=0時,|AB|=|xA-xB|;當(dāng)斜率不存在時,|AB|=|yA-yB|過點(2,0)引直線l與圓x2+y2=2相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,當(dāng)AOB面積取最大值時,直線l的斜率為.解析由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,則直線方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0,當(dāng)AOB面積取最大值時,OAOB,此時圓心O到直線l的距離d=1,由點到直線的距離公式得d=|2k|1+k2=1,k=33.答案33能力4會用數(shù)形結(jié)合解決直線和圓中的最值問題【例4】已知P是直線l:3x-4y+11=0上的動點,PA,PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A,B為切點,C是圓心,則四邊形PACB面積的最小值是().A.2B.22C.3D.23解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心為C(1,1),半徑r=1.根據(jù)對稱性可知,四邊形PACB的面積為2SAPC=212|PA|r=|PA|=|PC|2-r2,要使四邊形PACB的面積最小,則只需|PC|最小,當(dāng)|PC|最小時,圓心到直線l:3x-4y+11=0的距離d=|3-4+11|32+(-4)2=105=2,所以四邊形PACB面積的最小值為|PC|min2-r2=4-1=3,故選C.答案C解決有關(guān)圓的最值問題一般要“數(shù)”與“形”結(jié)合,根據(jù)圓的知識探求最值時的位置關(guān)系.解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想主要表現(xiàn)在以下兩方面:(1)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題.(2)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.已知兩點A(0,-3),B(4,0),若點P是圓C:x2+y2-2y=0上的動點,則ABP面積的最小值為().A.6B.112C.8D.212解析如圖,過圓心C向直線AB作垂線交圓C于點P,此時ABP的面積最小.直線AB的方程為x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,圓心C(0,1)到直線AB的距離d=|30-41-12|32+(-4)2=165,|AB|=5,所以ABP面積的最小值為125165-1=112,故選B.答案B一、選擇題1.直線l經(jīng)過點A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率k的取值范圍是().A.-1<k<15B.-1<k<12C.k<-1或k>15D.k<-1或k>12解析設(shè)直線l的斜率為k,則直線方程為y-2=k(x-1),令y=0,得直線l在x軸上的截距為1-2k.由-3<1-2k<3,得k<-1或k>12,故選D.答案D2.已知圓C:(x-a)2+y2=1與拋物線y2=-4x的準(zhǔn)線相切,則a的值是().A.0B.2C.0或1D.0或2解析圓心坐標(biāo)為(a,0),準(zhǔn)線方程為x=1,所以|a-1|=1,解得a=0或a=2,故選D.答案D3.已知直線3x+4y+3=0與直線6x+my-14=0平行,則它們之間的距離是().A.2B.8C.175D.1710解析直線方程6x+my-14=0可化為3x+m2y-7=0,所以兩條平行直線之間的距離d=|3-(-7)|5=2,故選A.答案A4.過點A(1,-1),B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是().A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4解析AB的垂直平分線為y=x,直線y=x與x+y-2=0的交點是(1,1),即圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),故半徑r=(1-1)2+1-(-1)2=2,故選C.答案C5.若過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,則該切線的方程為().A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0解析由過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,得點(3,1)在圓上,代入可得r2=5,圓的方程為(x-1)2+y2=5,則得過點(3,1)的切線方程為(x-1)(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7=0,故選B.答案B6.已知過原點的直線l與圓C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點D的坐標(biāo)為(2,2),則弦長|AB|為().A.2B.3C.4D.5解析圓C:x2+y2-6x+5=0,整理得其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,圓C的圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑為2.線段AB的中點為D(2,2),|CD|=1+2=3,|AB|=2|AD|=24-3=2,故選A.答案A7.已知圓O1的方程為x2+(y+1)2=6,圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1).若兩圓相交于A,B兩點,且|AB|=4,則圓O2的方程為().A.(x-2)2+(y-1)2=6B.(x-2)2+(y-1)2=22C.(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22D.(x-2)2+(y-1)2=36或(x-2)2+(y-1)2=32解析設(shè)圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0),因為圓O1的方程為x2+(y+1)2=6,所以直線AB的方程為4x+4y+r2-10=0,所以圓心O1到直線AB的距離d=|r2-14|42.由d2+22=6,得(r2-14)232=2,所以r2-14=8,r2=6或r2=22.故圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22,故選C.答案C8.已知圓C的方程為(x-1)2+y2=r2(r>0),若p:1r3;q:圓C上至多有3個點到直線x-3y+3=0的距離為1,則p是q的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析圓心C(1,0)到直線x-3y+3=0的距離d=|1-30+3|1+3=2,當(dāng)r=1時,圓上恰有一個點到直線的距離為1;當(dāng)1<r<3時,圓上有兩個點到直線的距離為1;當(dāng)r=3時,圓上有三個點到直線的距離為1.所以pq.若圓C上不存在點到直線的距離為1,則0<r<1,所以q/p,所以p是q的充分不必要條件,故選A.答案A9.已知圓E經(jīng)過A(0,1),B(2,0),C(0,-1)三點,且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為().A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=254解析根據(jù)題意,設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0),半徑為r,所以(a-2)2=r2,a2+(0+1)2=r2,a2+(0-1)2=r2,解得a=34,r2=2516.故圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-342+y2=2516,故選C.答案C10.已知直線l:x+y-1=0被圓O:x2+y2=r2(r>0)所截得的弦長為14,交點為M,N,且直線l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0過定點P,若PMPN,則|MN|的取值范圍為().A.2-2,2+3B.2-2,2+2C.6-2,6+3D.6-2,6+2 解析由題意知,2r2-12=14,解得r=2.因為直線l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,所以點P的坐標(biāo)為(1,1).設(shè)MN的中點為Q(x,y),則OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化簡可得x-122+y-122=32,所以點Q的軌跡是以12,12為圓心,62為半徑的圓,所以|PQ|的取值范圍為6-22,6+22.又|MN|=2|PQ|,所以|MN|的取值范圍為6-2,6+2,故選D.答案D二、填空題11.已知點A(-2,0),P為圓C:(x+4)2+y2=16上任意一點,若在x軸上存在點B滿足2|PA|=|PB|,則點B的坐標(biāo)為.解析設(shè)B(a,0),P(x,y),則2(x+2)2+y2=(x-a)2+(y-0)2,整理得到3x2+3y2+(16+2a)x+16-a2=0.又P(x,y)在圓C:(x+4)2+y2=16上,則x2+y2+8x=0,從而16-a2=0,31=16+2a8,解得a=4.故點B的坐標(biāo)為(4,0).答案(4,0)12.已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-2)2+(y-4)2=1,過動點P(a,b)分別作圓C1、圓C2的切線PM、PN(M、N分別為切點),若PM=PN,則(a-5)2+(b+1)2的最小值是.解析在RtPMC1與RtPNC2中,PM=PN,MC1=NC2=1,所以RtPMC1與RtPNC2全等,所以PC1=PC2,則點P在線段C1C2的垂直平分線上,根據(jù)C1(0,0),C2(2,4)可求得其垂直平分線的方程為x+2y-5=0.因為(a-5)2+(b+1)2表示P(a,b),Q(5,-1)兩點間的距離,所以最小值就是點Q到x+2y-5=0的距離,利用點到直線的距離公式可求出最小值為255.答案255三、解答題13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點為(3,0),A為橢圓C的右頂點,以A為圓心的圓A與直線y=bax相交于P,Q兩點,且APAQ=0,OP=3OQ,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓A的方程.解析設(shè)T為線段PQ的中點,連接AT,則ATPQ.APAQ=0,即APAQ,|AT|=12|PQ|.又OP=3OQ,則|OT|=|PQ|,|AT|OT|=12,即ba=12.由c=3,得a2=4,b2=1,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.又|AT|2+|OT|2=a2=4,則|AT|2+4|AT|2=4,|AT|=255,r=|AP|=2105,故圓A的方程為(x-2)2+y2=85.