微分方程 第七章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 目錄 上頁 下頁 返回 結束 微分方程的基本概念 第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 幾何問題幾何問題物理問題物理問題 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例引例1. 一曲線通過點(1,2) ,在該曲線上任意點處的解解: 設所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 .2 ddyx x兩邊求積分目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例引例2. 列車在平直路上以sm20的速度行駛, 獲得加速度,sm4 . 02a求制動后列車的運動規(guī)律.解解: 設列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00tsd200dstt由前一式兩邊積分, 得0.4sdt 即求 s = s (t) .制動時000.40,20ttsss 10.4tC 10.4stC dt上式兩邊再積分, 得2120.2 tC tC 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運動規(guī)律為tts202 . 02說明說明: 利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住 , 以及制動后行駛了多少路程 . 000.40,20ttsss 10.4svtC 0.420vst 00.420t 列車停住，速度為0，解得 秒50t 制動后行駛路程20.2 5020 50500s 即500(m)目錄 上頁 下頁 返回 結束 2122 . 0CtCts000.40,20ttsss xxy2dd21xy2yxC.12 xytts202 . 02目錄 上頁 下頁 返回 結束 常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 階常微分方程的形式是的階階.分類或目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,00ts 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數(shù)相同.特解特解21xy200ddtts引例24 . 022ddtsxxy2dd引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 驗證函數(shù)是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解,0Axt00ddttx的特解 . 解解:兩邊求導 12dsincosdxC kktC kktt 222122cossind xC kktC kktdt xk2),(21為常數(shù)CC02xk并求滿足初始條件 上式兩邊再求導 代入微分方程，知等式成立，即為方程的解即為方程的解tkCtkCxsincos21目錄 上頁 下頁 返回 結束 是兩個獨立的任意常數(shù),21,CC故所求特解為tkAxcos故它是方程的通解.例例1. 驗證函數(shù)是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解,0Axt00ddttx的特解 . ),(21為常數(shù)CC02xk并求滿足初始條件 12dsincosdxC kktC kktt 利用初始條件 代入通解 中: ,0Axt利用初始條件00ddttx代入,1AC 得,02C得tkCtkCxsincos21目錄 上頁 下頁 返回 結束 求所滿足的微分方程 .例例2. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 QPQxyOx解解: 如圖所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標yyxX,xyyx即02 xyy點 P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 課堂練習課堂練習P301 1 ; 2 (3),(4); 3 (2) ; 4 (1) ; 6第二節(jié) 作業(yè)作業(yè)P301 4（2，3） ; 5