課時(shí)規(guī)范練13萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固組1.(物理學(xué)史)牛頓時(shí)代的科學(xué)家們圍繞引力的研究,經(jīng)歷了大量曲折頑強(qiáng)而又閃爍智慧的科學(xué)實(shí)踐。在萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)歷程中,下列敘述不符合史實(shí)的是()A.開普勒研究了第谷的行星觀測(cè)記錄,得出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律B.牛頓將行星與太陽(yáng)、地球與月球、地球與地面物體之間的引力規(guī)律推廣到宇宙中的一切物體,得出了萬(wàn)有引力定律C.卡文迪許首次在實(shí)驗(yàn)室中比較準(zhǔn)確地得出了引力常量G的數(shù)值D.根據(jù)天王星的觀測(cè)資料,哈雷利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出了海王星的軌道答案D解析開普勒研究了第谷的行星觀測(cè)記錄,得出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律,選項(xiàng)A正確;牛頓將行星與太陽(yáng)、地球與月球、地球與地面物體之間的引力規(guī)律推廣到宇宙中的一切物體,得出了萬(wàn)有引力定律,選項(xiàng)B正確;卡文迪許首次在實(shí)驗(yàn)室中比較準(zhǔn)確地得出了引力常量G的數(shù)值,選項(xiàng)C正確;英國(guó)人亞當(dāng)斯和法國(guó)人勒維耶根據(jù)萬(wàn)有引力推測(cè)出“新”行星的軌道和位置,柏林天文臺(tái)年輕的天文學(xué)家伽勒和他的助手根據(jù)勒維耶計(jì)算出來(lái)的“新”行星的位置,發(fā)現(xiàn)了海王星,故D不符合史實(shí)。2.(開普勒第三定律)已知地球和火星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道半徑分別為R1和R2(公轉(zhuǎn)軌跡近似為圓),如果把行星與太陽(yáng)連線掃過的面積與其所用時(shí)間的比值定義為掃過的面積速率。則地球和火星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)過程中掃過的面積速率之比是()A.R1R2B.R1R2C.R2R1D.R2R1答案B解析公轉(zhuǎn)的軌跡近似為圓,地球和火星的運(yùn)動(dòng)可以看作勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)開普勒第三定律知R3T2=C,運(yùn)動(dòng)的周期之比T1T2=R13R23,在一個(gè)周期內(nèi)掃過的面積之比為S1S2=R12R22=R12R22,面積速率為ST,可知面積速率之比為R1R2,故B正確,A、C、D錯(cuò)誤。3.(多選)(宇宙速度)下列關(guān)于三種宇宙速度的說法正確的是()A.第一宇宙速度v1=7.9 km/s,第二宇宙速度v2=11.2 km/s,則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大于等于v1,小于v2B.美國(guó)發(fā)射的“鳳凰”號(hào)火星探測(cè)衛(wèi)星,其發(fā)射速度大于第三宇宙速度C.第二宇宙速度是使物體可以掙脫地球引力束縛,成為繞太陽(yáng)運(yùn)行的小行星的最小發(fā)射速度D.第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度答案CD解析根據(jù)v=GMr可知,衛(wèi)星的軌道半徑r越大,即距離地面越遠(yuǎn),衛(wèi)星的環(huán)繞速度越小,v1=7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度,選項(xiàng)D正確;其余繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的衛(wèi)星的速度都小于第一宇宙速度,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;美國(guó)發(fā)射的“鳳凰”號(hào)火星探測(cè)衛(wèi)星,仍在太陽(yáng)的引力范圍內(nèi),所以其發(fā)射速度小于第三宇宙速度,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;第二宇宙速度是物體掙脫地球束縛而成為一顆繞太陽(yáng)運(yùn)行的小行星的最小發(fā)射速度(在地面上發(fā)射),選項(xiàng)C正確。4.(萬(wàn)有引力定律的理解與應(yīng)用)如圖所示,有人設(shè)想要“打穿地球”從中國(guó)建立一條通過地心的光滑隧道直達(dá)巴西。如只考慮物體間的萬(wàn)有引力,則從隧道口拋下一物體,物體的加速度()A.一直增大B.一直減小C.先增大后減小D.先減小后增大答案D解析設(shè)地球的平均密度為,物體在隧道內(nèi)部離地心的距離為r則物體m所受的萬(wàn)有引力F=G43r3mr2=43Gmr,物體的加速度a=Fm=43Gr,故選項(xiàng)D正確。5.(多選)(中心天體質(zhì)量和密度的估算)通過觀測(cè)冥王星的衛(wèi)星,可以推算出冥王星的質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),除了引力常量外,至少還需要兩個(gè)物理量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。這兩個(gè)物理量可以是()A.衛(wèi)星的速度和角速度B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D.衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑答案AD解析根據(jù)線速度和角速度可以求出半徑r=v,根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力,則GMmr2=mv2r,整理可以得到M=v2rG=v3G,故選項(xiàng)A正確;由于衛(wèi)星的質(zhì)量m約掉,故與衛(wèi)星的質(zhì)量無(wú)關(guān),故選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤;若知道衛(wèi)星的周期和半徑,則GMmr2=m2T2r,整理得到M=42r3GT2,故選項(xiàng)D正確。6.(衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較和計(jì)算)(2017北京石景山一模)研究表明,地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢,3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時(shí)。假設(shè)這種趨勢(shì)會(huì)持續(xù)下去,地球的其他條件都不變,未來(lái)人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比()A.距地面的高度變大B.向心加速度變大C.線速度變大D.角速度變大答案A解析同步衛(wèi)星的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期,根據(jù)GMmr2=m2T2r可知,衛(wèi)星的周期越大,軌道半徑越大,所以地球自轉(zhuǎn)變慢后,同步衛(wèi)星需要在更高的軌道上運(yùn)行,A對(duì);又由GMmr2=mv2r=m2r=ma判知:r增大,則v減小、變小、a變小,故B、C、D均錯(cuò)。7.(“雙星”)(2017山東濰坊二模)雙星系統(tǒng)中,兩顆星在彼此引力的作用下,繞連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。1974年物理學(xué)家約瑟夫泰勒和拉塞爾赫爾斯發(fā)現(xiàn)由兩個(gè)質(zhì)量不同的星構(gòu)成的雙星系統(tǒng),每年兩星間的距離減少3.5 m,若兩星運(yùn)動(dòng)的周期不變,則該雙星系統(tǒng)中()A.兩星線速度大小始終相等B.兩星加速度大小始終相等C.每年兩星總質(zhì)量都減小D.每年兩星總質(zhì)量都增加導(dǎo)學(xué)號(hào)06400126答案C解析雙星的角速度相同,由萬(wàn)有引力提供向心力:對(duì)星1:Gm1m2l2=m1r12對(duì)星2:Gm1m2l2=m2r22由知:m1r12=m2r22,則r1r2=m2m1,質(zhì)量不同,則半徑不同,線速度不同,則A錯(cuò)誤。因萬(wàn)有引力提供向心力,引力相等,而質(zhì)量不同,則加速度不同,則B錯(cuò)誤。由可得:Gm2l2=r12由式得:Gm1l2=r22由可得:(m1+m2)=l32G,周期不變,則不變,l減小則總質(zhì)量減小,則C正確,D錯(cuò)誤。故選C。8.(多選)(2017福建龍巖一模)冥王星和其附近的星體卡戎的質(zhì)量分別為M、m(m<M),兩星相距L,它們只在相互間的萬(wàn)有引力作用下,繞球心連線的某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。冥王星與星體卡戎到O點(diǎn)的距離分別為R和r。則下列說法正確的是()A.可由GMmR2=MR2計(jì)算冥王星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度B.可由GMmL2=Mv2L計(jì)算冥王星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度C.可由GMmL2=mr2T2計(jì)算星體卡戎做圓周運(yùn)動(dòng)的周期D.冥王星與星體卡戎繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量大小相等答案CD解析它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力:可由GMm(R+r)2=MR2計(jì)算冥王星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度,故A錯(cuò)誤;它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力,可由GMmL2=Mv2R計(jì)算冥王星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度,故B錯(cuò)誤;冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng),所以冥王星和卡戎周期是相等的,可由GMmL2=mr2T2計(jì)算星體卡戎做圓周運(yùn)動(dòng)的周期,故C正確;它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力,則GMm(R+r)2=MR2=mr2,由于它們的角速度的大小是相等的,所以MR=mr又vm=r,vM=R,Pm=mvm,PM=mvM所以冥王星與星體卡戎繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量大小相等。故D正確。能力提升組9.(多選)P1、P2為相距遙遠(yuǎn)的兩顆行星,距各自表面相同高度處各有一顆衛(wèi)星s1、s2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圖中縱坐標(biāo)表示行星對(duì)周圍空間各處物體的引力產(chǎn)生的加速度a,橫坐標(biāo)表示物體到行星中心的距離r的二次方,兩條曲線分別表示P1、P2周圍的a與r2的反比關(guān)系,它們左端點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。則()A.P1的平均密度比P2的大B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小C.s1的向心加速度比s2的大D.s1的公轉(zhuǎn)周期比s2的大答案AC解析由題圖可知兩行星半徑相同,則體積相同,由a=GMr2可知P1質(zhì)量大于P2,則P1密度大于P2,故A正確;第一宇宙速度v=GMR,所以P1的“第一宇宙速度”大于P2的,故B錯(cuò)誤;衛(wèi)星的向心加速度為a=GM(R+h)2,所以s1的向心加速度大于s2的,故C正確;由GMm(R+h)2=m42T2(R+h)得T=42(R+h)3GM,故s1的公轉(zhuǎn)周期比s2的小,故D錯(cuò)誤。10.(多選)兩顆互不影響的行星P1、P2,其周圍空間某位置的引力加速度a與該位置到行星中心距離r二次方的倒數(shù)的關(guān)系圖象如圖所示?，F(xiàn)P1、P2各有一顆近地衛(wèi)星S1、S2繞其做勻速圓周運(yùn)動(dòng),衛(wèi)星S1、S2的引力加速度大小均為a0(忽略行星的自轉(zhuǎn))。則下列說法正確的是()A.S1的質(zhì)量比S2的大B.P1的質(zhì)量比P2的大C.P1的第一宇宙速度比P2的大D.P1的平均密度比P2的大導(dǎo)學(xué)號(hào)06400127答案BC解析根據(jù)牛頓第二定律得GMmr2=ma則得行星對(duì)周圍空間各處物體的引力產(chǎn)生的加速度為a=GMr2,由此不能判斷近地衛(wèi)星S1、S2的質(zhì)量大小。由數(shù)學(xué)知識(shí)知,a- 1r2圖象的斜率等于GM,斜率越大,GM越大,M越大,所以P1的質(zhì)量比P2的大,故A錯(cuò)誤,B正確。設(shè)第一宇宙速度為v。則a0=v2R,得v=a0R。由題圖看出,P1的半徑比P2的半徑大,a0相等,可知P1的第一宇宙速度比P2的大,故C正確。行星的平均密度=M43R3=a0R2G43R3=3a04GR,P1的半徑比P2的半徑大,a0相等,則P1的平均密度比P2的小,故D錯(cuò)誤。11.(2017廣東深圳期中)宇航員在某星球表面讓一個(gè)小球以初速v0做豎直上拋運(yùn)動(dòng),經(jīng)過時(shí)間t小球落到星球表面。(1)求該星球表面附近的重力加速度g星;(2)已知該星球的半徑為R,引力常量為G,求該星球的質(zhì)量M;(3)要使物體不再落回星球表面,沿星球表面平拋出的速度至少應(yīng)是多少?答案(1)2v0t(2)2v0R2Gt(3)速度至少應(yīng)是2v0Rt解析(1)由豎直上拋規(guī)律t上=12tg星=v0t上=2v0t(2)在星球表面物體所受萬(wàn)有引力等于物體所受重力。即GMmR2=mg星,由可得M=2v0R2Gt(3)在星球表面物體的重力提供繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力mg星=mv2R平拋的速度至少為v=g星R=2v0Rt。12.由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng),忽略其他星體對(duì)它們的作用,存在著一種運(yùn)動(dòng)形式:三顆星體在相互之間的萬(wàn)有引力作用下,分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況)。若A星體質(zhì)量為2m,B、C兩星體的質(zhì)量均為m,三角形的邊長(zhǎng)為a,求:(1)A星體所受合力大小FA;(2)B星體所受合力大小FB;(3)C星體的軌道半徑RC;(4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T。答案(1)23Gm2a2(2)7Gm2a2(3)74a(4)a3Gm解析(1)由萬(wàn)有引力定律,A星體所受B、C星體引力大小為FBA=GmAmBr2=G2m2a2=FCA,方向如圖則合力大小為FA=23Gm2a2(2)同上,B星體所受A、C星體引力大小分別為FAB=GmAmBr2=G2m2a2FCB=GmCmBr2=Gm2a2,方向如圖。合力大小FBx=FABcos 60+FCB=2Gm2a2FBy=FABsin 60=3Gm2a2,可得FB=FBx2+FBy2=7Gm2a2(3)通過分析可知,圓心O在中垂線AD的中點(diǎn),RC=34a2+12a2或:由對(duì)稱性可知OB=OC=RC,cosOBD=FBxFB=DBOB=12aRC 可得RC=74a(4)三星體運(yùn)動(dòng)周期相同,對(duì)C星體,由FC=FB=7Gm2a2=m2T2RC可得T=a3Gm