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課時分層作業(yè)(九) 雙曲線及其標準方程
(建議用時：40分鐘)
[基礎達標練]
一、選擇題
1．已知平面內兩定點A(－5,0)，B(5,0)，動點M滿足|MA|－|MB|＝6，則點M的軌跡方程是( )
A.－＝1 B.－＝1(x≥4)
C.－＝1 D.－＝1(x≥3)
D [由題意知，軌跡應為以A(－5,0)，B(5,0)為焦點的雙曲線的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P點的軌跡方程為－＝1(x≥3)．]
2．若方程＋＝1，k∈R表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是( )
【導學號：97792083】
A．－3
－2
D．k>－2
A [由題意知，解得－30，b>0)，
則有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求雙曲線的標準方程為－＝1.]
8．一動圓過定點A(－4,0)，且與定圓B：(x－4)2＋y2＝16相外切，則動圓圓心的軌跡方程為________．
－＝1(x≤－2) [設動圓圓心為P，由題意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，則動圓圓心P的軌跡是以點A，B為焦點的雙曲線的左支，又a＝2，c＝4，則b2＝12，故動圓圓心的軌跡方程為－＝1(x≤－2)．]
三、解答題
9．如圖223，在以點O為圓心，|AB|＝4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，∠POB＝30，曲線C是滿足||MA|－|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P.建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程．
圖223
[解] 法一：以O為原點，AB，OD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，則A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(，1)，依題意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.
∴曲線C是以A，B為焦點的雙曲線．
則c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲線C的方程為－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐標系，則依題意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.
∴曲線C是以A，B為焦點的雙曲線．
設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則有解得a2＝b2＝2.
∴曲線C的方程為－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實數，對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型.
【導學號：97792085】
[解] (1)當k＝0時，y＝2，表示兩條與x軸平行的直線；
(2)當k＝1時，方程為x2＋y2＝4，表示圓心在原點，半徑為2的圓；
(3)當k＜0時，方程為－＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線；
(4)當0＜k＜1時，方程為＋＝1，表示焦點在x軸上的橢圓；
(5)當k＞1時，方程為＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓．
[能力提升練]
1．設θ∈，則關于x，y的方程＋＝1所表示的曲線是( )
A．焦點在y軸上的雙曲線
B．焦點在x軸上的雙曲線
C．焦點在y軸上的橢圓
D．焦點在x軸上的橢圓
B [由題意，知－＝1，因為θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，則方程表示焦點在x軸上的雙曲線．故選B.]
2．已知P為雙曲線－＝1右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，M為△PF1F2的內心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，則△MF1F2的面積為( )
A．2 B．10 C．8 D．6
B [設△PF1F2的內切圓的半徑為R，由題意，知a＝4，b＝3，c＝5.∵S△PMF1＝S△PMF2＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴S△MF1F2＝2cR＝10，故選B.]
3．已知雙曲線－＝1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上的一點，且PF與圓x2＋y2＝16相切于點N，M為線段PF的中點，O為坐標原點，則|MN|－|MO|＝______________.
【導學號：97792086】
－1 [設F′是雙曲線的右焦點，連接PF′(圖略)，因為M，O分別是FP，FF′的中點，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由雙曲線的定義知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝8－5＝－1.]
4．已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是________．
(－1,3) [由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2
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