二項(xiàng)分布及其應(yīng)用一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 甲乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為23，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為( )A. 13 B. 25 C. 23 D. 45（正確答案）B【分析】本題考查條件概率，考查相互獨(dú)立事件概率公式，屬于中檔題求出甲獲得冠軍的概率、比賽進(jìn)行了3局的概率，即可得出結(jié)論【解答】解：由題意，甲獲得冠軍的概率為2323+231323+132323=2027，其中比賽進(jìn)行了3局的概率為231323+132323=827，所求概率為8272027=25，故選B2. 小趙、小錢(qián)、小孫、小李到 4 個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件 A=“4 個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B=“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P( A|B)=( )A. 29 B. 13 C. 49 D. 59（正確答案）A【分析】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵.這是求小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的前提下，4 個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論，屬于中檔題【解答】解：小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，有4個(gè)景點(diǎn)可選，則其余3人只能在小趙剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為333=27種 所以小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為427=108種因?yàn)? 個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的可能性為4321=24種，所以P(A|B)=24108=29故選A3. 2016年鞍山地區(qū)空氣質(zhì)量的記錄表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( )A. 0.48 B. 0.6 C. 0.75 D. 0.8（正確答案）C解：一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，設(shè)隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則有0.8p=0.6，p=0.60.8=34=0.75，故選：C設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是p，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出結(jié)果本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用4. 投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為( )A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312（正確答案）A解：由題意可知：同學(xué)3次測(cè)試滿(mǎn)足XB(3,0.6)，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為C32(0.6)2(1-0.6)+C33(0.6)3=0.648故選：A判斷該同學(xué)投籃投中是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后求解概率即可本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，基本知識(shí)的考查5. 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到10歲的概率為0.9，活到15歲的概率為0.6.現(xiàn)有一個(gè)10歲的這種動(dòng)物，它能活到15歲的概率是( )A. 35 B. 310 C. 23 D. 2750（正確答案）C解：記該動(dòng)物從出生起活到10歲為事件A，從出生起活到15歲的為事件AB，而所求的事件為B|A，由題意可得P(A)=0.9，P(AB)=0.6，由條件概率公式可得P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.9=23，故選C活到15歲的概率是在活到10歲的概率的情況下發(fā)生的，故可用條件概率來(lái)求解這個(gè)題本題考點(diǎn)是條件概率，理清楚事件之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題6. 在10個(gè)球中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球(各不相同)，不放回地依次摸出2個(gè)球，在第一次摸出紅球的條件下，第2次也摸到紅球的概率為( )A. 35 B. 25 C. 110 D. 59（正確答案）D解：先求出“第一次摸到紅球”的概率為：P1=610=35，設(shè)“在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球”的概率是P2 再求“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率為P=65109=13，根據(jù)條件概率公式，得：P2=PP1=59，故選：D事件“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率等于事件“第一次摸到紅球”的概率乘以事件“在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球”的概率.根據(jù)這個(gè)原理，可以分別求出“第一次摸到紅球”的概率和“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率，再用公式可以求出要求的概率本題考查了概率的計(jì)算方法，主要是考查了條件概率與獨(dú)立事件的理解，屬于中檔題.看準(zhǔn)確事件之間的聯(lián)系，正確運(yùn)用公式，是解決本題的關(guān)鍵7. 將4個(gè)不同的小球裝入4個(gè)不同的盒子，則在至少一個(gè)盒子為空的條件下，恰好有兩個(gè)盒子為空的概率是( )A. 2158 B. 1229 C. 2164 D. 727（正確答案）A解：根據(jù)題意，將4個(gè)不同的小球裝入4個(gè)不同的盒子，有44=256種不同的放法，若沒(méi)有空盒，有A44=24種放法，有1個(gè)空盒的放法有C41C42A33=144種，有3個(gè)空盒的放法有C41=4種，則至少一個(gè)盒子為空的放法有256-24=232種，故“至少一個(gè)盒子為空”的概率P1=232256，恰好有兩個(gè)盒子為空的放法有256-24-144-4=84種，故“恰好有兩個(gè)盒子為空”的概率P2=84256，則則在至少一個(gè)盒子為空的條件下，恰好有兩個(gè)盒子為空的概率p=p2p1=2158；故選：A根據(jù)題意，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得“將4個(gè)不同的小球裝入4個(gè)不同的盒子”的放法數(shù)目，進(jìn)而由排列、組合數(shù)公式計(jì)算“沒(méi)有空盒”、“有1個(gè)空盒的放法”、“有3個(gè)空盒”的放法數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得“至少一個(gè)盒子為空”以及“恰好有兩個(gè)盒子為空”的概率，最后由條件概率的計(jì)算公式計(jì)算可得答案本題考查條件概率的計(jì)算，涉及排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出“至少一個(gè)盒子為空”以及“恰好有兩個(gè)盒子為空”的概率8. 在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)M(其坐標(biāo)為x)，若A=x|0<x<12,B=x|14<x<34，則P(B|A)=( )A. 12 B. 14 C. 13 D. 34（正確答案）A解：根據(jù)題意，得AB=x|14<x<12，因此，事件AB對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度為14，結(jié)合總的區(qū)間長(zhǎng)度為1，可得P(AB)=14 又A=x|0<x<12，同理可得P(A)=12 因此，P(B|A)=P(AB)P(A)=1412=12 故選：A 由題意，算出P(A)=12且P(AB)=14，結(jié)合條件概率計(jì)算公式即可得到P(B|A)的值本題給出投點(diǎn)問(wèn)題，求事件A的條件下B發(fā)生的概率，著重考查了條件概率及其應(yīng)用的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題9. 九江氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，5月1日潯陽(yáng)區(qū)下雨的概率為415，刮風(fēng)的概率為215，既刮風(fēng)又下雨的概率為110，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，那么P(A|B)=( )A. 12 B. 34 C. 25 D. 38（正確答案）B解：由題意P(A)=415，P(B)=215，P(AB)=110，P(A|B)=P(AB)P(B)=110215=34，故選B確定P(A)=415，P(B)=215，P(AB)=110，再利用條件概率公式，即可求得結(jié)論本題考查概率的計(jì)算，考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10. 從混有5張假鈔的20張一百元紙幣中任意抽取2張，將其中一張?jiān)隍?yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假幣，則這兩張都是假幣的概率為( )A. 119 B. 1718 C. 419 D. 217（正確答案）D解：解：設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率即P(A|B)又P(AB)=P(A)=C52C202，P(B)=C52+C51C151C202，由公式P(A|B)=P(AB)P(B)=C52C52+C51C151=1010+75=217故選：D設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，所求的概率即P(A/B).先求出P(AB)和P(B)的值，再根據(jù)P(A/B)=P(AB)P(B)，運(yùn)算求得結(jié)果本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意條件概率的合理運(yùn)用11. 如圖，ABC和DEF都是圓內(nèi)接正三角形，且BC/EF，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在ABC內(nèi)”，B表示事件“豆子落在DEF內(nèi)”，則P(B|A)=( )A. 334B. 32C. 13D. 23（正確答案）D解：如圖所示，作三條輔助線，根據(jù)已知條件這些小三角形全等，所以P=69=23，故選：D作三條輔助線，根據(jù)已知條件這些小三角形全等，即可求出P(B|A)本題考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出圖形是關(guān)鍵12. 下列說(shuō)法中正確的是( ) 設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(6,12)，則P(X=3)=516 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,2)且P(X<4)=0.9，則P(0<X<2)=0.4 -101-x2dx=011-x2dx=4 E(2X+3)=2E(X)+3；D(2X+3)=2D(X)+3A. B. C. D. （正確答案）A解：設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(6,12)，則P(X=3)=C63(12)3(1-12)3=516，正確；隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,o2)，正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸是x=2P(X<4)=0.9，P(2<X<4)=0.4，P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.4，正確；利用積分的幾何意義，可知-101-x2dx=011-x2dx=4，正確E(2X+3)=2E(X)+3；D(2X+3)=4D(X).故不正確故選：A分別對(duì)4個(gè)選項(xiàng)，分別求解，即可得出結(jié)論考查二項(xiàng)分布、正態(tài)分布以及定積分的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 如果B(100,12)，當(dāng)P(=k)取得最大值時(shí)，k= _ （正確答案）50解：B(100,12)，當(dāng)P(=k)=C100k(12)k(12)100-k=C100k(12)100，由組合數(shù)知，當(dāng)k=50時(shí)取到最大值故答案為：50根據(jù)變量符合二項(xiàng)分布，寫(xiě)出試驗(yàn)發(fā)生k次的概率的表示式，在表示式中，只有C100k是一個(gè)變量，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k=50時(shí)，概率取到最大值本題考查二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型，考查概率的最值，考查組合數(shù)的性質(zhì)，是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的綜合題目14. 拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”.則當(dāng)已知藍(lán)色骰子點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，問(wèn)兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為_(kāi) （正確答案）512解：設(shè)x為擲紅骰子得的點(diǎn)數(shù)，y為擲藍(lán)骰子得的點(diǎn)數(shù)，則所有可能的事件與(x,y)建立對(duì)應(yīng)，顯然：P(A)=1236=13，P(B)=1036=518，P(AB)=536P(B|A)=P(AB)P(A)=53613=512故答案為：512 由題意知這是一個(gè)條件概率，做這種問(wèn)題時(shí)，要從這樣兩步入手，一是做出藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6的概率，二是兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率，再做出兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8且藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6的概率，根據(jù)條件概率的公式得到結(jié)果本題考查條件概率，條件概率有兩種做法，本題采用概率來(lái)解，還有一種做法是用事件發(fā)生所包含的事件數(shù)之比來(lái)解出結(jié)果，本題出現(xiàn)的不多，以這個(gè)題目為例，同學(xué)們要認(rèn)真分析15. 從標(biāo)有1，2，3，4，5的五張卡片中，依次抽出2張，則在第一次抽到偶數(shù)的條件下，第二次抽到奇數(shù)的概率為_(kāi)（正確答案）34解：在第一次抽到偶數(shù)時(shí)，還剩下1個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)，在第一次抽到偶數(shù)的條件下，第二次抽到奇數(shù)的概率為34故答案為：34根據(jù)剩下4個(gè)數(shù)的奇偶性得出結(jié)論本題考查了條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題16. 若隨機(jī)變量XN(,2)，且P(X>5)=P(X<-1)=0.2，則P(2<X<5)= _ （正確答案）0.3解：隨機(jī)變量XN(,2)，且P(X>5)=P(X<-1)=0.2，可得=5+(-1)2=2，正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)P(-1<X<5)=2P(2<X<5)=1-0.2-0.2=0.6，P(2<X<5)=0.3，故答案為：0.3由條件求得=2，可得正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng).求得P(-1<X<5)=1-P(X<-1)-P(X>5)的值，再根據(jù)P(-1<X<5)=2P(2<X<5)，求得P(2<X<5)的值本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)，正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題三、解答題（本大題共3小題，共40分）17. 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為34，乙每次擊中目標(biāo)的概率23，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響；每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響()求甲至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；()記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望E；()求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率（正確答案）解：(I)記“甲連續(xù)射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意知兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響，射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P(A1)=1-P(A1.)=1-(34)3=3764故甲至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為3764；(II)由題意知X的可能取值是0，1，2，3P(X=0)=C30(14)3=164，P(X=1)=C3134(14)2=964，P(X=2)=C32(34)214=2764，P(X=3)=C33(34)3=2764，X的概率分布如下表：X0123P16496427642764EX=0164+1964+22764+32764=94(III)設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B1，甲恰擊中目標(biāo) 3次且乙恰擊中目標(biāo) 1次為事件B2，則A=B1+B2，B1，B2為互斥事件. P(A)=P(B1)+P(B2)=2764127+2764627=764甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為764(1)由題意知，兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響；甲每次擊中目標(biāo)的概率為34，射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到結(jié)果(II)根據(jù)題意看出變量的可能取值，根據(jù)變量對(duì)應(yīng)的事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，寫(xiě)出變量對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列，做出期望值(III)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次，包括甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次，這兩種情況是互斥的，根據(jù)公式公式得到結(jié)果本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目解題的關(guān)鍵是看清題目事件的特點(diǎn)，找出解題的規(guī)律，遇到類(lèi)似的題目要求能做18. 袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是13，從B中摸出一個(gè)紅球的概率是23.現(xiàn)從兩個(gè)袋子中有放回的摸球(I)從A中摸球，每次摸出一個(gè)，共摸5次.求：(i)恰好有3次摸到紅球的概率；(ii)設(shè)摸得紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的期望；()從A中摸出一個(gè)球，若是白球則繼續(xù)在袋子A中摸球，若是紅球則在袋子B中摸球，若從袋子B中摸出的是白球則繼續(xù)在袋子B中摸球，若是紅球則在袋子A中摸球，如此反復(fù)摸球3次，計(jì)摸出的紅球的次數(shù)為Y，求Y的分布列以及隨機(jī)變量Y的期望（正確答案）解：()(i)由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到，恰好有3次摸到紅球的概率：C53(13)3(23)2=40243(ii)由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到：XB(5,13)，EX=513=53(II)隨機(jī)變量Y的取值為0，1，2，3；且：P(Y=0)=(1-13)3=827；P(Y=1)=13(13)2+(1-13)1313+13(1-13)2=727；P(Y=2)=13(1-13)2+(1-13)1313+13(1-13)2=1027；P(Y=3)=(1-13)1313=227；隨機(jī)變量Y的分布列是：Y的數(shù)學(xué)期望是EY=119(I)(i)由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果(ii)由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到答案(II)由題意知計(jì)摸出的紅球的次數(shù)為Y，隨機(jī)變量Y的取值為0，1，2，3；由獨(dú)立試驗(yàn)概率公式得到概率，寫(xiě)出分布列和期望解決離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡(jiǎn)單的多19. 某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為P1=23，乙的命中率為P2，在射擊比武活動(dòng)中每人射擊發(fā)兩發(fā)子彈則完成一次檢測(cè)，在一次檢測(cè)中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱(chēng)該射擊小組為“先進(jìn)和諧組”；(1)若P2=12，求該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率；(2)計(jì)劃在2011年每月進(jìn)行1次檢測(cè)，設(shè)這12次檢測(cè)中該小組獲得“先進(jìn)和諧組”的次數(shù)，如果E5，求P2的取值范圍（正確答案）解：(1)P1=23，P2=12，根據(jù)“先進(jìn)和諧組”的定義可得該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的包括兩人兩次都射中，兩人恰好各射中一次，該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率P=(C212313)(C211212)+(2323)(1212)=13 (2)該小組在一次檢測(cè)中榮獲先進(jìn)和諧組”的概率P=(C212313)C21P2(1-P2)+(2323)(P22)=89P2-49P22 而B(niǎo)(12,P)，所以E=12P 由E5知，(89P2-49P22)125 解得：34P21(1)根據(jù)甲的命中率為P1=23，乙的命中率為P2=12，兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱(chēng)該射擊小組為“先進(jìn)和諧組”；我們可以求出該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率；(2)由已知結(jié)合(1)的結(jié)論，我們可以求出該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率(含參數(shù)P2)，由E5，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于P2的不等式，解不等式結(jié)合概率的含義即可得到P2的取值范圍本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型，(1)中關(guān)鍵是要列舉出該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的所有可能性，(2)的關(guān)鍵是要根據(jù)E5，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于P2的不等式