課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十二) 函數(shù)與方程基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1若函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且f(x)在(2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則f(2)f(2)的值()A大于0B小于0C等于0D不能確定解析若函數(shù)f(x)在(2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，則f(2)f(2)<0，否則， f(2)f(2)>0，故選D.答案D2若函數(shù)f(x)ax2x1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值為()A0BC0或D2解析當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)x1為一次函數(shù)，則1是函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax2x1為二次函數(shù)，并且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則一元二次方程ax2x10有兩個(gè)相等實(shí)根14a0，解得a.綜上，當(dāng)a0或a時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)答案C3(2017湖北襄陽(yáng)四校聯(lián)考)函數(shù)f(x)3xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3解析由題意知f(x)單調(diào)遞增，且f(0)1021<0，f(1)3122>0，即f(0)f(1)<0且函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)不斷，所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)答案B4(2018長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)lnxx2的零點(diǎn)為x0，則x0所在的區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析f(1)12<0，f(2)ln20ln21<0.f(3)ln3ln3lne，3>e，f(3)>0，故x0(2,3)，選C.答案C5(2017遼寧大連二模)已知偶函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x)x23x(x0)，若函數(shù)g(x)則yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1B3C2D4解析作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖，由圖象可知兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)不同交點(diǎn)，所以函數(shù)yf(x)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，故選B.答案B6(2017河北承德模擬)若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.BC(，0)D(，0)解析由題意知，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，即2x2a0在x0上有根，所以0<2a1解得0<a；當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，只需解得a>，綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是<a.答案B二、填空題7已知函數(shù)f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在(1,3)內(nèi)近似解的過(guò)程中，取區(qū)間中點(diǎn)x02，那么下一個(gè)有根區(qū)間為_(kāi)解析f(1)31382<0，f(2)32687>0，f(3)339828>0，故下一個(gè)有根區(qū)間為(1,2)答案(1,2)8(2017四川綿陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由題意，知函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，所以即解得0<a<3，故填(0,3)答案(0,3)9已知函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)x>0時(shí)，方程ax30有解，故a>0，所以當(dāng)x0時(shí)，需滿足即0<a<1.綜上，a的取值范圍是(0,1)答案(0,1)三、解答題10已知函數(shù)f(x)x22exm1，g(x)x(x>0)(1)若yg(x)m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根圖(1)解(1)作出g(x)x(x>0)的大致圖象如圖(1)可知若使yg(x)m有零點(diǎn)，則只需m2e.(2)若g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，圖(2)作出g(x)x(x>0)的大致圖象如圖(2)f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其圖象的對(duì)稱軸為xe，開(kāi)口向下，最大值為m1e2.故當(dāng)m1e2>2e，即m>e22e1時(shí)，g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，即g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根m的取值范圍是(e22e1，)能力提升11(2017云南昆明一模)設(shè)函數(shù)f(x)exx2，g(x)lnxx23.若函數(shù)f(x)，g(x)的零點(diǎn)分別為a，b，則有()Ag(a)<0<f(b)Bf(b)<0<g(a)C0<g(a)<f(b)Df(b)<g(a)<0解析易知函數(shù)f(x)，g(x)在定義域上都是單調(diào)遞增函數(shù)，且f(0)1<0，f(1)e1>0，g(1)2<0，g(2)ln21>0，所以a，b存在且唯一，且a(0,1)，b(1,2)，從而f(1)<f(b)<f(2)，g(0)<g(a)<g(1)，于是f(b)>0，g(a)<0，即g(a)<0<f(b)答案A12(2017甘肅省蘭州市高三診斷)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR，都有f(x2)f(x)當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x2.若直線yxa與函數(shù)yf(x)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是()An(nZ)B2n(nZ)C2n或2n(nZ)Dn或n(nZ)解析依題意得，函數(shù)yf(x)是周期為2的偶函數(shù)，在0,2)上，由圖象(圖略)易得，當(dāng)a0或時(shí)，直線yxa與函數(shù)yf(x)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，函數(shù)f(x)的周期為2，a的值為2n或2n(nZ)答案C13(2017陜西省寶雞市高三一檢)設(shè)函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)k有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析當(dāng)x<1時(shí)，2x>；當(dāng)x1時(shí)，log2x0，依題意函數(shù)yf(x)的圖象和直線yk的交點(diǎn)有兩個(gè)，k>.答案14(2017云南省高三統(tǒng)一檢測(cè))已知yf(x)是R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的xR，均有f(x)f(2x)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)(x1)2，則函數(shù)g(x)f(x)log2017|x1|的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(2x)，所以f(x)f(x)f(x2)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，又當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)(x1)2，將偶函數(shù)ylog2017|x|的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)ylog2017|x1|的圖象，由此可在同一平面直角坐標(biāo)系下作函數(shù)yf(x)與ylog2017|x1|的圖象(圖略)，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)，即為函數(shù)yf(x)與ylog2017|x1|圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)x>2018時(shí)，兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，又兩函數(shù)圖象在1,2018上有2016個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性知兩函數(shù)圖象在2016,1上也有2016個(gè)交點(diǎn)，且它們關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以函數(shù)g(x)的所有零點(diǎn)之和為4032.答案403215(2018煙臺(tái)模擬)已知二次函數(shù)f(x)x2(2a1)x12a，(1)判斷命題：“對(duì)于任意的aR，方程f(x)1必有實(shí)數(shù)根”的真假，并寫(xiě)出判斷過(guò)程；(2)若yf(x)在區(qū)間(1,0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)“對(duì)于任意的aR，方程f(x)1必有實(shí)數(shù)根”是真命題依題意，f(x)1有實(shí)根，即x2(2a1)x2a0有實(shí)根，因?yàn)?2a1)28a(2a1)20對(duì)于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有實(shí)根，從而f(x)1必有實(shí)根(2)依題意，要使yf(x)在區(qū)間(1,0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，只需即解得<a<.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a.16已知二次函數(shù)f(x)的最小值為4，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)4lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR，f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a>0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x22x3.(2)g(x)4lnxx4lnx2(x>0)，g(x)1.令g(x)0，得x11，x23.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的取值變化情況如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)極大值極小值當(dāng)0<x3時(shí)，g(x)g(1)4<0.又因?yàn)間(x)在(3，)上單調(diào)遞增，因而g(x)在(3，)上只有1個(gè)零點(diǎn)故g(x)在(0，)上僅有1個(gè)零點(diǎn)延伸拓展(2017鄭州市高三一測(cè))對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，則稱函數(shù)f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，現(xiàn)已知函數(shù)f(x)ex2x3與g(x)x2axx4互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析易知函數(shù)f(x)為增函數(shù)，且f(2)e22230，所以函數(shù)f(x)ex2x3只有一個(gè)零點(diǎn)x2，則取2，由|2|1，知13.由f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”知函數(shù)g(x)x2axx4在區(qū)間1,3內(nèi)有零點(diǎn)，即方程x2axx40在1,3內(nèi)有解，所以ax1，而函數(shù)ax1在1,2上單調(diào)遞減，在2,3上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x2時(shí)，a取最小值3，又當(dāng)x1時(shí)，a4，當(dāng)x3時(shí)，a，所以amax4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,4答案3,4